专题二：三角函数-三角恒等变换-平面向量-解三角形2015.1.9.doc

专题二：三角函数-三角恒等变换-平面向量-解三角形2015.1.9

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专题二：三角函数，三角恒等变换，平面向量，解三角形

专题二：三角函数，三角恒等变换，平面向量，解三角形2015.1.9

一．选择题（共11小题）
1．（2014•河南）在函数①y=cos丨2x丨，②y=丨cosx丨，③y=cos（2x+）④y=tan（2x﹣）中，最小正周期为π的所有函数为（　　）

A．
①②③
B．
①③④
C．
②④
D．
①③

2．（2014•包头一模）设函数，则f（x）=sin（2x+）+cos（2x+），则（　　）

A．
y=f（x）在（0，）单调递增，其图象关于直线x=对称

B．
y=f（x）在（0，）单调递增，其图象关于直线x=对称

C．
y=f（x）在（0，）单调递减，其图象关于直线x=对称

D．
y=f（x）在（0，）单调递减，其图象关于直线x=对称

3．（2014•福建）已知函数f（x）=，则下列结论正确的是（　　）

A．
f（x）是偶函数
B．
f（x）是增函数
C．
f（x）是周期函数
D．
f（x）的值域为[﹣1，+∞）

4．（2014•广西）设a=sin33°，b=cos55°，c=tan35°，则（　　）

A．
a＞b＞c
B．
b＞c＞a
C．
c＞b＞a
D．
c＞a＞b

5．（2015•重庆一模）函数y=sin3x的图象可以由函数y=cos3x的图象（　　）

A．
向右平移个单位得到
B．
向左平移个单位得到

C．
向右平移个单位得到
D．
向左平移个单位得到

6．（2015•惠州模拟）函数f（x）=sin（ωx+φ）（x∈R，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（　　）

A．
2，﹣
B．
2，﹣
C．
4，﹣
D．
4，

7．（2014•辽宁）将函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（　　）

A．
在区间[，]上单调递减
B．
在区间[，]上单调递增

C．
在区间[﹣，]上单调递减
D．
在区间[﹣，]上单调递增

8．（2014•博白县模拟）已知sinα+cos（α﹣）=，则cos（α﹣）的值等于（　　）

A．
﹣
B．

C．
﹣
D．

9．（2014•江西二模）已知，，则cosα=（　　）

A．

B．

C．
或
D．

10．（2014•重庆）已知向量=（k，3），=（1，4），=（2，1）且（2﹣3）⊥，则实数k=（　　）

A．
﹣
B．
0
C．
3
D．

11．（2014•江西）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c2=（a﹣b）2+6，C=，则△ABC的面积是（　　）

A．

B．

C．

D．
3

二．填空题（共9小题）
12．（2014•福建）在△ABC中，A=60°，AC=4，BC=2，则△ABC的面积等于　_________　．

13．（2014•福建）在△ABC中，A=60°，AC=2，BC=，则AB等于　_________　．

14．（2014•江西）已知单位向量与的夹角为α，且cosα=，若向量=3﹣2，则||=　_________　．

15．（2014•广安一模）设向量，若向量与向量共线，则λ=　_________　．

16．（2014•山东）函数y=sin2x+cos2x的最小正周期为　_________　．

17．（2012•江苏）设a为锐角，若cos（a+）=，则sin（2a+）的值为　_________　．

18．（2014•重庆）将函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣≤φ＜）图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y=sinx的图象，则f（）=　_________　．

19．（2014•安徽）若将函数f（x）=sin（2x+）的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是　_________　．

20．（2014•广西）函数y=cos2x+2sinx的最大值为　_________　．

三．解答题（共6小题）
21．（2014•山东）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=3，cosA=，B=A+．
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）求△ABC的面积．

22．（2014•天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a﹣c=b，sinB=sinC，
（Ⅰ）求cosA的值；
（Ⅱ）求cos（2A﹣）的值．

23．（2014•浙江）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a≠b，c=，cos2A﹣cos2B=sinAcosA﹣sinBcosB．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若sinA=，求△ABC的面积．

