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2022年山东省淄博市中考数学试卷
一、选择题〔本大题共12小题，每题4分，共48分〕
1．〔4分〕﹣的相反数是〔　　〕
A． B． C． D．﹣
2．〔4分〕C919大飞机是中国完全具有自主知识产权的干线民用飞机，其零部件总数超过100万个，请将100万用科学记数法表示为〔　　〕
A．1×106 B．100×104 C．1×107 D．0.1×108
3．〔4分〕以下几何体中，其主视图为三角形的是〔　　〕
A． B． C． D．
4．〔4分〕以下运算正确的选项是〔　　〕
A．a2•a3=a6 B．〔﹣a2〕3=﹣a5
C．a10÷a9=a〔a≠0〕 D．〔﹣bc〕4÷〔﹣bc〕2=﹣b2c2
5．〔4分〕假设分式的值为零，那么x的值是〔　　〕
A．1 B．﹣1 C．±1 D．2
6．〔4分〕假设a+b=3，a2+b2=7，那么ab等于〔　　〕
A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣1
7．〔4分〕将二次函数y=x2+2x﹣1的图象沿x轴向右平移2个单位长度，得到的函数表达式是〔　　〕
A．y=〔x+3〕2﹣2 B．y=〔x+3〕2+2 C．y=〔x﹣1〕2+2 D．y=〔x﹣1〕2﹣2
8．〔4分〕假设关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，那么实数k的取值范围是〔　　〕
A．k＞﹣1 B．k＞﹣1且k≠0 C．k＜﹣1 D．k＜﹣1或k=0
9．〔4分〕如图，半圆的直径BC恰与等腰直角三角形ABC的一条直角边完全重合，假设BC=4，那么图中阴影局部的面积是〔　　〕
A．2+π B．2+2π C．4+π D．2+4π
10．〔4分〕在一个不透明的袋子里装有四个小球，球上分别标有6，7，8，9四个数字，这些小球除数字外都相同．甲、乙两人玩“猜数字〞游戏，甲先从袋中任意摸出一个小球，将小球上的数字记为m，再由乙猜这个小球上的数字，记为n．如果m，n满足|m﹣n|≤1，那么就称甲、乙两人“心领神会〞，那么两人“心领神会〞的概率是〔　　〕
A． B． C． D．
11．〔4分〕小明做了一个数学实验：将一个圆柱形的空玻璃杯放入形状相同的无水鱼缸内，看作一个容器，然后，小明对准玻璃杯口匀速注水，如下列图，在注水过程中，杯底始终紧贴鱼缸底部，那么下面可以近似地刻画出容器最高水位h与注水时间t之间的变化情况的是〔　　〕
A． B． C． D．
12．〔4分〕如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，∠BAC，∠ACB的平分线相交于点E，过点E作EF∥BC交AC于点F，那么EF的长为〔　　〕
A． B． C． D．
二、填空题〔本大题共5小题，每题4分，共20分〕
13．〔4分〕分解因式：2x3﹣8x=．
14．〔4分〕α，β是方程x2﹣3x﹣4=0的两个实数根，那么α2+αβ﹣3α的值为．
15．〔4分〕运用科学计算器〔如图是其面板的局部截图〕进行计算，按键顺序如下：
那么计算器显示的结果是．
16．〔4分〕在边长为4的等边三角形ABC中，D为BC边上的任意一点，过点D分别作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，那么DE+DF=．
17．〔4分〕设△ABC的面积为1．
如图1，分别将AC，BC边2等分，D1，E1是其分点，连接AE1，BD1交于点F1，得到四边形CD1F1E1，其面积S1=．
如图2，分别将AC，BC边3等分，D1，D2，E1，E2是其分点，连接AE2，BD2交于点F2，得到四边形CD2F2E2，其面积S2=；
如图3，分别将AC，BC边4等分，D1，D2，D3，E1，E2，E3是其分点，连接AE3，BD3交于点F3，得到四边形CD3F3E3，其面积S3=；
…
按照这个规律进行下去，假设分别将AC，BC边〔n+1〕等分，…，得到四边形CDnEnFn，其面积S=．
三、解答题〔本大题共7小题，共52分〕
18．〔5分〕解不等式：≤．
19．〔5分〕：如图，E，F为▱ABCD对角线AC上的两点，且AE=CF，连接BE，DF，求证：BE=DF．
