专题二：三角函数-三角恒等变换-平面向量-解三角形2015.1.9.doc

专题二：三角函数-三角恒等变换-平面向量-解三角形2015.1.9菁优网专题二：三角函数，三角恒等变换，平面向量，解三角形 专题二：三角函数，三角恒等变换，平面向量，解三角形2015.1.9一选择题（共11小题）1（2014河南）在函数y=cos丨2x丨，y=丨cosx丨，y=cos（2x+）y=tan（2x）中，最小正周期为的所有函数为（）ABCD2（2014包头一模）设函数，则f（x）=sin（2x+）+cos（2x+），则（）Ay=f（x）在（0，）单调递增，其图象关于直线x=对称By=f（x）在（0，）单调递增，其图象关于直线x=对称Cy=f（x）在（0，）单调递减，其图象关于直线x=对称Dy=f（x）在（0，）单调递减，其图象关于直线x=对称3（2014福建）已知函数f（x）=，则下列结论正确的是（）Af（x）是偶函数Bf（x）是增函数Cf（x）是周期函数Df（x）的值域为1，+）4（2014广西）设a=sin33，b=cos55，c=tan35，则（）AabcBbcaCcbaDcab5（2015重庆一模）函数y=sin3x的图象可以由函数y=cos3x的图象（）A向右平移个单位得到B向左平移个单位得到C向右平移个单位得到D向左平移个单位得到6（2015惠州模拟）函数f（x）=sin（x+）（xR，0，|）的部分图象如图所示，则，的值分别是（）A2，B2，C4，D4，7（2014辽宁）将函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）A在区间，上单调递减B在区间，上单调递增C在区间，上单调递减D在区间，上单调递增8（2014博白县模拟）已知sin+cos（）=，则cos（）的值等于（）ABCD9（2014江西二模）已知，则cos=（）ABC或D10（2014重庆）已知向量=（k，3），=（1，4），=（2，1）且（23），则实数k=（）AB0C3D11（2014江西）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c2=（ab）2+6，C=，则ABC的面积是（）ABCD3二填空题（共9小题）12（2014福建）在ABC中，A=60，AC=4，BC=2，则ABC的面积等于_13（2014福建）在ABC中，A=60，AC=2，BC=，则AB等于_14（2014江西）已知单位向量与的夹角为，且cos=，若向量=32，则|=_15（2014广安一模）设向量，若向量与向量共线，则=_16（2014山东）函数y=sin2x+cos2x的最小正周期为_17（2012江苏）设a为锐角，若cos（a+）=，则sin（2a+）的值为_18（2014重庆）将函数f（x）=sin（x+）（0，）图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y=sinx的图象，则f（）=_19（2014安徽）若将函数f（x）=sin（2x+）的图象向右平移个单位，所得图象关于y轴对称，则的最小正值是_20（2014广西）函数y=cos2x+2sinx的最大值为_三解答题（共6小题）21（2014山东）ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知a=3，cosA=，B=A+（）求b的值；（）求ABC的面积22（2014天津）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知ac=b，sinB=sinC，（）求cosA的值；（）求cos（2A）的值23（2014浙江）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知ab，c=，cos2Acos2B=sinAcosAsinBcosB（）求角C的大小；（）若sinA=，求ABC的面积24（2014福建）已知函数f（x）=cosx（sinx+cosx）（1）若0，且sin=，求f（）的值；（2）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间25（2015河南二模）已知向量=（cosA，sinA），=（cosB，sinB