24．（2014•福建）已知函数f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣．
（1）若0＜α＜，且sinα=，求f（α）的值；
（2）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间．

25．（2015•河南二模）已知向量=（cosA，﹣sinA），=（cosB，sinB），•=cos2C，其中A、B、C为△ABC的内角．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若AB=6，且，求AC、BC的长．

26．（2014•重庆）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣≤φ＜）的图象关于直线x=对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π．
（Ⅰ）求ω和φ的值；
（Ⅱ）若f（）=（＜α＜），求cos（α+）的值．

专题二：三角函数，三角恒等变换，平面向量，解三角形
参考答案与试题解析

一．选择题（共11小题）
1．（2014•河南）在函数①y=cos丨2x丨，②y=丨cosx丨，③y=cos（2x+）④y=tan（2x﹣）中，最小正周期为π的所有函数为（　　）

A．
①②③
B．
①③④
C．
②④
D．
①③

考点：
三角函数的周期性及其求法．菁优网版权所有
专题：
三角函数的图像与性质．
分析：
根据三角函数的周期性，求出各个函数的最小正周期，从而得出结论．
解答：
解：∵函数①y=cos丨2x丨=cos2x，它的最小正周期为 =π，
②y=丨cosx丨的最小正周期为=π，
③y=cos（2x+）的最小正周期为 =π，
④y=tan（2x﹣）的最小正周期为 ，
故选：A．
点评：
本题主要考查三角函数的周期性及求法，属于基础题．

2．（2014•包头一模）设函数，则f（x）=sin（2x+）+cos（2x+），则（　　）

A．
y=f（x）在（0，）单调递增，其图象关于直线x=对称

B．
y=f（x）在（0，）单调递增，其图象关于直线x=对称

C．
y=f（x）在（0，）单调递减，其图象关于直线x=对称

D．
y=f（x）在（0，）单调递减，其图象关于直线x=对称

考点：
正弦函数的对称性；正弦函数的单调性．菁优网版权所有
专题：
计算题；压轴题．
分析：
利用辅助角公式（两角和的正弦函数）化简函数f（x）=sin（2x+）+cos（2x+），然后求出对称轴方程，判断y=f（x）在（0，）单调性，即可得到答案．
解答：
解：因为f（x）=sin（2x+）+cos（2x+）=sin（2x+）=cos2x．
它的对称轴方程可以是：x=；所以A，C错误；函数y=f（x）在（0，）单调递减，所以B错误；D正确．
故选D
点评：
本题是基础题，考查三角函数的化简，三角函数的性质：对称性、单调性，考查计算能力，常考题型．

3．（2014•福建）已知函数f（x）=，则下列结论正确的是（　　）

A．
f（x）是偶函数
B．
f（x）是增函数
C．
f（x）是周期函数
D．
f（x）的值域为[﹣1，+∞）

考点：
余弦函数的单调性．菁优网版权所有
专题：
函数的性质及应用．
分析：
由三角函数和二次函数的性质，分别对各个选项判断即可．
解答：
解：由解析式可知当x≤0时，f（x）=cosx为周期函数，
当x＞0时，f（x）=x2+1，为二次函数的一部分，
故f（x）不是单调函数，不是周期函数，也不具备奇偶性，
故可排除A、B、C，
对于D，当x≤0时，函数的值域为[﹣1，1]，
当x＞0时，函数的值域为值域为（1，+∞），
故函数f（x）的值域为[﹣1，+∞），故正确．
故选：D
点评：
本题考查分段函数的性质，涉及三角函数的性质，属基础题．

4．（2014•广西）设a=sin33°，b=cos55°，c=tan35°，则（　　）

A．
a＞b＞c
B．
b＞c＞a
C．
c＞b＞a
D．
c＞a＞b

考点：
正切函数的单调性．菁优网版权所有
专题：
三角函数的求值．
分析：
可得b=sin35°，易得b＞a，c=tan35°=＞sin35°，综合可得．
解答：
解：由诱导公式可得b=cos55°=cos（90°﹣35°）=sin35°，
由正弦函数的单调性可知b＞a，
而c=tan35°=＞sin35°=b，
∴c＞b＞a
故选：C
点评：
本题考查三角函数值大小的比较，涉及诱导公式和三角函数的单调性，属基础题．