20．〔8分〕某内陆城市为了落实国家“一带一路〞战略，促进经济开展，增强对外贸易的竞争力，把距离港口420km的普通公路升级成了同等长度的高速公路，结果汽车行驶的平均速度比原来提高了50%，行驶时间缩短了2h，求汽车原来的平均速度．
21．〔8分〕为了“天更蓝，水更绿〞某市政府加大了对空气污染的治理力度，经过几年的努力，空气质量明显改善，现收集了该市连续30天的空气质量情况作为样本，整理并制作了如下表格和一幅不完整的条形统计图：
空气污染指数〔ω〕
30
40
70
80
90
110
120
140
天数〔t〕
1
2
3
5
7
6
4
2
说明：环境空气质量指数〔AQI〕技术规定：ω≤50时，空气质量为优；51≤ω≤100时，空气质量为良；101≤ω≤150时，空气质量为轻度污染；151≤ω≤200时，空气质量为中度污染，…
根据上述信息，解答以下问题：
〔1〕直接写出空气污染指数这组数据的众数，中位数；
〔2〕请补全空气质量天数条形统计图：
〔3〕根据已完成的条形统计图，制作相应的扇形统计图；
〔4〕健康专家温馨提示：空气污染指数在100以下适合做户外运动，请根据以上信息，估计该市居民一年〔以365天计〕中有多少天适合做户外运动
22．〔8分〕如图，在直角坐标系中，Rt△ABC的直角边AC在x轴上，∠ACB=90°，AC=1，反比例函数y=〔k＞0〕的图象经过BC边的中点D〔3，1〕
〔1〕求这个反比例函数的表达式；
〔2〕假设△ABC与△EFG成中心对称，且△EFG的边FG在y轴的正半轴上，点E在这个函数的图象上．
①求OF的长；
②连接AF，BE，证明四边形ABEF是正方形．
23．〔9分〕如图，将矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，顶点B恰好与CD边上的动点P重合〔点P不与点C，D重合〕，折痕为MN，点M，N分别在边AD，BC上，连接MB，MP，BP，BP与MN相交于点F．
〔1〕求证：△BFN∽△BCP；
〔2〕①在图2中，作出经过M，D，P三点的⊙O〔要求保存作图痕迹，不写做法〕；
②设AB=4，随着点P在CD上的运动，假设①中的⊙O恰好与BM，BC同时相切，求此时DP的长．
24．〔9分〕如图1，经过原点O的抛物线y=ax2+bx〔a≠0〕与x轴交于另一点A〔，0〕，在第一象限内与直线y=x交于点B〔2，t〕．
〔1〕求这条抛物线的表达式；
〔2〕在第四象限内的抛物线上有一点C，满足以B，O，C为顶点的三角形的面积为2，求点C的坐标；
〔3〕如图2，假设点M在这条抛物线上，且∠MBO=∠ABO，在〔2〕的条件下，是否存在点P，使得△POC∽△MOB假设存在，求出点P的坐标；假设不存在，请说明理由．
2022年山东省淄博市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题〔本大题共12小题，每题4分，共48分〕
1．〔4分〕〔2022•淄博〕﹣的相反数是〔　　〕
A． B． C． D．﹣
【分析】直接根据相反数的定义即可得出结论．
【解答】解：∵﹣与是只有符号不同的两个数，
∴﹣的相反数是．
应选C．
【点评】此题考查的是相反数的定义，熟知只有符号不同的两个数叫互为相反数是解答此题的关键．
2．〔4分〕〔2022•淄博〕C919大飞机是中国完全具有自主知识产权的干线民用飞机，其零部件总数超过100万个，请将100万用科学记数法表示为〔　　〕
A．1×106 B．100×104 C．1×107 D．0.1×108
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将100万用科学记数法表示为：1×106．
应选：A．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．〔4分〕〔2022•淄博〕以下几何体中，其主视图为三角形的是〔　　〕
A． B． C． D．
【分析】找出四个选项中几何体的主视图，由此即可得出结论．
【解答】解：A、圆柱的主视图为矩形，
∴A不符合题意；
B、正方体的主视图为正方形，
∴B不符合题意；
C、球体的主视图为圆形，
∴C不符合题意；
D、圆锥的主视图为三角形，
∴D符合题意．
应选D．
【点评】此题考查了简单几何体的三视图，牢记圆锥的主视图为三角形是解题的关键．