），=cos2C，其中A、B、C为ABC的内角（）求角C的大小；（）若AB=6，且，求AC、BC的长26（2014重庆）已知函数f（x）=sin（x+）（0，）的图象关于直线x=对称，且图象上相邻两个最高点的距离为（）求和的值；（）若f（）=（），求cos（+）的值专题二：三角函数，三角恒等变换，平面向量，解三角形参考答案与试题解析一选择题（共11小题）1（2014河南）在函数y=cos丨2x丨，y=丨cosx丨，y=cos（2x+）y=tan（2x）中，最小正周期为的所有函数为（）ABCD考点：三角函数的周期性及其求法菁优网版权所有专题：三角函数的图像与性质分析：根据三角函数的周期性，求出各个函数的最小正周期，从而得出结论解答：解：函数y=cos丨2x丨=cos2x，它的最小正周期为 =，y=丨cosx丨的最小正周期为=，y=cos（2x+）的最小正周期为 =，y=tan（2x）的最小正周期为 ，故选：A点评：本题主要考查三角函数的周期性及求法，属于基础题2（2014包头一模）设函数，则f（x）=sin（2x+）+cos（2x+），则（）Ay=f（x）在（0，）单调递增，其图象关于直线x=对称By=f（x）在（0，）单调递增，其图象关于直线x=对称Cy=f（x）在（0，）单调递减，其图象关于直线x=对称Dy=f（x）在（0，）单调递减，其图象关于直线x=对称考点：正弦函数的对称性；正弦函数的单调性菁优网版权所有专题：计算题；压轴题分析：利用辅助角公式（两角和的正弦函数）化简函数f（x）=sin（2x+）+cos（2x+），然后求出对称轴方程，判断y=f（x）在（0，）单调性，即可得到答案解答：解：因为f（x）=sin（2x+）+cos（2x+）=sin（2x+）=cos2x它的对称轴方程可以是：x=；所以A，C错误；函数y=f（x）在（0，）单调递减，所以B错误；D正确故选D点评：本题是基础题，考查三角函数的化简，三角函数的性质：对称性、单调性，考查计算能力，常考题型3（2014福建）已知函数f（x）=，则下列结论正确的是（）Af（x）是偶函数Bf（x）是增函数Cf（x）是周期函数Df（x）的值域为1，+）考点：余弦函数的单调性菁优网版权所有专题：函数的性质及应用分析：由三角函数和二次函数的性质，分别对各个选项判断即可解答：解：由解析式可知当x0时，f（x）=cosx为周期函数，当x0时，f（x）=x2+1，为二次函数的一部分，故f（x）不是单调函数，不是周期函数，也不具备奇偶性，故可排除A、B、C，对于D，当x0时，函数的值域为1，1，当x0时，函数的值域为值域为（1，+），故函数f（x）的值域为1，+），故正确故选：D点评：本题考查分段函数的性质，涉及三角函数的性质，属基础题4（2014广西）设a=sin33，b=cos55，c=tan35，则（）AabcBbcaCcbaDcab考点：正切函数的单调性菁优网版权所有专题：三角函数的求值分析：可得b=sin35，易得ba，c=tan35=sin35，综合可得解答：解：由诱导公式可得b=cos55=cos（9035）=sin35，由正弦函数的单调性可知ba，而c=tan35=sin35=b，cba故选：C点评：本题考查三角函数值大小的比较，涉及诱导公式和三角函数的单调性，属基础题5（2015重庆一模）函数y=sin3x的图象可以由函数y=cos3x的图象（）A向右平移个单位得到B向左平移个单位得到C向右平移个单位得到D向左平移个单位得到考点：函数y=Asin（x+）的图象变换菁优网版权所有专题：计算题分析：由于函数y=sin3x=cos3（x），故把函数y=cos3x的图象向右平移个单位，即可达到目标解答：解：由于函数y=sin3x=cos（3x+）=cos（3x）=cos3（x），故把函数y=cos3x的图象向右平移个单位，即可得到y=cos3（x）=sin3x的图象，故选A点评：本题主要考查函数y=Asin（x+）的图象平移变换，属于中档题6（2015惠州模拟）函数f（x）=sin（x+）（xR，0，|）的部分图象如图所示，则，的值分别是（）A2，B2，C4，D4，考点：由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式菁优网版权所有专题：三角函数的图像与性质分析：由函数的图象可得，代入周期公式求得的值，再