鞍山市重点中学高三下学期一模考试数学试题含解析.doc

2021-2022高考数学模拟试卷含解析
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．水平放置的，用斜二测画法作出的直观图是如图所示的，其中 ，则绕AB所在直线旋转一周后形成的几何体的表面积为（ ）

A． B． C． D．
2．已知复数满足，则的共轭复数是（ ）
A． B． C． D．
3．已知为坐标原点，角的终边经过点且，则( )
A． B． C． D．
4．已知函数，若，使得，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．若实数满足不等式组，则的最大值为（ ）
A． B． C．3 D．2
6．已知，，若，则实数的值是（　　）
A．-1 B．7 C．1 D．1或7
7．已知双曲线的离心率为，抛物线的焦点坐标为，若，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．圆心为且和轴相切的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
9．已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
10．曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数是奇函数，且，若对，恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．在中，，，，点满足，则等于（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知双曲线的左、右焦点和点为某个等腰三角形的三个顶点，则双曲线C的离心率为________.
14．三所学校举行高三联考，三所学校参加联考的人数分别为160，240，400，为调查联考数学学科的成绩，现采用分层抽样的方法在这三所学校中抽取样本，若在学校抽取的数学成绩的份数为30，则抽取的样本容量为____________.
15．验证码就是将一串随机产生的数字或符号，生成一幅图片，图片里加上一些干扰象素（防止），由用户肉眼识别其中的验证码信息，输入表单提交网站验证，验证成功后才能使用某项功能.很多网站利用验证码技术来防止恶意登录，以提升网络安全.在抗疫期间，某居民小区电子出入证的登录验证码由0，1，2，…，9中的五个数字随机组成.将中间数字最大，然后向两边对称递减的验证码称为“钟型验证码”（例如：如14532，12543），已知某人收到了一个“钟型验证码”，则该验证码的中间数字是7的概率为__________.
16．已知函数，若关于的方程在定义域上有四个不同的解，则实数的取值范围是_______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数.
（1）若恒成立，求的取值范围；
（2）设函数的极值点为，当变化时，点构成曲线，证明：过原点的任意直线与曲线有且仅有一个公共点.
18．（12分）已知圆O经过椭圆C：的两个焦点以及两个顶点，且点在椭圆C上．
求椭圆C的方程；
若直线l与圆O相切，与椭圆C交于M、N两点，且，求直线l的倾斜角．
19．（12分）设为等差数列的前项和，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若满足不等式的正整数恰有个，求正实数的取值范围．
20．（12分）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面，是棱上的一点，满足平面.

（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）设，，若为棱上一点，使得直线与平面所成角的大小为30°，求的值.
21．（12分）已知函数
（1）求函数的单调递增区间
（2）记函数的图象为曲线，设点是曲线上不同两点，如果在曲线上存在点，使得①；②曲线在点M处的切线平行于直线AB，则称函数存在“中值和谐切线”，当时，函数是否存在“中值和谐切线”请说明理由
22．（10分）已知椭圆的右顶点为，为上顶点，点为椭圆上一动点．
（1）若，求直线与轴的交点坐标；
（2）设为椭圆的右焦点，过点与轴垂直的直线为，的中点为，过点作直线的垂线，垂足为，求证：直线与直线的交点在椭圆上．

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．B
【解析】
根据斜二测画法的基本原理，将平面直观图还原为原几何图形，可得，,绕AB所在直线旋转一周后形成的几何体是两个相同圆锥的组合体,圆锥的侧面展开图是扇形根据扇形面积公式即可求得组合体的表面积.
【详解】
根据“斜二测画法”可得，，，