4．〔4分〕〔2022•淄博〕以下运算正确的选项是〔　　〕
A．a2•a3=a6 B．〔﹣a2〕3=﹣a5
C．a10÷a9=a〔a≠0〕 D．〔﹣bc〕4÷〔﹣bc〕2=﹣b2c2
【分析】根据同底数幂的乘法、除法、积的乘方和幂的乘方进行计算即可．
【解答】解：A、a2•a3=a5，故A错误；
B、〔﹣a2〕3=﹣a6，故B错误；
C、a10÷a9=a〔a≠0〕，故C正确；
D、〔﹣bc〕4÷〔﹣bc〕2=b2c2，故D错误；
应选C．
【点评】此题考查了同底数幂的乘法、除法、积的乘方和幂的乘方，掌握运算法那么是解题的关键．
5．〔4分〕〔2022•淄博〕假设分式的值为零，那么x的值是〔　　〕
A．1 B．﹣1 C．±1 D．2
【分析】直接利用分式的值为零，那么分子为零，分母不为零，进而得出答案．
【解答】解：∵分式的值为零，
∴|x|﹣1=0，x+1≠0，
解得：x=1．
应选：A．
【点评】此题主要考查了分式的值为零，正确把握相关定义是解题关键．
6．〔4分〕〔2022•淄博〕假设a+b=3，a2+b2=7，那么ab等于〔　　〕
A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣1
【分析】根据完全平方公式得到〔a+b〕2=9，再将a2+b2=7整体代入计算即可求解．
【解答】解：∵a+b=3，
∴〔a+b〕2=9，
∴a2+2ab+b2=9，
∵a2+b2=7，
∴7+2ab=9，
∴ab=1．
应选：B．
【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解此题的关键．
7．〔4分〕〔2022•淄博〕将二次函数y=x2+2x﹣1的图象沿x轴向右平移2个单位长度，得到的函数表达式是〔　　〕
A．y=〔x+3〕2﹣2 B．y=〔x+3〕2+2 C．y=〔x﹣1〕2+2 D．y=〔x﹣1〕2﹣2
【分析】根据题目中的函数解析式，可以先化为顶点式，然后再根据左加右减的方法进行解答即可得到平移后的函数解析式．
【解答】解：∵y=x2+2x﹣1=〔x+1〕2﹣2，
∴二次函数y=x2+2x﹣1的图象沿x轴向右平移2个单位长度，得到的函数表达式是：y=〔x+1﹣2〕2﹣2=〔x﹣1〕2﹣2，
应选D．
【点评】此题考查二次函数的图象与几何变换，解答此题的关键是明确二次函数平移的特点，左加右减、上加下减，注意一定将函数解析式化为顶点式之后再平移．
8．〔4分〕〔2022•淄博〕假设关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，那么实数k的取值范围是〔　　〕
A．k＞﹣1 B．k＞﹣1且k≠0 C．k＜﹣1 D．k＜﹣1或k=0
【分析】利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且△=〔﹣2〕2﹣4k•〔﹣1〕＞0，然后其出两个不等式的公共局部即可．
【解答】解：根据题意得k≠0且△=〔﹣2〕2﹣4k•〔﹣1〕＞0，
解得k＞﹣1且k≠0．
应选B．
【点评】此题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
9．〔4分〕〔2022•淄博〕如图，半圆的直径BC恰与等腰直角三角形ABC的一条直角边完全重合，假设BC=4，那么图中阴影局部的面积是〔　　〕
A．2+π B．2+2π C．4+π D．2+4π
【分析】如图，连接CD，OD，根据条件得到OB=2，∠B=45°，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：如图，连接CD，OD，
∵BC=4，
∴OB=2，
∵∠B=45°，
∴∠COD=90°，
∴图中阴影局部的面积=S△BOD+S扇形COD=2×2+=2+π，
应选A．
【点评】此题考查了扇形的面积的计算，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
10．〔4分〕〔2022•淄博〕在一个不透明的袋子里装有四个小球，球上分别标有6，7，8，9四个数字，这些小球除数字外都相同．甲、乙两人玩“猜数字〞游戏，甲先从袋中任意摸出一个小球，将小球上的数字记为m，再由乙猜这个小球上的数字，记为n．如果m，n满足|m﹣n|≤1，那么就称甲、乙两人“心领神会〞，那么两人“心领神会〞的概率是〔　　〕