由五点作图的第二点列式求得的值解答：解：由图知，T=，即=，解得：=2由五点作图的第二点可知，2+=，即=，满足|，的值分别是2，故选：A点评：本题考查由y=Asin（x+）的部分图象求解函数解析式，解答的关键是由五点作图的某一点列式求解的值，是基础题7（2014辽宁）将函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）A在区间，上单调递减B在区间，上单调递增C在区间，上单调递减D在区间，上单调递增考点：函数y=Asin（x+）的图象变换菁优网版权所有专题：三角函数的图像与性质分析：直接由函数的图象平移得到平移后的图象所对应的函数解析式，然后利用复合函数的单调性的求法求出函数的增区间，取k=0即可得到函数在区间，上单调递增，则答案可求解答：解：把函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，得到的图象所对应的函数解析式为：y=3sin2（x）+即y=3sin（2x）由，得取k=0，得所得图象对应的函数在区间，上单调递增故选：B点评：本题考查了函数图象的平移，考查了复合函数单调性的求法，复合函数的单调性满足“同增异减”原则，是中档题8（2014博白县模拟）已知sin+cos（）=，则cos（）的值等于（）ABCD考点：两角和与差的余弦函数菁优网版权所有专题：三角函数的图像与性质分析：首先，根据sin+cos（）=，借助于两角差的余弦公式展开，然后，借助于辅助角公式，化简后，得到结果解答：解：sin+cos（）=，sin+coscos+sinsin=，sin+cos=，（sin+cos）=，cos（）=，cos（）=，故选：B点评：本题属于中档题，重点考查了三角恒等变换公式，注意公式的应用是解题的关键9（2014江西二模）已知，则cos=（）ABC或D考点：两角和与差的余弦函数菁优网版权所有专题：计算题；三角函数的求值分析：根据同角三角函数的关系，算出，再进行配角：=（），利用两角差的余弦公式加以计算，即可求出cos的值解答：解：，由此可得，cos=cos（）=+=故选：A点评：本题给出钝角，在已知的情况下求cos的值，着重考查了任意角的三角函数、同角三角函数的基本关系、两角和与差的余弦公式等知识，属于基础题10（2014重庆）已知向量=（k，3），=（1，4），=（2，1）且（23），则实数k=（）AB0C3D考点：平面向量的坐标运算菁优网版权所有专题：平面向量及应用分析：根据两个向量的坐标，写出两个向量的数乘与和的运算结果，根据两个向量的垂直关系，写出两个向量的数量积等于0，得到关于k的方程，解方程即可解答：解：=（k，3），=（1，4），=（2，1）23=（2k3，6），（23），（23）=02（2k3）+1（6）=0，解得，k=3故选：C点评：本题考查数量积的坐标表达式，是一个基础题，题目主要考查数量积的坐标形式，注意数字的运算不要出错11（2014江西）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c2=（ab）2+6，C=，则ABC的面积是（）ABCD3考点：余弦定理菁优网版权所有专题：解三角形分析：将“c2=（ab）2+6”展开，另一方面，由余弦定理得到c2=a2+b22abcosC，比较两式，得到ab的值，计算其面积解答：解：由题意得，c2=a2+b22ab+6，又由余弦定理可知，c2=a2+b22abcosC=a2+b2ab，2ab+6=ab，即ab=6SABC=故选：C点评：本题是余弦定理的考查，在高中范围内，正弦定理和余弦定理是应用最为广泛，也是最方便的定理之一，高考中对这部分知识的考查一般不会太难，有时也会和三角函数，向量，不等式等放在一起综合考查二填空题（共9小题）12（2014福建）在ABC中，A=60，AC=4，BC=2，则ABC的面积等于2考点：正弦定理菁优网版权所有专题：解三角形分析：利用三角形中的正弦定理求出角B，再利用三角形的面积公式求出ABC的面积解答：解：ABC中，A=60，AC=4，BC=2，由正弦定理得：，解得sinB=1，B=90，C=30，ABC的面积=故答案为：点评：本题着重考查了给出三角形的两边和其中一边的对角，求它的面积正余弦定理、解直角三角形、三角形的面积公式等知识，属于基础题13（2014