2022年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(湖南).docx

2022年普通高等学校招生全国统一考试〔湖南卷〕
数 学〔文史类〕
一、选择题：本大题共9小题，每题5分，共45分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.
1.复数z=i·(1+i)(i为虚数单位)在复平面上对应的点位于___ ____
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.“1＜x＜2”是“x＜2”成立的______
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
3.某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件。为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，那么n=___ D ____
A.9 B.10 C.12 D.13
4.f〔x〕是奇函数，g〔x〕是偶函数，且f〔－1〕+g〔1〕=2，f〔1〕+g〔－1〕=4，那么g〔1〕等于____
A.4 B.3 C.2 D.1
5.在锐角ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b. 假设2sinB=b，那么角A等于______
A. B. C. D.
6.函数f〔x〕=㏑x的图像与函数g〔x〕=x2-4x+4的图像的交点个数为______
A.0 B.1 C.2 D.3
7.正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为的矩形，那么该正方体的正视图的面积等于______
A． B.1 C. D.
8.a,b是单位向量，a·b=0.假设向量c满足|c-a-b|=1,那么|c|的最大值为____ C ____
A. B. C. D.
9.事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB〞发生的概率为，那么=____
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分。
10.集合,那么_____
11.在平面直角坐标系xOy中，假设直线〔s为参数〕和直线〔t为参数〕平行，那么常数a的值为_____
12.执行如图1所示的程序框图，如果输入a=1,b=2,那么输出的a的值为____9___
13.假设变量x,y满足约束条件那么x+y的最大值为______
14.设F1，F2是双曲线C， (a>0,b>0)的两个焦点。假设在C上存在一点P。使
PF1⊥PF2，且∠PF1F2=30°，那么C的离心率为___________.
15.对于E={a1，a2,….a100}的子集X={a1，a2,…,an},定义X的“特征数列〞为x1,x2…,x100,其中x1=x10=…xn=1.其余项均为0，例如子集{a2，a3}的“特征数列〞为0，1，0，0，…,0
(1) 子集{a1,a3,a5}的“特征数列〞的前三项和等于___________;
(2) 假设E的子集P的“特征数列〞P1，P2，…,P100 满足P1+Pi+1=1, 1≤i≤99;
E 的子集Q的“特征数列〞 q1，q2，q100 满足q1=1，q1+qj+1+qj+2=1，
1≤j≤98，那么P∩Q的元素个数为_________.
三、解答题；本大题共6小题，共75分。解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16.〔本小题总分值12分〕
函数f(x)=fx=cosx.cos(x-π3)
（1） 求的值；
（2） 求使 成立的x的取值集合
17.(本小题总分值12分)
如图2.在直菱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA1=3，D是BC的中点，点E在菱BB1上运动。
（I） 证明：AD⊥C1E；
（II） 当异面直线AC，C1E 所成的角为60°时，求三菱子C1-A2B1E的体积。
18.〔本小题总分值12分〕
某人在如图3所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点〔指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点〕处都种了一株相同品种的作物。根据历年的种植经验，一株该种作物的年收货量(单位：kg)与它的“相近〞作物株数之间的关系如下表所示：
这里，两株作物“相近〞是指它们之间的直线距离不超过1米。
〔Ⅰ〕完成下表,并求所种作物的平均年收获量;
(Ⅱ)在所种作物中随机选取一株,求它的年收获量至少为48kg的概率.
19.〔本小题总分值13分〕
设为数列{}的前项和，，2，N
〔Ⅰ〕求，，并求数列｛｝的通项公式；(Ⅱ)求数列｛｝的前项和。
20.〔本小题总分值13分〕
，分别是椭圆的左、右焦点，关于直线的对称点是圆的一条直径的两个端点。
〔Ⅰ〕求圆的方程；
(Ⅱ)设过点的直线被椭圆和圆所截得的弦长分别为，。当最大时，求直线的方程。
21.〔本小题总分值13分〕函数f〔x〕=.
〔Ⅰ〕求f〔x〕的单调区间；
〔Ⅱ〕证明：当f〔x1〕=f〔x2〕(x1≠x2)时，x1+x2＜0.
参考答案
一、选择题
1．B
2．A
3．D
4．B
5．A
6．C
7．D
8．C
9．D
10．
11．4
12．4
13．6
14．
15．〔1〕 2 〔2〕17
16．解： (1)
。
〔2〕由〔1〕知，
17．解： (Ⅰ) .
.
(证毕)
〔Ⅱ〕.
.
18．解： (Ⅰ) 由图知，三角形中共有15个格点,
与周围格点的距离不超过1米的格点数都是1个的格点有2个，坐标分别为(4,0),(0,4)。
与周围格点的距离不超过1米的格点数都是2个的格点有4个，坐标分别为(0,0), (1,3), (2,2),(3,1)。
与周围格点的距离不超过1米的格点数都是3个的格点有6个，坐标分别为(1,0), (2,0), (3,0),(0，1,) ,(0，2),(0，3,)。
与周围格点的距离不超过1米的格点数都是4个的格点有3个，坐标分别为(1，1), (1,2), (2,1)。如下表所示：
Y
51
48
45
42
频数
2
4
6
3
平均年收获量.
〔Ⅱ〕在15株中，年收获量至少为48kg的作物共有2+4=6个.
所以，15株中任选一个，它的年收获量至少为48k的概率P=.
19．解： (Ⅰ)
-
〔Ⅱ〕
上式左右错位相减：
。
20．解： (Ⅰ) 先求圆C关于直线x + y – 2 = 0对称的圆D，由题知圆D的直径为直线对称.
〔Ⅱ〕由(Ⅰ)知(2,0), ,据题可设直线方程为: x = my +2,m∈R. 这时直线可被圆和椭圆截得2条弦，符合题意.
圆C:到直线的距离。
.
由椭圆的焦半径公式得：
.
所以当
21．解： (Ⅰ)
.
所以，。
〔Ⅱ〕由(Ⅰ)知，只需要证明：当x>0时f(x) < f(-x)即可。
。
。