A． B． C． D．
【分析】画出树状图列出所有等可能结果，由树状图确定出所有等可能结果数及两人“心领神会〞的结果数，根据概率公式求解可得．
【解答】解：画树状图如下：
由树状图可知，共有16种等可能结果，其中满足|m﹣n|≤1的有10种结果，
∴两人“心领神会〞的概率是=，
应选：B．
【点评】此题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．
11．〔4分〕〔2022•淄博〕小明做了一个数学实验：将一个圆柱形的空玻璃杯放入形状相同的无水鱼缸内，看作一个容器，然后，小明对准玻璃杯口匀速注水，如下列图，在注水过程中，杯底始终紧贴鱼缸底部，那么下面可以近似地刻画出容器最高水位h与注水时间t之间的变化情况的是〔　　〕
A． B． C． D．
【分析】根据用一注水管沿大容器内壁匀速注水，即可分段求出小水杯内水面的高度h〔cm〕与注水时间t〔min〕的函数图象．
【解答】解：一注水管向小玻璃杯内注水，水面在逐渐升高，当小杯中水满时，开始向大桶内流，这时水位高度不变，
当桶水面高度与小杯一样后，再继续注水，水面高度在升高，升高的比开始慢．
应选：D．
【点评】此题主要考查了函数图象，关键是问题的过程，能够通过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小．
12．〔4分〕〔2022•淄博〕如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，∠BAC，∠ACB的平分线相交于点E，过点E作EF∥BC交AC于点F，那么EF的长为〔　　〕
A． B． C． D．
【分析】延长FE交AB于点D，作EG⊥BC、作EH⊥AC，由EF∥BC可证四边形BDEG是矩形，由角平分线可得ED=EH=EG、∠DAE=∠HAE，从而知四边形BDEG是正方形，再证△DAE≌△HAE、△CGE≌△CHE得AD=AH、CG=CH，设BD=BG=x，那么AD=AH=6﹣x、CG=CH=8﹣x，由AC=10可得x=2，即BD=DE=2、AD=4，再证△ADF∽△ABC可得DF=，据此得出EF=DF﹣DE=．
【解答】解：如图，延长FE交AB于点D，作EG⊥BC于点G，作EH⊥AC于点H，
∵EF∥BC、∠ABC=90°，
∴FD⊥AB，
∵EG⊥BC，
∴四边形BDEG是矩形，
∵AE平分∠BAC、CE平分∠ACB，
∴ED=EH=EG，∠DAE=∠HAE，
∴四边形BDEG是正方形，
在△DAE和△HAE中，
∵，
∴△DAE≌△HAE〔SAS〕，
∴AD=AH，
同理△CGE≌△CHE，
∴CG=CH，
设BD=BG=x，那么AD=AH=6﹣x、CG=CH=8﹣x，
∵AC===10，
∴6﹣x+8﹣x=10，
解得：x=2，
∴BD=DE=2，AD=4，
∵DF∥BC，
∴△ADF∽△ABC，
∴=，即=，
解得：DF=，
那么EF=DF﹣DE=﹣2=，
应选：C．
【点评】此题主要考查相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质及正方形的判定与性质，熟练掌握角平分线的性质和正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键．
二、填空题〔本大题共5小题，每题4分，共20分〕
13．〔4分〕〔2022•淄博〕分解因式：2x3﹣8x=　2x〔x﹣2〕〔x+2〕　．
【分析】先提取公因式2x，再对余下的项利用平方差公式分解因式．
【解答】解：2x3﹣8x，
=2x〔x2﹣4〕，
=2x〔x+2〕〔x﹣2〕．
【点评】此题考查因式分解，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．
运用平方差公式进行因式分解的多项式的特征：〔1〕二项式；〔2〕两项的符号相反；〔3〕每项都能化成平方的形式．
14．〔4分〕〔2022•淄博〕α，β是方程x2﹣3x﹣4=0的两个实数根，那么α2+αβ﹣3α的值为　0　．
【分析】根据根与系数的关系得到得α+β=3，再把原式变形得到a〔α+β〕﹣3α，然后利用整体代入的方法计算即可．