5．（2015•重庆一模）函数y=sin3x的图象可以由函数y=cos3x的图象（　　）

A．
向右平移个单位得到
B．
向左平移个单位得到

C．
向右平移个单位得到
D．
向左平移个单位得到

考点：
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
由于函数y=sin3x=cos3（x﹣），故把函数y=cos3x的图象向右平移个单位，即可达到目标．
解答：
解：由于函数y=sin3x=cos（3x+）=cos（3x﹣）=cos3（x﹣），
故把函数y=cos3x的图象向右平移个单位，即可得到y=cos3（x﹣）=sin3x的图象，
故选A．
点评：
本题主要考查函数y=Asin（ωx+∅）的图象平移变换，属于中档题．

6．（2015•惠州模拟）函数f（x）=sin（ωx+φ）（x∈R，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（　　）

A．
2，﹣
B．
2，﹣
C．
4，﹣
D．
4，

考点：
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．菁优网版权所有
专题：
三角函数的图像与性质．
分析：
由函数的图象可得，代入周期公式求得ω的值，再由五点作图的第二点列式求得φ的值．
解答：
解：由图知，
∴T=π，即=π，解得：ω=2．
由五点作图的第二点可知，2×+φ=，即φ=﹣，满足|φ|＜，
∴ω，φ的值分别是2，﹣．
故选：A．
点评：
本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解函数解析式，解答的关键是由五点作图的某一点列式求解φ的值，是基础题．

7．（2014•辽宁）将函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（　　）

A．
在区间[，]上单调递减
B．
在区间[，]上单调递增

C．
在区间[﹣，]上单调递减
D．
在区间[﹣，]上单调递增

考点：
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．菁优网版权所有
专题：
三角函数的图像与性质．
分析：
直接由函数的图象平移得到平移后的图象所对应的函数解析式，然后利用复合函数的单调性的求法求出函数的增区间，取k=0即可得到函数在区间[，]上单调递增，则答案可求．
解答：
解：把函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，
得到的图象所对应的函数解析式为：y=3sin[2（x﹣）+]．
即y=3sin（2x﹣）．
由，得．
取k=0，得．
∴所得图象对应的函数在区间[，]上单调递增．
故选：B．
点评：
本题考查了函数图象的平移，考查了复合函数单调性的求法，复合函数的单调性满足“同增异减”原则，是中档题．

8．（2014•博白县模拟）已知sinα+cos（α﹣）=，则cos（α﹣）的值等于（　　）

A．
﹣
B．

C．
﹣
D．

考点：
两角和与差的余弦函数．菁优网版权所有
专题：
三角函数的图像与性质．
分析：
首先，根据sinα+cos（α﹣）=，借助于两角差的余弦公式展开，然后，借助于辅助角公式，化简后，得到结果．
解答：
解：∵sinα+cos（α﹣）=，
∴sinα+cosαcos+sinαsin=，
∴sinα+cosα=，
∴（sinα+cosα）=，
∴cos（α﹣）=，
∴cos（α﹣）=，
故选：B．
点评：
本题属于中档题，重点考查了三角恒等变换公式，注意公式的应用是解题的关键．

9．（2014•江西二模）已知，，则cosα=（　　）

A．

B．

C．
或
D．

考点：
两角和与差的余弦函数．菁优网版权所有
专题：
计算题；三角函数的求值．
分析：
根据同角三角函数的关系，算出，再进行配角：α=（）﹣，利用两角差的余弦公式加以计算，即可求出cosα的值．
解答：
解：∵，∴，
由此可得，
∴cosα=cos[（）﹣]=+
==．
故选：A
点评：
本题给出钝角α，在已知的情况下求cosα的值，着重考查了任意角的三角函数、同角三角函数的基本关系、两角和与差的余弦公式等知识，属于基础题．