福建）在ABC中，A=60，AC=2，BC=，则AB等于1考点：余弦定理；正弦定理菁优网版权所有专题：三角函数的求值分析：利用余弦定理列出关系式，将AC，BC，以及cosA的值代入即可求出AB的长解答：解：在ABC中，A=60，AC=b=2，BC=a=，由余弦定理得：a2=b2+c22bccosA，即3=4+c22c，解得：c=1，则AB=c=1，故答案为：1点评：此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键14（2014江西）已知单位向量与的夹角为，且cos=，若向量=32，则|=3考点：向量的模菁优网版权所有专题：平面向量及应用分析：由条件利用两个向量的数量积的定义求出的值，从而得到|的值解答：解：=9=9，|=3，故答案为：3点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，求向量的模的方法，属于基础题15（2014广安一模）设向量，若向量与向量共线，则=2考点：平行向量与共线向量菁优网版权所有分析：用向量共线的充要条件：它们的坐标交叉相乘相等列方程解解答：解：a=（1，2），b=（2，3），a+b=（，2）+（2，3）=（+2，2+3）向量a+b与向量c=（4，7）共线，7（+2）+4（2+3）=0，=2故答案为2点评：考查两向量共线的充要条件16（2014山东）函数y=sin2x+cos2x的最小正周期为考点：二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法菁优网版权所有专题：三角函数的图像与性质分析：利用两角和的正弦公式、二倍角的余弦公式化简函数的解析式为f（x）=sin（2x+），从而求得函数的最小正周期解答：解：函数y=sin2x+cos2x=sin2x+=sin（2x+）+，故函数的最小正周期的最小正周期为 =，故答案为：点评：本题主要考查两角和的正弦公式、二倍角的余弦公式，正弦函数的周期性，属于基础题17（2012江苏）设a为锐角，若cos（a+）=，则sin（2a+）的值为考点：三角函数中的恒等变换应用；两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦菁优网版权所有专题：计算题；压轴题分析：根据a为锐角，cos（a+）=为正数，可得a+也是锐角，利用平方关系可得sin（a+）=接下来配角，得到cosa=，sina=，再用二倍角公式可得sin2a=，cos2a=，最后用两角和的正弦公式得到sin（2a+）=sin2acos+cosasin=解答：解：a为锐角，cos（a+）=，a+也是锐角，且sin（a+）=cosa=cos（a+）=cos+sin=sina=sin（a+）=cossin=由此可得sin2a=2sinacosa=，cos2a=cos2asin2a=又sin=sin（）=，cos=cos（）=sin（2a+）=sin2acos+cosasin=+=故答案为：点评：本题要我们在已知锐角a+的余弦值的情况下，求2a+的正弦值，着重考查了两角和与差的正弦、余弦公式和二倍角的正弦、余弦等公式，考查了三角函数中的恒等变换应用，属于中档题18（2014重庆）将函数f（x）=sin（x+）（0，）图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y=sinx的图象，则f（）=考点：函数y=Asin（x+）的图象变换菁优网版权所有专题：三角函数的图像与性质分析：哟条件根据函数y=Asin（x+）的图象变换规律，可得sin（2x+）=sinx，可得2=1，且 =2k，kz，由此求得、的值，可得f（x）的解析式，从而求得f（）的值解答：解：函数f（x）=sin（x+）（0，）图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，可得函数y=sin（2x+）的图象再把所得图象再向右平移个单位长度得到函数y=sin2（x）+）=sin（2x+）=sinx的图象，2=1，且 =2k，kz，=，=，f（x）=sin（x+），f（）=sin（+）=sin=故答案为：点评：本题主要考查函数y=Asin（x+）的图象变换规律，属于中档题19（2014安徽）若将函数f（x）=sin（2x+）的图象向右平移个单位，所得图象关于y轴对称，则的最小正值是考点：函数y=Asin（x+）的图象变换菁优网版权所有专题：三角函数的图像与性质分析：根据函数y=Asin（x+）的图象变换规律，可得所得图象对应的函数解析式为y=sin（2x+2），再根据所得图象关于y轴对称可得2=k+，kz，由此求得的最小正值解答：解：将函数f（x）=sin（2x+）的图象向右平移个单位，所得图象对应的函数解析式为y=sin2（x）+=sin（2x+2）关于y轴对称，则 2=k+，kz，即 =，故的最小正值为，故答案为：点评：本题主要考查函数y=Asin（x+）的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，属于中档题20（2014广西）函数y=cos2x+2sinx的最大值为考点：正弦函数的定义域和值域；二次函数在闭区间上的最值菁优网版权所有专题：三角函数的求值分析：利用二倍角的余弦公式化简函数的解析式为y=2+，再根据正弦函数的值域、二次函数的性质求得函数的最大值解答：解：函数y=cos2x+2sinx=2sin2x+2sinx+1=2+，当sinx=时，函数y取得最大值为，故答案为：点评：本题主要考查二倍角的余弦公式，二次函数的性质应用，正弦函数的值域，属于基础题三解答题（共6小题）21（2014山东）ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知a=3，cosA=，B=A+（）求b的值；（）求ABC的面积考点：正弦定理菁优网版权所有专题：解三角形分析：（）利用cosA求得sinA，进而利用A和B的关系求得sinB，最后利用正弦定理求得b的值（）利用sinB，求得cosB的值，进而根两角和公式求得sinC的值，最后利用三角形面积公式求得答案解答：解：（）cosA=，sinA=，B=A+sinB=sin（A+）=cosA=，由正弦定理知=，b=sinB=3（）sinB=，B=A+cosB=，sinC=sin（AB）=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=（）+=，S=absinC=33=点评：本题主要考查了正弦定理的应用解题过程中结合了同角三角函数关系，三角函数恒等变换的应用，注重了基础知识的综合运用22（2014天津）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知ac=b，sinB=sinC，（）求cosA的值；（）求cos（2A）的值考点：正弦定理；两角和与差的余弦函数菁优网版权所有专题：三角函数的求值分析：（）已知第二个等式利用正弦定理化简，代入第一个等式表示出a，利用余弦定理表示出cosA，将表示出的a，b代入计算，即可求出cosA的值；（）由cosA的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，进而利用二倍角的正弦、余弦函数公式求出sin2A与cos2A的值，原式利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，将各自的值代入计算即可求出值解答：解：（）将sinB=sinC，利用正弦定理化简得：b=c，代入ac=b，得：ac=c，即a=2c，cosA=；（）cosA=，A为三角形内角，sinA=，cos2A=2cos2A1=，sin2A=2sinAcosA=，则cos（2A）=cos2Acos+sin2Asin=+=点评：此题考查了正弦、余弦定理，同角三角函数间的基本关系，二倍角的正弦、余弦函数公式，以及两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键23（2014浙江）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知ab，c=，cos2Acos2B=sinAcosAsinBcosB（）求角C的大小；（）若sinA=，求ABC的面积考点：正弦定理；二倍角的正弦；二倍角的余弦菁优网版权所有专题：解三角形分析：（）ABC中，由条件利用二倍角公式化简可得2sin（A+B）sin（AB）=2cos（A+B）sin（AB）求得tan（A+B）的值，可得A+B的值，从而求得C的值（）由 