【解答】解：根据题意得α+β=3，αβ=﹣4，
所以原式=a〔α+β〕﹣3α
=3α﹣3α
=0．
故答案为0．
【点评】此题考查了根与系数的关系：假设x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．
15．〔4分〕〔2022•淄博〕运用科学计算器〔如图是其面板的局部截图〕进行计算，按键顺序如下：
那么计算器显示的结果是　﹣7　．
【分析】根据计算器的按键顺序，写出计算的式子．然后求值．
【解答】解：根据题意得：〔3.5﹣4.5〕×32+=﹣7，
故答案为：﹣7．
【点评】此题目考查了计算器的应用，根据按键顺序正确写出计算式子是关键．
16．〔4分〕〔2022•淄博〕在边长为4的等边三角形ABC中，D为BC边上的任意一点，过点D分别作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，那么DE+DF=　2．
【分析】作AG⊥BC于G，根据等边三角形的性质得出∠B=60°，解直角三角形求得AG=2，根据S△ABD+S△ACD=S△ABC即可得出DE+DF=AG=2．
【解答】解：如图，作AG⊥BC于G，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，
∴AG=AB=2，
连接AD，那么S△ABD+S△ACD=S△ABC，
∴AB•DE+AC•DF=BC•AG，
∵AB=AC=BC=4，
∴DE+DF=AG=2，
故答案为：2．
【点评】此题考查了等边三角形的性质，解直角三角函数以及三角形面积等，根据S△ABD+S△ACD=S△ABC即可得出DE+DF=AG是解题的关键．
17．〔4分〕〔2022•淄博〕设△ABC的面积为1．
如图1，分别将AC，BC边2等分，D1，E1是其分点，连接AE1，BD1交于点F1，得到四边形CD1F1E1，其面积S1=．
如图2，分别将AC，BC边3等分，D1，D2，E1，E2是其分点，连接AE2，BD2交于点F2，得到四边形CD2F2E2，其面积S2=；
如图3，分别将AC，BC边4等分，D1，D2，D3，E1，E2，E3是其分点，连接AE3，BD3交于点F3，得到四边形CD3F3E3，其面积S3=；
…
按照这个规律进行下去，假设分别将AC，BC边〔n+1〕等分，…，得到四边形CDnEnFn，其面积S=．
【分析】先连接D1E1，D2E2，D3E3，依据D1E1∥AB，D1E1=AB，可得△CD1E1∽△CBA，且==，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方，即可得到S△CD1E1=S△ABC=，依据E1是BC的中点，即可得出S△D1E1F1=S△BD1E1=×=，据此可得S1=；运用相同的方法，依次可得S2=，S2=；根据所得规律，即可得出四边形CDnEnFn，其面积Sn=+×n×，最后化简即可．
【解答】解：如下列图，连接D1E1，D2E2，D3E3，
∵图1中，D1，E1是△ABC两边的中点，
∴D1E1∥AB，D1E1=AB，
∴△CD1E1∽△CBA，且==，
∴S△CD1E1=S△ABC=，
∵E1是BC的中点，
∴S△BD1E1=S△CD1E1=，
∴S△D1E1F1=S△BD1E1=×=，
∴S1=S△CD1E1+S△D1E1F1=+=，
同理可得：
图2中，S2=S△CD2E2+S△D2E2F2=+=，
图3中，S3=S△CD3E3+S△D3E3F3=+=，
以此类推，将AC，BC边〔n+1〕等分，得到四边形CDnEnFn，
其面积Sn=+×n×=，
故答案为：．
【点评】此题主要考查了图形的变化类问题以及三角形面积的计算，解决问题的关键作辅助线构造相似三角形，依据相似三角形的性质进行计算求解．解题时注意：相似三角形的面积之比等于相似比的平方．
三、解答题〔本大题共7小题，共52分〕
18．〔5分〕〔2022•淄博〕解不等式：≤．
【分析】不等式去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解集．
【解答】解：去分母得：3〔x﹣2〕≤2〔7﹣x〕，
去括号得：3x﹣6≤14﹣2x，
移项合并得：5x≤20，
解得：x≤4．