10．（2014•重庆）已知向量=（k，3），=（1，4），=（2，1）且（2﹣3）⊥，则实数k=（　　）

A．
﹣
B．
0
C．
3
D．

考点：
平面向量的坐标运算．菁优网版权所有
专题：
平面向量及应用．
分析：
根据两个向量的坐标，写出两个向量的数乘与和的运算结果，根据两个向量的垂直关系，写出两个向量的数量积等于0，得到关于k的方程，解方程即可．
解答：
解：∵=（k，3），=（1，4），=（2，1）
∴2﹣3=（2k﹣3，﹣6），
∵（2﹣3）⊥，
∴（2﹣3）•=0'
∴2（2k﹣3）+1×（﹣6）=0，
解得，k=3．
故选：C．
点评：
本题考查数量积的坐标表达式，是一个基础题，题目主要考查数量积的坐标形式，注意数字的运算不要出错．

11．（2014•江西）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c2=（a﹣b）2+6，C=，则△ABC的面积是（　　）

A．

B．

C．

D．
3

考点：
余弦定理．菁优网版权所有
专题：
解三角形．
分析：
将“c2=（a﹣b）2+6”展开，另一方面，由余弦定理得到c2=a2+b2﹣2abcosC，比较两式，得到ab的值，计算其面积．
解答：
解：由题意得，c2=a2+b2﹣2ab+6，
又由余弦定理可知，c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab，
∴﹣2ab+6=﹣ab，即ab=6．
∴S△ABC==．
故选：C．
点评：
本题是余弦定理的考查，在高中范围内，正弦定理和余弦定理是应用最为广泛，也是最方便的定理之一，高考中对这部分知识的考查一般不会太难，有时也会和三角函数，向量，不等式等放在一起综合考查．

二．填空题（共9小题）
12．（2014•福建）在△ABC中，A=60°，AC=4，BC=2，则△ABC的面积等于　2　．

考点：
正弦定理．菁优网版权所有
专题：
解三角形．
分析：
利用三角形中的正弦定理求出角B，再利用三角形的面积公式求出△ABC的面积．
解答：
解：∵△ABC中，A=60°，AC=4，BC=2，
由正弦定理得：，
∴，
解得sinB=1，
∴B=90°，C=30°，
∴△ABC的面积=．
故答案为：．
点评：
本题着重考查了给出三角形的两边和其中一边的对角，求它的面积．正余弦定理、解直角三角形、三角形的面积公式等知识，属于基础题．

13．（2014•福建）在△ABC中，A=60°，AC=2，BC=，则AB等于　1　．

考点：
余弦定理；正弦定理．菁优网版权所有
专题：
三角函数的求值．
分析：
利用余弦定理列出关系式，将AC，BC，以及cosA的值代入即可求出AB的长．
解答：
解：∵在△ABC中，A=60°，AC=b=2，BC=a=，
∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即3=4+c2﹣2c，
解得：c=1，
则AB=c=1，
故答案为：1
点评：
此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．

14．（2014•江西）已知单位向量与的夹角为α，且cosα=，若向量=3﹣2，则||=　3　．

考点：
向量的模．菁优网版权所有
专题：
平面向量及应用．
分析：
由条件利用两个向量的数量积的定义求出的值，从而得到||的值．
解答：
解：=9=9，
∴||=3，
故答案为：3．
点评：
本题主要考查两个向量的数量积的定义，求向量的模的方法，属于基础题．

15．（2014•广安一模）设向量，若向量与向量共线，则λ=　2　．

考点：
平行向量与共线向量．菁优网版权所有
分析：
用向量共线的充要条件：它们的坐标交叉相乘相等列方程解．
解答：
解：∵a=（1，2），b=（2，3），
∴λa+b=（λ，2λ）+（2，3）=（λ+2，2λ+3）．
∵向量λa+b与向量c=（﹣4，﹣7）共线，
∴﹣7（λ+2）+4（2λ+3）=0，
∴λ=2．
故答案为2
点评：
考查两向量共线的充要条件．