绕AB所在直线旋转一周后形成的几何体是两个相同圆锥的组合体，
它的表面积为.
故选:
【点睛】
本题考查斜二测画法的应用及组合体的表面积求法,难度较易.
2．B
【解析】
根据复数的除法运算法则和共轭复数的定义直接求解即可.
【详解】
由，得，所以．
故选：B
【点睛】
本题考查了复数的除法的运算法则，考查了复数的共轭复数的定义，属于基础题.
3．C
【解析】
根据三角函数的定义，即可求出，得出，得出和，再利用二倍角的正弦公式，即可求出结果.
【详解】
根据题意，，解得，
所以，
所以，
所以.
故选：C.
【点睛】
本题考查三角函数定义的应用和二倍角的正弦公式，考查计算能力.
4．C
【解析】
试题分析：由题意知，当时，由，当且仅当时，即等号是成立，所以函数的最小值为，当时，为单调递增函数，所以，又因为，使得，即在的最小值不小于在上的最小值，即，解得，故选C．
考点：函数的综合问题．
【方法点晴】本题主要考查了函数的综合问题，其中解答中涉及到基本不等式求最值、函数的单调性及其应用、全称命题与存在命题的应用等知识点的综合考查，试题思维量大，属于中档试题，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想的应用，其中解答中转化为在的最小值不小于在上的最小值是解答的关键．
5．C
【解析】
作出可行域，直线目标函数对应的直线，平移该直线可得最优解．
【详解】
作出可行域，如图由射线，线段，射线围成的阴影部分（含边界），作直线，平移直线，当过点时，取得最大值1．
故选：C．

【点睛】
本题考查简单的线性规划问题，解题关键是作出可行域，本题要注意可行域不是一个封闭图形．
6．C
【解析】
根据平面向量数量积的坐标运算，化简即可求得的值.
【详解】
由平面向量数量积的坐标运算，代入化简可得
.
∴解得.
故选：C.
【点睛】
本题考查了平面向量数量积的坐标运算，属于基础题.
7．A
【解析】
求出抛物线的焦点坐标，得到双曲线的离心率，然后求解a，b关系，即可得到双曲线的渐近线方程．
【详解】
抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点坐标为（1，0），则p＝2，
又e＝p，所以e2，可得c2＝4a2＝a2+b2，可得：ba，所以双曲线的渐近线方程为：y＝±．
故选：A．
【点睛】
本题考查双曲线的离心率以及双曲线渐近线方程的求法，涉及抛物线的简单性质的应用．
8．A
【解析】
求出所求圆的半径，可得出所求圆的标准方程.
【详解】
圆心为且和轴相切的圆的半径为，因此，所求圆的方程为.
故选：A.
【点睛】
本题考查圆的方程的求解，一般求出圆的圆心和半径，考查计算能力，属于基础题.
9．C
【解析】
求出集合，计算出和，即可得出结论.
【详解】
，，，.
故选：C.
【点睛】
本题考查交集和并集的计算，考查计算能力，属于基础题.
10．A
【解析】
将点代入解析式确定参数值，结合导数的几何意义求得切线斜率，即可由点斜式求的切线方程.
【详解】
曲线，即，
当时，代入可得，所以切点坐标为，
求得导函数可得，
由导数几何意义可知，
由点斜式可得切线方程为，即，
故选：A.
【点睛】
本题考查了导数的几何意义，在曲线上一点的切线方程求法，属于基础题.
11．A
【解析】
先根据函数奇偶性求得，利用导数判断函数单调性，利用函数单调性求解不等式即可.
【详解】
因为函数是奇函数，
所以函数是偶函数.
，
即，
又，
所以，.
函数的定义域为，所以，
则函数在上为单调递增函数.又在上，
，所以为偶函数，且在上单调递增.
由，
可得，对恒成立，
则，对恒成立，，
得，
所以的取值范围是.
故选：A.
【点睛】
本题考查利用函数单调性求解不等式，根据方程组法求函数解析式，利用导数判断函数单调性，属压轴题.
12．D
【解析】
利用已知条件，表示出向量 ,然后求解向量的数量积．
【详解】
在中，，，，点满足，可得
则==
【点睛】
本题考查了向量的数量积运算，关键是利用基向量表示所求向量．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
由等腰三角形及双曲线的对称性可知或,进而利用两点间距离公式求解即可.
【详解】
由题设双曲线的左、右焦点分别为,,
因为左、右焦点和点为某个等腰三角形的三个顶点,
当时,,由可得,等式两边同除可得,解得（舍）；
当时,,由可得,等式两边同除可得,解得,
故答案为:
【点睛】
本题考查求双曲线的离心率,考查双曲线的几何性质的应用,考查分类讨论思想.
14．
【解析】
某层抽取的人数等于该层的总人数乘以抽样比.
【详解】
设抽取的样本容量为x，由已知，，解得.
故答案为：
【点睛】
本题考查随机抽样中的分层抽样，考查学生基本的运算能力，是一道容易题.
15．
【解析】
首先判断出中间号码的所有可能取值，由此求得基本事件的总数以及中间数字是的事件数，根据古典概型概率计算公式计算出所求概率.
【详解】
根据“钟型验证码” 中间数字最大，然后向两边对称递减，所以中间的数字可能是.
当中间是时，其它个数字可以是，选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排法唯一），所以方法数有种.
当中间是时，其它个数字可以是，选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排法唯一），所以方法数有种.
当中间是时，其它个数字可以是，选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排法唯一），所以方法数有种.
当中间是时，其它个数字可以是，选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排法唯一），所以方法数有种.
当中间是时，其它个数字可以是，选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排法唯一），所以方法数有种.
当中间是时，其它个数字可以是，选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排法唯一），所以方法数有种.
所以该验证码的中间数字是7的概率为.
故答案为：
【点睛】
本小题主要考查古典概型概率计算，考查分类加法计数原理、分类乘法计数原理的应用，考查运算求解能力，属于中档题.
16．
【解析】
由题意可在定义域上有四个不同的解等价于关于原点对称的函数与函数的图象有两个交点，运用参变分离和构造函数，进而借助导数分析单调性与极值，画出函数图象，即可得到所求范围.
【详解】
已知定义在上的函数
若在定义域上有四个不同的解