【点评】此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握运算法那么是解此题的关键．
19．〔5分〕〔2022•淄博〕：如图，E，F为▱ABCD对角线AC上的两点，且AE=CF，连接BE，DF，求证：BE=DF．
【分析】证明△AEB≌△CFD，即可得出结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB=DC．
∴∠BAE=∠DCF．
在△AEB和△CFD中，，
∴△AEB≌△CFD〔SAS〕．
∴BE=DF．
【点评】此题考查平行四边形的性质和全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
20．〔8分〕〔2022•淄博〕某内陆城市为了落实国家“一带一路〞战略，促进经济开展，增强对外贸易的竞争力，把距离港口420km的普通公路升级成了同等长度的高速公路，结果汽车行驶的平均速度比原来提高了50%，行驶时间缩短了2h，求汽车原来的平均速度．
【分析】求的汽车原来的平均速度，路程为420km，一定是根据时间来列等量关系，此题的关键描述语是：从甲地到乙地的时间缩短了2h．等量关系为：原来时间﹣现在时间=2．
【解答】解：设汽车原来的平均速度是x km/h，
根据题意得：﹣=2，
解得：x=70
经检验：x=70是原方程的解．
答：汽车原来的平均速度70km/h．
【点评】此题考查了分式方程的应用．应用题中一般有三个量，求一个量，明显的有一个量，一定是根据另一量来列等量关系的．此题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到适宜的等量关系是解决问题的关键．
21．〔8分〕〔2022•淄博〕为了“天更蓝，水更绿〞某市政府加大了对空气污染的治理力度，经过几年的努力，空气质量明显改善，现收集了该市连续30天的空气质量情况作为样本，整理并制作了如下表格和一幅不完整的条形统计图：
空气污染指数〔ω〕
30
40
70
80
90
110
120
140
天数〔t〕
1
2
3
5
7
6
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说明：环境空气质量指数〔AQI〕技术规定：ω≤50时，空气质量为优；51≤ω≤100时，空气质量为良；101≤ω≤150时，空气质量为轻度污染；151≤ω≤200时，空气质量为中度污染，…
根据上述信息，解答以下问题：
〔1〕直接写出空气污染指数这组数据的众数　90　，中位数　90　；
〔2〕请补全空气质量天数条形统计图：
〔3〕根据已完成的条形统计图，制作相应的扇形统计图；
〔4〕健康专家温馨提示：空气污染指数在100以下适合做户外运动，请根据以上信息，估计该市居民一年〔以365天计〕中有多少天适合做户外运动
【分析】〔1〕根据众数的定义就可以得出这组数据的众数为90，由30各数据中排在第15和第16两个数的平均数就可以得出中位数为90；
〔2〕根据统计表的数据分别计算出，优、良及轻度污染的时间即可；
〔3〕由条形统计图分别计算出优、良及轻度污染的百分比及圆心角的度数即可；
〔4〕先求出30天中空气污染指数在100以下的比值，再由这个比值乘以365天就可以求出结论．
【解答】解：〔1〕在这组数据中90出现的次数最多7次，故这组数据的众数为90；在这组数据中排在最中间的两个数是90，90，这两个数的平均数是90，所以这组数据的中位数是90；
故答案为：90，90．
〔2〕由题意，得
轻度污染的天数为：30﹣3﹣15=12天．
〔3〕由题意，得
优所占的圆心角的度数为：3÷30×360=36°，
良所占的圆心角的度数为：15÷30×360=180°，
轻度污染所占的圆心角的度数为：12÷30×360=144°
〔4〕该市居民一年〔以365天计〕中有适合做户外运动的天数为：18÷30×365=219天．
【点评】此题是一道数据分析试题，考查了中位数，众数的运用，条形统计，扇形统计图的运用，样本数据估计总体数据的运用，解答时根据图表数据求解是关键．
22．〔8分〕〔2022•淄博〕如图，在直角坐标系中，Rt△ABC的直角边AC在x轴上，∠ACB=90°，AC=1，反比例函数y=〔k＞0〕的图象经过BC边的中点D〔3，1〕
〔1〕求这个反比例函数的表达式；