sinA= 求得cosA的值再由正弦定理求得a，再求得 sinB=sin（A+B）A的值，从而求得ABC的面积为 的值解答：解：（）ABC中，ab，c=，cos2Acos2B=sinAcosAsinBcosB，=sin2Asin2B，即 cos2Acos2B=sin2Asin2B，即2sin（A+B）sin（AB）=2cos（A+B）sin（AB）ab，AB，sin（AB）0，tan（A+B）=，A+B=，C=（）sinA=，C=，A，或A（舍去），cosA=由正弦定理可得，=，即 =，a=sinB=sin（A+B）A=sin（A+B）cosAcos（A+B）sinA=（）=，ABC的面积为 =点评：本题主要考查二倍角公式、两角和差的三角公式、正弦定理的应用，属于中档题24（2014福建）已知函数f（x）=cosx（sinx+cosx）（1）若0，且sin=，求f（）的值；（2）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法菁优网版权所有专题：三角函数的图像与性质分析：（1）利用同角三角函数关系求得cos的值，分别代入函数解析式即可求得f（）的值（2）利用两角和公式和二倍角公式对函数解析式进行恒等变换，进而利用三角函数性质和周期公式求得函数最小正周期和单调增区间解答：解：（1）0，且sin=，cos=，f（）=cos（sin+cos），=（+）=（2）f（x）=cosx（sinx+cosx）=sinxcosx+cos2x=sin2x+cos2x=sin（2x+），T=，由2k2x+2k+，kZ，得kxk+，kZ，f（x）的单调递增区间为k，k+，kZ点评：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用考查了学生对基础知识的综合运用25（2015河南二模）已知向量=（cosA，sinA），=（cosB，sinB），=cos2C，其中A、B、C为ABC的内角（）求角C的大小；（）若AB=6，且，求AC、BC的长考点：数量积的坐标表达式；三角函数中的恒等变换应用菁优网版权所有专题：计算题；平面向量及应用分析：（I）=cos2C，由向量数量积公式，结合二倍角的余弦公式化简得2cos2C+cosC1=0，解出cosC=，结合C（0，）可得角C的大小；（II）由利用向量的数量积公式算出=36，根据余弦定理AB2=AC2+BC22ACBCcosC=36，化简得AC+BC=12，两式联解即可算出AC、BC的长解答：解：（）=（cosA，sinA），=（cosB，sinB），=cos2C，即cosAcosBsinAsinB=cos（A+B）=cosC=cos2C，（2分）化简得：2cos2C+cosC1=0，（4分）故cosC=（cosC=1舍去）C（0，），C= （7分）（），cos=36，即=36 （9分）由余弦定理得AB2=AC2+BC22ACBCcos60=36，化简得：AC+BC=12 （12分）联解，可得AC=BC=6 （14分）点评：本题给出向量含有三角函数的坐标，在已知数量积的情况下解三角形ABC着重考查了向量的数量积公式、解三角形等知识，属于中档题26（2014重庆）已知函数f（x）=sin（x+）（0，）的图象关于直线x=对称，且图象上相邻两个最高点的距离为（）求和的值；（）若f（）=（），求cos（+）的值考点：函数y=Asin（x+）的图象变换；运用诱导公式化简求值菁优网版权所有专题：三角函数的图像与性质分析：（）由题意可得函数f（x）的最小正周期为 求得=2再根据图象关于直线x=对称，结合可得 的值（）由条件求得sin（）=再根据的范围求得cos（）的值，再根据cos（+）=sin=sin（）+，利用两角和的正弦公式计算求得结果解答：解：（）由题意可得函数f（x）的最小正周期为，=，=2再根据图象关于直线x=对称，可得 2+=k+，kz结合可得 =（）f（）=（），sin（）=，sin（）=再根据 0，cos（）=，cos（+）=sin=sin（）+=sin（）cos+cos（）sin=+=点评：本题主要考查由函数y=Asin（x+）的部分图象求函数的解析式，两角和差的三角公式、的应用，属于中档题2010-2015 菁优网