等价于关于原点对称的函数与函数f(x)=lnx-x(x>0)的图象有两个交点，
联立可得有两个解，即
可设，则，
进而且不恒为零，可得在单调递增.
由可得
时，单调递减；
时，单调递增，
即在处取得极小值且为
作出的图象，可得时，有两个解.
故答案为：
【点睛】
本题考查利用利用导数解决方程的根的问题，还考查了等价转化思想与函数对称性的应用，属于难题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）；（2）证明见解析
【解析】
（1）由恒成立，可得恒成立，进而构造函数，求导可判断出的单调性，进而可求出的最小值，令即可；
（2）由，可知存在唯一的，使得，则，，进而可得，即曲线的方程为，进而只需证明对任意，方程有唯一解，然后构造函数，分、和三种情况，分别证明函数在上有唯一的零点，即可证明结论成立.
【详解】
（1）由题意，可知，由恒成立，可得恒成立.
令，则.
令，则，
，，
在上单调递增，又，
时，；时，，
即时，；时，，
时，单调递减；时，单调递增，
时，取最小值，
.
（2）证明：由，令，
由，结合二次函数性质可知，存在唯一的，使得，故存在唯一的极值点，则，，
，
曲线的方程为.
故只需证明对任意，方程有唯一解.
令，则，
①当时，恒成立，在上单调递增.
，，
，存在满足时，使得.
又单调递增，所以为唯一解.
②当时，二次函数，满足，
则恒成立，在上单调递增.
，，
存在使得，
又在上单调递增，为唯一解.
③当时，二次函数，满足，
此时有两个不同的解，不妨设，
，，
列表如下：