〔2〕假设△ABC与△EFG成中心对称，且△EFG的边FG在y轴的正半轴上，点E在这个函数的图象上．
①求OF的长；
②连接AF，BE，证明四边形ABEF是正方形．
【分析】〔1〕由D点坐标可求得k的值，可求得反比例函数的表达式；
〔2〕①由中心对称的性质可知△ABC≌△EFG，由D点坐标可求得B点坐标，从而可求得BC和AC的长，由全等三角形的性质可求得GE和GF，那么可求得E点坐标，从而可求得OF的长；②由条件可证得△AOF≌△FGE，那么可证得AF=EF=AB，且∠EFA=∠FAB=90°，那么可证得四边形ABEF为正方形．
【解答】解：
〔1〕∵反比例函数y=〔k＞0〕的图象经过点D〔3，1〕，
∴k=3×1=3，
∴反比例函数表达式为y=；
〔2〕①∵D为BC的中点，
∴BC=2，
∵△ABC与△EFG成中心对称，
∴△ABC≌△EFG，
∴GF=BC=2，GE=AC=1，
∵点E在反比例函数的图象上，
∴E〔1，3〕，即OG=3，
∴OF=OG﹣GF=1；
②如图，连接AF、BE，
∵AC=1，OC=3，
∴OA=GF=2，
在△AOF和△FGE中
∴△AOF≌△FGE〔SAS〕，
∴∠GFE=∠FAO=∠ABC，
∴∠GFE+∠AFO=∠FAO+∠BAC=90°，
∴EF∥AB，且EF=AB，
∴四边形ABEF为平行四边形，
∴AF=EF，
∴四边形ABEF为菱形，
∵AF⊥EF，
∴四边形ABEF为正方形．
【点评】此题为反比例函数的综合应用，涉及待定系数法、中心对称的性质、全等三角形的判定和性质、正方形的判定等知识．在〔1〕中注意待定系数法的应用，在〔2〕①中求得E点坐标是解题的关键，在〔2〕②中证得△AOF≌△FGE是解题的关键．此题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．
23．〔9分〕〔2022•淄博〕如图，将矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，顶点B恰好与CD边上的动点P重合〔点P不与点C，D重合〕，折痕为MN，点M，N分别在边AD，BC上，连接MB，MP，BP，BP与MN相交于点F．
〔1〕求证：△BFN∽△BCP；
〔2〕①在图2中，作出经过M，D，P三点的⊙O〔要求保存作图痕迹，不写做法〕；
②设AB=4，随着点P在CD上的运动，假设①中的⊙O恰好与BM，BC同时相切，求此时DP的长．
【分析】〔1〕根据折叠的性质可知，MN垂直平分线段BP，即∠BFN=90°，由矩形的性质可得出∠C=90°=∠BFN，结合公共角∠FBN=∠CBP，即可证出△BFN∽△BCP；
〔2〕①在图2中，作MD、DP的垂直平分线，交于点O，以OD为半径作圆即可；
②设⊙O与BC的交点为E，连接OB、OE，由△MDP为直角三角形，可得出AP为⊙O的直径，根据BM与⊙O相切，可得出MP⊥BM，进而可得出△BMP为等腰直角三角形，根据同角的余角相等可得出∠PMD=∠MBA，结合∠A=∠PMD=90°、BM=MP，即可证出△ABM≌△DMP〔AAS〕，根据全等三角形的性质可得出DM=AB=4、DP=AM，设DP=2a，根据勾股定理结合半径为直径的一半，即可得出关于a的方程，解之即可得出a值，再将a代入OP=2a中求出DP的长度．
【解答】〔1〕证明：∵将矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，顶点B恰好与CD边上的动点P重合，
∴MN垂直平分线段BP，
∴∠BFN=90°．
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠C=90°．
∵∠FBN=∠CBP，
∴△BFN∽△BCP．
〔2〕解：①在图2中，作MD、DP的垂直平分线，交于点O，以OD为半径作圆即可．如下列图．
②设⊙O与BC的交点为E，连接OB、OE，如图3所示．
∵△MDP为直角三角形，
∴AP为⊙O的直径，
∵BM与⊙O相切，
∴MP⊥BM．
∵MB=MP，
∴△BMP为等腰直角三角形．
∵∠AMB+∠PMD=180°﹣∠AMP=90°，∠MBA+∠AMB=90°，
∴∠PMD=∠MBA．
在△ABM和△DMP中，，
∴△ABM≌△DMP〔AAS〕，
∴DM=AB=4，DP=AM．
设DP=2a，那么AM=2a，OE=4﹣a，