16．（2014•山东）函数y=sin2x+cos2x的最小正周期为　π　．

考点：
二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法．菁优网版权所有
专题：
三角函数的图像与性质．
分析：
利用两角和的正弦公式、二倍角的余弦公式化简函数的解析式为f（x）=sin（2x+），从而求得函数的最小正周期
解答：
解：∵函数y=sin2x+cos2x=sin2x+=sin（2x+）+，
故函数的最小正周期的最小正周期为 =π，
故答案为：π．
点评：
本题主要考查两角和的正弦公式、二倍角的余弦公式，正弦函数的周期性，属于基础题．

17．（2012•江苏）设a为锐角，若cos（a+）=，则sin（2a+）的值为　　．

考点：
三角函数中的恒等变换应用；两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦．菁优网版权所有
专题：
计算题；压轴题．
分析：
根据a为锐角，cos（a+）=为正数，可得a+也是锐角，利用平方关系可得sin（a+）=．接下来配角，得到cosa=，sina=，再用二倍角公式可得sin2a=，cos2a=，最后用两角和的正弦公式得到sin（2a+）=sin2acos+cosasin=．
解答：
解：∵a为锐角，cos（a+）=，
∴a+也是锐角，且sin（a+）==
∴cosa=cos[（a+）﹣]=cos+sin=
sina=sin[（a+）﹣]=cos﹣sin=
由此可得sin2a=2sinacosa=，cos2a=cos2a﹣sin2a=
又∵sin=sin（）=，cos=cos（）=
∴sin（2a+）=sin2acos+cosasin=•+•=
故答案为：
点评：
本题要我们在已知锐角a+的余弦值的情况下，求2a+的正弦值，着重考查了两角和与差的正弦、余弦公式和二倍角的正弦、余弦等公式，考查了三角函数中的恒等变换应用，属于中档题．

18．（2014•重庆）将函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣≤φ＜）图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y=sinx的图象，则f（）=　　．

考点：
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．菁优网版权所有
专题：
三角函数的图像与性质．
分析：
哟条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得sin（2ωx+φ﹣ω）=sinx，可得2ω=1，且 φ﹣ω=2kπ，k∈z，由此求得ω、φ的值，可得f（x）的解析式，从而求得f（）的值．
解答：
解：函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣≤φ＜）图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，可得函数y=sin（2ωx+φ）的图象．
再把所得图象再向右平移个单位长度得到函数y=sin[2ω（x﹣）+φ）]
=sin（2ωx+φ﹣ω）=sinx的图象，
∴2ω=1，且 φ﹣ω=2kπ，k∈z，
∴ω=，φ=，∴f（x）=sin（x+），
∴f（）=sin（+）=sin=．
故答案为：．
点评：
本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．

19．（2014•安徽）若将函数f（x）=sin（2x+）的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是　　．

考点：
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．菁优网版权所有
专题：
三角函数的图像与性质．
分析：
根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得所得图象对应的函数解析式为y=sin（2x+﹣2φ），再根据所得图象关于y轴对称可得﹣2φ=kπ+，k∈z，由此求得φ的最小正值．
解答：
解：将函数f（x）=sin（2x+）的图象向右平移φ个单位，
所得图象对应的函数解析式为y=sin[2（x﹣φ）+]=sin（2x+﹣2φ）关于y轴对称，
则 ﹣2φ=kπ+，k∈z，即 φ=﹣﹣，故φ的最小正值为，
故答案为：．
点评：
本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，属于中档题．

20．（2014•广西）函数y=cos2x+2sinx的最大值为　　．

考点：
正弦函数的定义域和值域；二次函数在闭区间上的最值．菁优网版权所有
专题：
三角函数的求值．
分析：
利用二倍角的余弦公式化简函数的解析式为y=﹣2+，再根据正弦函数的值域、二次函数的性质求得函数的最大值．
解答：
解：∵函数y=cos2x+2sinx=﹣2sin2x+2sinx+1=﹣2+，
∴当sinx=时，函数y取得最大值为，
故答案为：．
点评：
本题主要考查二倍角的余弦公式，二次函数的性质应用，正弦函数的值域，属于基础题．

