高考数学艺体生好题突围系列基础篇专题13椭圆.doc

专题13 椭圆

椭圆的定义与标准方程
【背一背基础知识】
1．椭圆的定义：
平面内与两个定点的距离之和等于常数(大于)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．椭圆的定义用符号语言表示：．
说明：当时，无轨迹；当时，轨迹为线段．
2．椭圆的标准方程：
（1）焦点在轴上的椭圆的标准方程：，焦点；
（2）焦点在轴上的椭圆的标准方程：，焦点．
其中几何意义：表示长轴长的一半，表示短轴长的一半，表示焦距长的一半，并且有．
3．椭圆的一般方程：．
【讲一讲基本技能】
1．必备技能：
（1）在高考中，对于椭圆部分内容，在选择题或填空题中一般考查考生椭圆的定义、离心率、焦点坐标等基础知识的掌握情况；解答题中考查考生在求解椭圆的方程、直线与椭圆的位置关系等涉及分析、探求的数学思想的掌握情况．
（2）求椭圆的标准方程时，应从“定形”“定式”“定量”三个方面去思考．“定形”就是指椭圆的对称中心在原点，以坐标轴为对称轴的情况下，能否确定椭圆的焦点在x轴还是y轴上．“定式”就是根据“形”设出椭圆的具体形式，若焦点在x轴上，则设方程为；若焦点在y轴上，则设方程为；若焦点位置不确定，可设方程为．“定量”就是指利用定义和已知条件确定方程中的系数或．
2．典型例题
例1．已知椭圆C：的左右焦点为F1，F2离心率为，过F2的直线l交C与A，B两点，若△AF1B的周长为，则C的方程为（ ）
A． B． C． D．
【分析】由椭圆的定义确定，再利用离心率求，最后由求，从而的椭圆方程．
【答案】A．

【方法总结】用待定系数法求椭圆标准方程时，若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a，b；若焦点位置不明确，则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)．
例2．已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且⊥．若△PF1F2的面积为9，则b＝________．
【分析】关键抓住点P为椭圆C上的一点，从而有|PF1|＋|PF2|＝2a，再利用⊥进而求解．
【答案】3．
【方法总结】椭圆上一点P与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长，利用定义和余弦定理可求|PF1|·|PF2|；通过整体代入可求其面积等．
例3．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦距为4，且过点P(，)，求椭圆C的方程；
【分析】由AE与AD垂直，应转化为·＝0，从而转化为数量的计算．

【练一练趁热打铁】
1．过点(，－)，且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________．
【分析】利用定义法或待定系数法求解．

【方法总结】
(1)求轨迹方程时，先看轨迹的形状能否预知，若能预先知道轨迹为何种圆锥曲线，则可考虑用定义法求解或用待定系数法求解；
(2)讨论轨迹方程的解与轨迹上的点是否对应，要注意字母的取值范围．
2．已知动点M(x，y)到直线l：x＝4的距离是它到点N(1，0)的距离的2倍．
(1)求动点M的轨迹C的方程；
(2)过点P(0，3)的直线m与轨迹C交于A，B两点，若A是PB的中点， 求直线m的斜率．
【答案】(1) ＋＝1；(2) －或．

将③代入①②，得x1＝－，x＝，可得()2＝，且k2>，解得k＝－或k＝，∴直线m的斜率为－或．
法二：由题意，设直线m的方程为y＝kx＋3，A(x1，y1)，B(x2，y2)，如图②．
∵A是PB的中点，∴x1＝①
y1＝．②
又＋＝1，③
＋＝1，④
联立①②③④，解得或即点B的坐标为(2，0)或(－2，0)，∴直线m的斜率为－或．
3．设点P是圆x2＋y2＝4上任意一点，由点P向x轴作垂线PP0，垂足为P0，且＝．求点M的轨迹C的方程；
【答案】点M的轨迹C的方程为＋＝1．

椭圆
的几何性质

【背一背基础知识】
椭圆的简单几何性质（以为例）：

如图1所示，填写各空．
(1)范围：．
(2)对称性：关于轴、轴以及原点对称，对称轴为轴、轴，对称中心为．
(3)顶点：长轴长，短轴长．
(4)离心率，．越小，椭圆越圆；越大，椭圆越扁．
总结可得如下表格：
焦点的位置
焦点在轴上
焦点在轴上
图 形

