资源描述
数列的函数特性
A级 基础巩固
一、选择题
1．函数f(x)定义如下表，数列{xn}满足x0＝5，且对任意的自然数均有xn＋1＝f(xn)，则x2 020＝( B )
x
1
2
3
4
5
f(x)
5
1
3
4
2
A．1 B．2
C．4 D．5
[解析] 根据定义可得出：x1＝f(x0)＝2，x2＝f(x1)＝1，x3＝f(x2)＝5，x4＝f(x3)＝2，…，所以周期为3，故x2 020＝x1＝2.
2．已知数列{an}的通项公式是an＝，那么这个数列是( A )
A．递增数列 B．递减数列
C．常数列 D．摆动数列
[解析] an＝＝1－，随着n的增大而增大．
3．设an＝－n2＋10n＋11，则数列{an}的最大项为( D )
A．5 B．11
C．10或11 D．36
[解析] ∵an＝－n2＋10n＋11＝－(n－5)2＋36，
∴当n＝5时，an取最大值36.
4．已知{an}满足：a1＝1，＝，则数列{an}是( B )
A．递增数列 B．递减数列
C．摆动数列 D．常数列
[解析] 由题意可知an>0，且<1，故an＋1<an，故为递减数列．
5．已知数列{an}满足a1＝0，an＋1＝(n∈N＋)，则a20＝( B )
A．0 B．－
C． D．
[解析] 由a1＝0，可求a2＝＝－.
a3＝＝，a4＝＝0，…，可知周期为3，所以a20＝a2＝－.
6．设an＝＋＋＋…＋(n∈N＋)，那么an＋1－an等于( D )
A． B．
C．＋ D．－
[解析] ∵an＝＋＋＋…＋(n∈N＋)
∴an＋1＝＋＋…＋＋＋，
∴an＋1－an＝＋－＝－.
二、填空题
7．已知数列{an}的通项公式为an＝2 019－3n，则使an>0成立的最大正整数n的值为 672 .
[解析] 由an＝2 019－3n>0，得n<＝673，
又∵n∈N＋，∴n的最大值为672.
8．已知数列{an}的通项公式为an＝，且a，b是正整数，那么an与an＋1的大小关系是 an<an＋1 .
[解析] ∵＝×
＝>1，
an>0，∴an<an＋1.
三、解答题
9．根据数列的通项公式，写出数列的前5项，并用图像表示出来．
(1)an＝(－1)n＋2；
(2)an＝.
[解析] (1)a1＝1，a2＝3，a3＝1，a4＝3，a5＝1.图像如图1.
(2)a1＝2，a2＝，a3＝，a4＝，a5＝.图像如图2.
10．已知函数f(x)＝2x－2－x，数列{an}满足f(log2an)＝－2n.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求证数列{an}是递减数列．
[解析] (1)∵f(x)＝2x－2－x，f(log2an)＝－2n，
∴2log2an－2－log2an＝－2n，an－＝－2n，
∴a＋2nan－1＝0，解得an＝－n±.
∵an>0，∴an＝－n.
(2)证明：＝
＝<1.
即{an}是递减数列．
B级 素养提升
一、选择题
1．对任意的a1∈(0,1)，由关系式an＋1＝f(an)得到的数列满足an＋1>an(n∈N＋)，则函数y＝f(x)的图像是( A )
[解析] 据题意，由关系式an＋1＝f(an)得到的数列{an}，满足an＋1>an，即该函数y＝f(x)的图像上任一点(x，y)都满足y>x，结合图像，只有A满足，故选A．
2．(2019·甘肃天水一中高二月考)在数列{an}中，a1＝－2，an＋1＝1－，则a2 019的值为( B )
A．－2 B．
C． D．
[解析] ∵a1＝－2，an＋1＝1－，
∴a2＝1＋＝，
a3＝1－＝1－＝，
a4＝1－＝1－3＝－2，
∴数列{an}是周期T＝3的周期数列，
∴a2 019＝a3＝.
3．已知数列{an}，an＝，其中存在连续且相等的两项，则是( B )
A．第9项、第10项 B．第10项、第11项
C．第11项、第12项 D．第12项、第13项
[解析] 假设存在连续且相等的两项为an＝an＋1，则有＝，解之得n＝10，所以，存在连续且相等的两项，它们分别是第10项和第11项．
4．已知数列{an}的通项公式an＝n2＋kn＋2，若对于n∈N＋，都有an＋1>an成立，则实数k的取值范围是( D )
A．k>0 B．k>－1
C．k>－2 D．k>－3
[解析] ∵an＋1>an，∴an＋1－an>0.
又an＝n2＋kn＋2，
∴(n＋1)2＋k(n＋1)＋2－(n2＋kn＋2)>0.
∴k>－2n－1.
又－2n－1(n∈N＋)的最大值为－3，
∴k>－3.
二、填空题
5．设an＝－3n2＋15n－18，则数列{an}中的最大项的值为 0 .
[解析] ∵an＝－3(n－)2＋，由二次函数性质，得n＝2或3时，an最大，最大值为0.
6．若数列{an}的通项公式为an＝－2n2＋13n，关于该数列，有以下四种说法：
(1)该数列有无限多个正数项；(2)该数列有无限多个负数项；(3)该数列的最大项就是函数f(x)＝－2x2＋13x的最大值；(4)－70是该数列中的一项．
其中正确的说法有 (2)(4) .(把所有正确的序号都填上)
[解析] 令－2n2＋13n>0，得0<n<，故数列{an}有6项是正数项，有无限个负数项．当n＝3时，数列{an}取到最大值，而当x＝3.25时函数f(x)取到最大值．
令－2n2＋13n＝－70，得n＝10，或n＝－(舍去)．
即－70是该数列的第10项．
三、解答题
7．已知f(x)＝(x≥1)，构造数列an＝f(n)(n∈N＋)．
(1)求证：an≥－2；
(2)试判断数列{an}的单调性，并证明．
[解析] (1)证明：∵f(x)＝(x≥1)，an＝f(n)，
∴an＝＝－2＋，
∵n∈N＋，∴>0，∴an>－2.
(2){an}为递减数列．证明如下：
∵an＝－2＋，an＋1＝－2＋，
∴an＋1－an＝－<0，
∴an＋1<an.
∴数列{an}是递减数列．
8．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－n－30.
(1)求数列的前三项，60是此数列的第几项？
(2)n为何值时，an＝0，an>0，an<0?
(3)该数列前n项和Sn是否存在最值？说明理由．
[解析] (1)由an＝n2－n－30，得
a1＝1－1－30＝－30，
a2＝22－2－30＝－28，
a3＝32－3－30＝－24.
设an＝60，则60＝n2－n－30.
解之，得n＝10或n＝－9(舍去)．
∴60是此数列的第10项．
(2)令n2－n－30＝0，解得n＝6或n＝－5(舍去)．
∴a6＝0，即n＝6时，an＝0.
令n2－n－30>0，解得n>6或n<－5(舍去)．
∴当n>6(n∈N＋)时，an>0.
令n2－n－30<0，解得－5<n<6.
又n∈N＋，∴0<n<6.
∴当0<n<6(n∈N＋)时，an<0.
(3)由an＝n2－n－30＝(n－)2－30，n∈N＋，知{an}是递增数列，
且a1<a2<…<a5<a6＝0<a7<a8<a9<…，
故Sn存在最小值S5＝S6，Sn不存在最大值．
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