2022考前冲刺数学第二部分方法四定义法突破.docx

方法四、定义法突破
所谓定义法，就是直接用数学定义解题。数学中的定理、公式、性质和法那么等，都是由定义和公理推演出来。定义是揭示概念内涵的逻辑方法，它通过指出概念所反映的事物的本质属性来明确概念。
定义是千百次实践后的必然结果，它科学地反映和揭示了客观世界的事物的本质特点。简单地说，定义是根本概念对数学实体的高度抽象。用定义法解题，是最直接的方法，本讲让我们回到定义中去。
例1. z＝1＋ｉ， ① 设w＝z＋3－4，求w的三角形式； ② 如果＝1－ｉ，求实数a、b的值。

【解】由z＝1＋ｉ，有w＝z＋3－4＝(1＋ｉ)＋3－4＝2ｉ＋3(1－ｉ)－4＝－1－ｉ，w的三角形式是〔cos＋ｉsin〕；
由z＝1＋ｉ，有＝＝＝(a＋2)－(a＋b)ｉ。
由题设条件知：(a＋2)－(a＋b)ｉ＝1＋ｉ；
根据复数相等的定义，得：，
解得。
【注】求复数的三角形式，一般直接利用复数的三角形式定义求解。利用复数相等的定义，由实部、虚局部别相等而建立方程组，这是复数中经常遇到的。
例2. f(x)＝－x＋cx，f(2)＝－14，f(4)＝－252，求y＝logf(x)的定义域，判定在(,1)上的单调性。
【分析】要判断函数的单调性，必须首先确定n与c的值求出函数的解析式，再利用函数的单调性定义判断。
【解】 解得：
∴ f(x)＝－x＋x 解f(x)>0得：0<x<1
设<x<x<1， 那么f(x)－f(x)＝－x+x-〔-x+x〕
【注】关于函数的性质：奇偶性、单调性、周期性的判断，一般都是直接应用定义解题。此题还在求n、c的过程中，运用了待定系数法和换元法。
例3. 如图，A’B’C’—ABC是正三棱柱，D是AC中点。
① 证明：AB’∥平面DBC’；
② 假设AB’⊥BC’，求二面角D—BC’—C的度数。
【分析】 由线面平行的定义来证①问，即通过证AB’平行平面DBC’内的一条直线而得；由二面角的平面角的定义作出平面角，通过解三角形而求②问。
【解】 ① 连接B’C交BC’于O, 连接OD
∵ A’B’C’—ABC是正三棱柱
∴ 四边形B’BCC’是矩形
∴ O是B’C中点
△AB’C中， D是AC中点 ∴ AB’∥OD
∴ AB’∥平面DBC’
② 作DH⊥BC于H，连接OH ∴ DH⊥平面BC’C
∵ AB’∥OD, AB’⊥BC’∴ BC’⊥OD
∴ BC’⊥OH 即∠DOH为所求二面角的平面角。

∴ OH＝＝DH ∴∠DOH＝45°，即二面角D—BC’—C的度数为45°。
【注】对于二面角D—BC’—C的平面角，容易误认为∠DOC即所求。利用二面角的平面角定义，两边垂直于棱，抓住平面角的作法，先作垂直于一面的垂线DH，再证得垂直于棱的垂线DO，最后连接两个垂足OH，那么∠DOH即为所求，其依据是三垂线定理。此题还要求解三角形十分熟练，在Rt△BOH中运用射影定理求OH的长是计算的关键。
此题文科考生的第二问为：假设AB’⊥BC’，BC＝2，求AB’在侧面BB’C’C的 射影长。解答中抓住斜线在平面上的射影的定义，先作平面的垂线，连接垂足和斜足而得到射影。其解法如下：作AE⊥BC于E，连接B’E即所求，易得到OE∥B’B，所以＝＝，EF＝B’E。在Rt△B’BE中，易得到BF⊥BE,由射影定理得：B’E×EF＝BE即B’E＝1，所以B’E＝。
y
M F
A x
例4. 求过定点M(1,2)，以x轴为准线，离心率为的椭圆的下顶点的轨迹方程。
【分析】运动的椭圆过定点M，准线固定为x轴，所以M到准线距离为2。抓住圆锥曲线的统一性定义，可以得到＝建立一个方程，再由离心率的定义建立一个方程。
【解】设A(x,y)、F(x,m)，由M(1,2)，那么椭圆上定点M到准线距离为2，下顶点A到准线距离为y。根据椭圆的统一性定义和离心率的定义，得到：
，消m得：〔x－1〕＋＝1，
所以椭圆下顶点的轨迹方程为〔x－1〕＋＝1。
【注】求曲线的轨迹方程，按照求曲线轨迹方程的步骤，设曲线上动点所满足的条件，根据条件列出动点所满足的关系式，进行化简即可得到。此题还引入了一个参数m,列出的是所满足的方程组，消去参数m就得到了动点坐标所满足的方程，即所求曲线的轨迹方程。在建立方程组时，巧妙地运用了椭圆的统一性定义和离心率的定义。一般地，圆锥曲线的点、焦点、准线、离心率等问题，常用定义法解决；求圆锥曲线的方程，也总是利用圆锥曲线的定义求解，但要注意椭圆、双曲线、抛物线的两个定义的恰中选用。
【专题训练】
1. 集合A中有2个元素，集合B中有7个元素，A∪B的元素个数为n，那么______。
A. 2≤n≤9 B. 7≤n≤9 C. 5≤n≤9 D. 5≤n≤7
2. 设MP、OM、AT分别是46°角的正弦线、余弦线和正切线，那么_____。
A. MP<OM<AT B. OM<MP<AT C. AT<<OM<MP D. OM<AT<MP
3. 复数z＝a＋2ｉ，z＝－2＋ｉ，如果|z|< |z|，那么实数a的取值范围是_____。

4. 椭圆＋＝1上有一点P，它到左准线的距离为，那么P点到右焦点的距离为_____。
A. 8 C. 7.5 C. D. 3
5. 奇函数f(x)的最小正周期为T，那么f(－)的值为_____。
A. T B. 0 C. D. 不能确定
6. 正三棱台的侧棱与底面成45°角，那么其侧面与底面所成角的正切值为_____。
【简解】1小题：利用并集定义，选B；