0

0

↗
极大值
↘
极小值
↗
由表可知，当时，的极大值为.
，，
，，
，.
.
下面来证明，
构造函数，则，
当时，，此时单调递增，
，
时，，，
故成立.
，
存在，使得.
又在单调递增，为唯一解.
所以，对任意，方程有唯一解，即过原点任意的直线与曲线有且仅有一个公共点.
【点睛】
本题考查利用导数研究函数单调性的应用，考查不等式恒成立问题，考查利用单调性研究图象交点问题，考查学生的计算求解能力与推理论证能力，属于难题.
18．（1）；（2）或
【解析】
(1)先由题意得出 ,可得出与的等量关系，然后将点的坐标代入椭圆的方程，可求出与的值，从而得出椭圆的方程；(2)对直线的斜率是否存在进行分类讨论，当直线的斜率不存在时，可求出，然后进行检验；当直线的斜率存在时，可设直线的方程为,设点，先由直线与圆相切得出与之间的关系，再将直线的方程与椭圆的方程联立，由韦达定理，利用弦长公式并结合条件得出的值，从而求出直线的倾斜角.
【详解】
（1）由题可知圆只能经过椭圆的上下顶点，所以椭圆焦距等于短轴长，可得，
又点在椭圆上，所以，解得，
即椭圆的方程为.
（2）圆的方程为，当直线不存在斜率时，解得，不符合题意；
当直线存在斜率时，设其方程为，因为直线与圆相切，所以，即.
将直线与椭圆的方程联立，得：
，
判别式，即，
设，则，
所以，
解得，
所以直线的倾斜角为或.
【点睛】
求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法,根据条件确定关于的方程组，解出，从而写出椭圆的标准方程．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单.
19．（1）；（2）．
【解析】
（1）设等差数列的公差为，根据题意得出关于和的方程组，解出这两个量的值，然后利用等差数列的通项公式可得出数列的通项公式；
（2）求出，可得出，可知当为奇数时不等式不成立，只考虑为偶数的情况，利用数列单调性的定义判断数列中偶数项构成的数列的单调性，由此能求出正实数的取值范围．
【详解】
（1）设等差数列的公差为，
则，整理得，
解得，，因此，；
（2），
满足不等式的正整数恰有个，得，
由于，若为奇数，则不等式不可能成立.
只考虑为偶数的情况，令，
则，．
.
当时，，则；
当时，，则；
当时，，则.
所以，，
又，，，，.
因此，实数的取值范围是.
【点睛】
本题考查数列的通项公式的求法，考查正实数的取值范围的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
20．（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）由平面，可得，又因为是的中点，即得证；
（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系，设，计算平面的法向量，由直线与平面所成角的大小为30°，列出等式，即得解.
【详解】
（Ⅰ）如图，

连接交于点，连接，
则是平面与平面的交线，
因为平面，
故，
又因为是的中点，
所以是的中点，
故.
（Ⅱ）由条件可知，，所以，故以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，

则，，，，，，，
设，
则，
设平面的法向量为，
则，即，故取
因为直线与平面所成角的大小为30°
所以，
即，
解得，故此时.
【点睛】
本题考查了立体几何和空间向量综合，考查了学生逻辑推理，空间想象，数学运算的能力，属于中档题.
21．（1）见解析（2）不存在，见解析
【解析】
（1）求出函数的导数，通过讨论的范围求出函数的单调区间即可；
（2）求出函数的导数，结合导数的几何意义，再令，转化为方程有解问题，即可说明.
【详解】
(1)函数的定义域为，所以
当时，；，
所以函数在上单调递增
当时，
①当时，函数在上递增
②，显然无增区间；
③当时， ，函数在上递增，
综上当函数在上单调递增.
当时函数在上单调递增；
当时函数无单调递增区间
当时函数在上单调递增
(2)假设函数存在“中值相依切线”
设是曲线上不同的两个点，且
则

曲线在点处的切线的斜率为，

.
令，则，
单调递增，，
故无解，假设不成立
综上，假设不成立，所以不存在“中值相依切线”
【点睛】
本题考查了函数的单调性，导数的几何意义，考查导数的应用以及分类讨论和转化思想，属于中档题．
22．（1）（2）见解析
【解析】
（1）直接求出直线方程，与椭圆方程联立求出点坐标，从而可得直线方程，得其与轴交点坐标；
（2）设，则，求出直线和的方程，从而求得两直线的交点坐标，证明此交点在椭圆上，即此点坐标适合椭圆方程．代入验证即可．注意分和说明．
【详解】
解：本题考查直线与椭圆的位置关系的综合，
（1）由题知，，则．因为，所以，
则直线的方程为，联立，可得
故．则，直线的方程为．令，
得，故直线与轴的交点坐标为．
（2）证明：因为，，所以．设点，则．
设
当时，设，则，此时直线与轴垂直，
其直线方程为，
直线的方程为，即．
在方程中，令，得，得交点为，显然在椭圆上．
同理当时，交点也在椭圆上．
当时，可设直线的方程为，即．
直线的方程为，联立方程，
消去得，化简并解得．
将代入中，化简得．
所以两直线的交点为．
因为
，
又因为，所以，
则，
所以点在椭圆上．
综上所述，直线与直线的交点在椭圆上．
【点睛】
本题考查直线与椭圆相交问题，解题方法是解析几何的基本方程，求出直线方程，解方程组求出交点坐标，代入曲线方程验证点在曲线．本题考查了学生的运算求解能力．