三．解答题（共6小题）
21．（2014•山东）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=3，cosA=，B=A+．
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）求△ABC的面积．

考点：
正弦定理．菁优网版权所有
专题：
解三角形．
分析：
（Ⅰ）利用cosA求得sinA，进而利用A和B的关系求得sinB，最后利用正弦定理求得b的值．
（Ⅱ）利用sinB，求得cosB的值，进而根两角和公式求得sinC的值，最后利用三角形面积公式求得答案．
解答：
解：（Ⅰ）∵cosA=，
∴sinA==，
∵B=A+．
∴sinB=sin（A+）=cosA=，
由正弦定理知=，
∴b=•sinB=×=3．
（Ⅱ）∵sinB=，B=A+＞
∴cosB=﹣=﹣，
sinC=sin（π﹣A﹣B）=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=×（﹣）+×=，
∴S=a•b•sinC=×3×3×=．
点评：
本题主要考查了正弦定理的应用．解题过程中结合了同角三角函数关系，三角函数恒等变换的应用，注重了基础知识的综合运用．

22．（2014•天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a﹣c=b，sinB=sinC，
（Ⅰ）求cosA的值；
（Ⅱ）求cos（2A﹣）的值．

考点：
正弦定理；两角和与差的余弦函数．菁优网版权所有
专题：
三角函数的求值．
分析：
（Ⅰ）已知第二个等式利用正弦定理化简，代入第一个等式表示出a，利用余弦定理表示出cosA，将表示出的a，b代入计算，即可求出cosA的值；
（Ⅱ）由cosA的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，进而利用二倍角的正弦、余弦函数公式求出sin2A与cos2A的值，原式利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，将各自的值代入计算即可求出值．
解答：
解：（Ⅰ）将sinB=sinC，利用正弦定理化简得：b=c，
代入a﹣c=b，得：a﹣c=c，即a=2c，
∴cosA===；
（Ⅱ）∵cosA=，A为三角形内角，
∴sinA==，
∴cos2A=2cos2A﹣1=﹣，sin2A=2sinAcosA=，
则cos（2A﹣）=cos2Acos+sin2Asin=﹣×+×=．
点评：
此题考查了正弦、余弦定理，同角三角函数间的基本关系，二倍角的正弦、余弦函数公式，以及两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．

23．（2014•浙江）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a≠b，c=，cos2A﹣cos2B=sinAcosA﹣sinBcosB．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若sinA=，求△ABC的面积．

考点：
正弦定理；二倍角的正弦；二倍角的余弦．菁优网版权所有
专题：
解三角形．
分析：
（Ⅰ）△ABC中，由条件利用二倍角公式化简可得﹣2sin（A+B）sin（A﹣B）=2•cos（A+B）sin（A﹣B）．
求得tan（A+B）的值，可得A+B的值，从而求得C的值．
（Ⅱ）由 sinA= 求得cosA的值．再由正弦定理求得a，再求得 sinB=sin[（A+B）﹣A]的值，从而求得△ABC的面积为 的值．
解答：
解：（Ⅰ）∵△ABC中，a≠b，c=，cos2A﹣cos2B=sinAcosA﹣sinBcosB，
∴﹣=sin2A﹣sin2B，
即 cos2A﹣cos2B=sin2A﹣sin2B，即﹣2sin（A+B）sin（A﹣B）=2•cos（A+B）sin（A﹣B）．
∵a≠b，∴A≠B，sin（A﹣B）≠0，
∴tan（A+B）=﹣，∴A+B=，∴C=．
（Ⅱ）∵sinA=＜，C=，∴A＜，或A＞（舍去），∴cosA==．
由正弦定理可得，=，即 =，∴a=．
∴sinB=sin[（A+B）﹣A]=sin（A+B）cosA﹣cos（A+B）sinA=﹣（﹣）×=，
∴△ABC的面积为 =×=．
点评：
本题主要考查二倍角公式、两角和差的三角公式、正弦定理的应用，属于中档题．