标准方程

定 义
到两定点的距离之和等于常数2，即（）
范 围
且
且
顶 点

轴 长
长轴的长，短轴的长
对 称 性
关于轴、轴对称，关于原点中心对称
焦 点
、
、
焦 距

离 心 率

焦点三角形面积

弦长公式
，
【讲一讲基本技能】
1．必备技能：讨论椭圆的几何性质时，离心率问题是重点，求离心率的常用方法有以下两种：
（1）求得的值，直接代入公式求得；
（2）列出关于的齐次方程（或不等式），然后根据，消去，转化为关于的方程（或不等式）求解．
2．典型例题
例1．已知椭圆：．
（1）求椭圆的离心率；
（2）设为原点，若点在椭圆上，点在直线上，且，试判断直线与圆的位置关系，并证明你的结论．
【答案】（1）；（2）直线与圆相切．
【方法总结】求椭圆的离心率，常见的有三种方法：一是通过已知条件列方程组，解出a，c的值；二是由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解；三是通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．
例2．在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，直线被椭圆截得的线段长为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过原点的直线与椭圆交于两点（不是椭圆的顶点）．点在椭圆上，且，直线与轴、轴分别交于两点．设直线的斜率分别为，证明存在常数使得，并求出的值．
【答案】（1）．（2）存在常数使得结论成立．
，由题意知，，所以，所以直线BD的方程为，令，得，即．可得．所以，即．因此存在常数使得结论成立．
【方法总结】解决直线与圆锥曲线位置关系问题的步骤：
(1)设方程及点的坐标；
(2)联立直线方程与曲线方程得方程组，消元得方程(注意二次项系数是否为零)；
(3)应用根与系数的关系及判别式；
(4)结合已知条件、中点坐标公式、斜率公式及弦长公式求解．
【练一练趁热打铁】
1．设是椭圆的长轴，点在上，且．若，，则的两个焦点之间的距离为_______．
【答案】．
2．过点作斜率为的直线与椭圆：相交于，若是线段的中点，则椭圆的离心率为 ．
【答案】

3．如图，F1、F2分别是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，A是椭圆C的顶点，B是直线AF2与椭圆C的另一个交点，∠F1AF2＝60°．
(1)求椭圆C的离心率；
(2)已知△AF1B的面积为40，求a，b的值．
【答案】(1) e＝；(2) a＝10，b＝5．

法二：设|AB|＝t．因为|AF2|＝a，所以|BF2|＝t－a，由椭圆定义|BF1|＋|BF2|＝2a可知，|BF1|＝3a－t，再由余弦定理(3a－t)2＝a2＋t2－2atcos 60°可得，t＝a，由S△AF1B＝a·a·＝a2＝40知，a＝10，b＝5．
4．已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．
求椭圆C的标准方程；
【答案】椭圆C的标准方程为＋＝1．

（一） 选择题（12*5=60分）
1．下列曲线中焦点坐标为的是（ ）
A． B．y＝－4x2 C． D．
【答案】A
2．已知点是以为焦点的椭圆上一点，若，，
则椭圆的离心率为（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】D
【解析】由 ，设 ，由题意得，，
由椭圆的定义，可得 ，根据勾股定理得 ，
所以 ， 故选D
3．曲线与曲线的（ ）
A．焦距相等 B．离心率相等 C．准线相同 D．焦点相同
【答案】A
4．若点O和F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为
A．2 B．3 C．6 D．8
【答案】C
5．已知是椭圆的两个焦点，过的直线与椭圆交于Ｍ、Ｎ两点，则的周长为
A．16 B．8 C．25 D．32
【答案】A．
【解析】由椭圆的定义，得的周长
．
6．“”是“方程表示椭圆”的
A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件
【答案】B．
7．设是椭圆：（）与双曲线的公共焦点，它们在第一象限交于点，离心率分别为和，且线段的垂直平分线过，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
8．直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为（ ）
A、 B、 C、 D、
【答案】C
【解析】由题可知：直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点，因此，故，又因为在椭圆中有，故，因此．
9．是椭圆的两个焦点，点是椭圆上一点，且，则的面积为（ ）
A．7 B． C． D．
【答案】C
10．若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为（ ）
A -2 B 2 C 4 D 8
【答案】C
【解析】由得到椭圆的右焦点为，所以抛物线的焦点，则
11．过椭圆的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B

12．若椭圆过抛物线的焦点， 且与双曲线有相同的焦点，则该椭圆的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
（二） 填空题（4*5=20分）
13．椭圆的一个焦点为（0，1）则m＝________．
【答案】3
【解析】因为椭圆的一个焦点为（0，1），所以．
14．过椭圆的焦点F的弦中最短弦长是 ．
【答案】
【解析】由题意过椭圆的焦点F的弦中最短弦长是通径
15．设A为椭圆（）上一点，点A关于原点的对称点为B，F为椭圆的右焦点，且AF⊥BF．若∠ABF∈[，]，则该椭圆离心率的取值范围为 ．
【答案】
16．方程表示曲线C，给出以下命题：
①曲线C不可能为圆；
②若曲线C为双曲线，则或；
③若，则曲线C为椭圆；
④若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则1<t<．
其中真命题的序号是____________（写出所有正确命题的序号）．
【答案】②④

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