BM==2．
∵BM=MP=2OE，
∴2=2×〔4﹣a〕，
解得：a=，
∴DP=2a=3．
【点评】此题考查了相似三角形的判定、矩形的性质、角的计算、切线的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理，解题的关键是：〔1〕根据矩形的性质结合翻折的性质，找出∠C=90°=∠BFN；〔2〕①利用尺规作图，画出⊙O；②根据全等三角形的判定定理AAS证出△ABM≌△DMP．
24．〔9分〕〔2022•淄博〕如图1，经过原点O的抛物线y=ax2+bx〔a≠0〕与x轴交于另一点A〔，0〕，在第一象限内与直线y=x交于点B〔2，t〕．
〔1〕求这条抛物线的表达式；
〔2〕在第四象限内的抛物线上有一点C，满足以B，O，C为顶点的三角形的面积为2，求点C的坐标；
〔3〕如图2，假设点M在这条抛物线上，且∠MBO=∠ABO，在〔2〕的条件下，是否存在点P，使得△POC∽△MOB假设存在，求出点P的坐标；假设不存在，请说明理由．
【分析】〔1〕由直线解析式可求得B点坐标，由A、B坐标，利用待定系数法可求得抛物线的表达式；
〔2〕过C作CD∥y轴，交x轴于点E，交OB于点D，过B作BF⊥CD于点F，可设出C点坐标，利用C点坐标可表示出CD的长，从而可表示出△BOC的面积，由条件可得到关于C点坐标的方程，可求得C点坐标；
〔3〕设MB交y轴于点N，那么可证得△ABO≌△NBO，可求得N点坐标，可求得直线BN的解析式，联立直线BM与抛物线解析式可求得M点坐标，过M作MG⊥y轴于点G，由B、C的坐标可求得OB和OC的长，由相似三角形的性质可求得的值，当点P在第一象限内时，过P作PH⊥x轴于点H，由条件可证得△MOG∽△POH，由==的值，可求得PH和OH，可求得P点坐标；当P点在第三象限时，同理可求得P点坐标．
【解答】解：
〔1〕∵B〔2，t〕在直线y=x上，
∴t=2，
∴B〔2，2〕，
把A、B两点坐标代入抛物线解析式可得，解得，
∴抛物线解析式为y=2x2﹣3x；
〔2〕如图1，过C作CD∥y轴，交x轴于点E，交OB于点D，过B作BF⊥CD于点F，
∵点C是抛物线上第四象限的点，
∴可设C〔t，2t2﹣3t〕，那么E〔t，0〕，D〔t，t〕，
∴OE=t，BF=2﹣t，CD=t﹣〔2t2﹣3t〕=﹣2t2+4t，
∴S△OBC=S△CDO+S△CDB=CD•OE+CD•BF=〔﹣2t2+4t〕〔t+2﹣t〕=﹣2t2+4t，
∵△OBC的面积为2，
∴﹣2t2+4t=2，解得t1=t2=1，
∴C〔1，﹣1〕；
〔3〕存在．
设MB交y轴于点N，如图1，
∵B〔2，2〕，
∴∠AOB=∠NOB=45°，
在△AOB和△NOB中
∴△AOB≌△NOB〔ASA〕，
∴ON=OA=，
∴N〔0，〕，
∴可设直线BN解析式为y=kx+，
把B点坐标代入可得2=2k+，解得k=，
∴直线BN的解析式为y=x+，
联立直线BN和抛物线解析式可得，解得或，
∴M〔﹣，〕，
∵C〔1，﹣1〕，
∴∠COA=∠AOB=45°，且B〔2，2〕，
∴OB=2，OC=，
∵△POC∽△MOB，
∴==2，∠POC=∠BOM，
当点P在第一象限时，如图3，过M作MG⊥y轴于点G，过P作PH⊥x轴于点H，
∵∠COA=∠BOG=45°，
∴∠MOG=∠POH，且∠PHO=∠MGO，
∴△MOG∽△POH，
∴===2，
∵M〔﹣，〕，
∴MG=，OG=，
∴PH=MG=，OH=OG=，
∴P〔，〕；
当点P在第三象限时，如图4，过M作MG⊥y轴于点G，过P作PH⊥y轴于点H，
同理可求得PH=MG=，OH=OG=，
∴P〔﹣，﹣〕；
综上可知存在满足条件的点P，其坐标为〔，〕或〔﹣，﹣〕．
【点评】此题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角形的面积、二次函数的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在〔1〕中注意待定系数法的应用，在〔2〕中用C点坐标表示出△BOC的面积是解题的关键，在〔3〕中确定出点P的位置，构造相似三角形是解题的关键，注意分两种情况．此题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．