24．（2014•福建）已知函数f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣．
（1）若0＜α＜，且sinα=，求f（α）的值；
（2）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间．

考点：
三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．菁优网版权所有
专题：
三角函数的图像与性质．
分析：
（1）利用同角三角函数关系求得cosα的值，分别代入函数解析式即可求得f（α）的值．
（2）利用两角和公式和二倍角公式对函数解析式进行恒等变换，进而利用三角函数性质和周期公式求得函数最小正周期和单调增区间．
解答：
解：（1）∵0＜α＜，且sinα=，
∴cosα=，
∴f（α）=cosα（sinα+cosα）﹣，
=×（+）﹣
=．
（2）f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣．
=sinxcosx+cos2x﹣
=sin2x+cos2x
=sin（2x+），
∴T==π，
由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，
∴f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．
点评：
本题主要考查了三角函数恒等变换的应用．考查了学生对基础知识的综合运用．

25．（2015•河南二模）已知向量=（cosA，﹣sinA），=（cosB，sinB），•=cos2C，其中A、B、C为△ABC的内角．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若AB=6，且，求AC、BC的长．

考点：
数量积的坐标表达式；三角函数中的恒等变换应用．菁优网版权所有
专题：
计算题；平面向量及应用．
分析：
（I）•=cos2C，由向量数量积公式，结合二倍角的余弦公式化简得2cos2C+cosC﹣1=0，解出cosC=，结合C∈（0，π）可得角C的大小；
（II）由利用向量的数量积公式算出•=36，根据余弦定理AB2=AC2+BC2﹣2AC•BCcosC=36，化简得AC+BC=12，两式联解即可算出AC、BC的长．
解答：
解：（Ⅰ）∵=（cosA，﹣sinA），=（cosB，sinB），
∴•=cos2C，即cosAcosB﹣sinAsinB=cos（A+B）=﹣cosC=cos2C，…（2分）
化简得：2cos2C+cosC﹣1=0，…（4分）
故cosC=（cosC=﹣1舍去）
∵C∈（0，π），∴C=． …（7分）
（Ⅱ）∵，∴•cos=36，即•=36． ①…（9分）
由余弦定理得AB2=AC2+BC2﹣2AC•BCcos60°=36，
化简得：AC+BC=12 ②…（12分）
联解①②，可得AC=BC=6． …（14分）
点评：
本题给出向量含有三角函数的坐标，在已知数量积的情况下解三角形ABC．着重考查了向量的数量积公式、解三角形等知识，属于中档题．

26．（2014•重庆）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣≤φ＜）的图象关于直线x=对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π．
（Ⅰ）求ω和φ的值；
（Ⅱ）若f（）=（＜α＜），求cos（α+）的值．

考点：
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；运用诱导公式化简求值．菁优网版权所有
专题：
三角函数的图像与性质．
分析：
（Ⅰ）由题意可得函数f（x）的最小正周期为π 求得ω=2．再根据图象关于直线x=对称，结合﹣≤φ＜可得 φ 的值．
（Ⅱ）由条件求得sin（α﹣）=．再根据α﹣的范围求得cos（α﹣）的值，再根据cos（α+）=sinα=sin[（α﹣）+]，利用两角和的正弦公式计算求得结果．
解答：
解：（Ⅰ）由题意可得函数f（x）的最小正周期为π，∴=π，∴ω=2．
再根据图象关于直线x=对称，可得 2×+φ=kπ+，k∈z．
结合﹣≤φ＜可得 φ=﹣．
（Ⅱ）∵f（）=（＜α＜），
∴sin（α﹣）=，∴sin（α﹣）=．
再根据 0＜α﹣＜，
∴cos（α﹣）==，
∴cos（α+）=sinα=sin[（α﹣）+]=sin（α﹣）cos+cos（α﹣）sin
=+=．
点评：
本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求函数的解析式，两角和差的三角公式、的应用，属于中档题．

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