2022-2022学年高中数学第一章数列1数列第2课时数列的函数特性练习含解析北师大版必修5.doc

数列的函数特性
A级　基础巩固
一、选择题
1．函数f(x)定义如下表，数列{xn}满足x0＝5，且对任意的自然数均有xn＋1＝f(xn)，则x2 020＝(　B　)
x
1
2
3
4
5
f(x)
5
1
3
4
2
A．1　　　　　　　　　 B．2
C．4　 D．5
[解析]　根据定义可得出：x1＝f(x0)＝2，x2＝f(x1)＝1，x3＝f(x2)＝5，x4＝f(x3)＝2，…，所以周期为3，故x2 020＝x1＝2.
2．已知数列{an}的通项公式是an＝，那么这个数列是(　A　)
A．递增数列 B．递减数列
C．常数列　 D．摆动数列
[解析]　an＝＝1－，随着n的增大而增大．
3．设an＝－n2＋10n＋11，则数列{an}的最大项为(　D　)
A．5 B．11
C．10或11　 D．36
[解析]　∵an＝－n2＋10n＋11＝－(n－5)2＋36，
∴当n＝5时，an取最大值36.
4．已知{an}满足：a1＝1，＝，则数列{an}是(　B　)
A．递增数列 B．递减数列
C．摆动数列　 D．常数列
[解析]　由题意可知an>0，且<1，故an＋1由a1＝0，可求a2＝＝－.
a3＝＝，a4＝＝0，…，可知周期为3，所以a20＝a2＝－.
6．设an＝＋＋＋…＋(n∈N＋)，那么an＋1－an等于(　D　)
A． B．
C．＋　 D．－
[解析]　∵an＝＋＋＋…＋(n∈N＋)
∴an＋1＝＋＋…＋＋＋，
∴an＋1－an＝＋－＝－.
二、填空题
7．已知数列{an}的通项公式为an＝2 019－3n，则使an>0成立的最大正整数n的值为 672 .
[解析]　由an＝2 019－3n>0，得n<＝673，
又∵n∈N＋，∴n的最大值为672.
8．已知数列{an}的通项公式为an＝，且a，b是正整数，那么an与an＋1的大小关系是 an1，
an>0，∴ang2an)＝－2n，
∴2log2an－2－log2an＝－2n，an－＝－2n，
∴a＋2nan－1＝0，解得an＝－n±.
∵an>0，∴an＝－n.
(2)证明：＝
＝<1.
即{an}是递减数列．
B级　素养提升
一、选择题
1．对任意的a1∈(0,1)，由关系式an＋1＝f(an)得到的数列满足an＋1>an(n∈N＋)，则函数y＝f(x)的图像是(　A　)
[解析]　据题意，由关系式an＋1＝f(an)得到的数列{an}，满足an＋1>an，即该函数y＝f(x)的图像上任一点(x，y)都满足y>x，结合图像，只有A满足，故选A．
2．(2019·甘肃天水一中高二月考)在数列{an}中，a1＝－2，an＋1＝1－，则a2 019的值为(　B　)
A．－2　 B．　
C．　　 D．
[解析]　∵a1＝－2，an＋1＝1－，
∴a2＝1＋＝，
a3＝1－＝1－＝，
a4＝1－＝1－3＝－2，
∴数列{an}是周期T＝3的周期数列，
∴a2 019＝a3＝.
3．已知数列{an}，an＝，其中存在连续且相等的两项，则是(　B　)
A．第9项、第10项 B．第10项、第11项
C．第11项、第12项　 D．第12项、第13项
[解析]　假设存在连续且相等的两项为an＝an＋1，则有＝，解之得n＝10，所以，存在连续且相等的两项，它们分别是第10项和第11项．
4．已知数列{an}的通项公式an＝n2＋kn＋2，若对于n∈N＋，都有an＋1>an成立，则实数k的取值范围是(　D　)
A．k>0 B．k>－1
C．k>－2　 D．k>－3
[解析]　∵an＋1>an，∴an＋1－an>0.
又an＝n2＋kn＋2，
∴(n＋1)2＋k(n＋1)＋2－(n2＋kn＋2)>0.
∴k>－2n－1.
又－2n－1(n∈N＋)的最大值为－3，
∴k>－3.
二、填空题
5．设an＝－3n2＋15n－18，则数列{an}中的最大项的值为 0 .
[解析]　∵an＝－3(n－)2＋，由二次函数性质，得n＝2或3时，an最大，最大值为0.
6．若数列{an}的通项公式为an＝－2n2＋13n，关于该数列，有以下四种说法：
(1)该数列有无限多个正数项；(2)该数列有无限多个负数项；(3)该数列的最大项就是函数f(x)＝－2x2＋13x的最大值；(4)－70是该数列中的一项．
其中正确的说法有 (2)(4) .(把所有正确的序号都填上)
[解析]　令－2n2＋13n>0，得00项．
三、解答题
7．已知f(x)＝(x≥1)，构造数列an＝f(n)(n∈N＋)．
(1)求证：an≥－2；
(2)试判断数列{an}的单调性，并证明．
[解析]　(1)证明：∵f(x)＝(x≥1)，an＝f(n)，
∴an＝＝－2＋，
∵n∈N＋，∴>0，∴an>－2.
(2){an}为递减数列．证明如下：
∵an＝－2＋，an＋1＝－2＋，
∴an＋1－an＝－<0，
∴an＋10，an<0?
(3)该数列前n项和Sn是否存在最值？说明理由．
[解析]　(1)由an＝n2－n－30，得
a1＝1－1－30＝－30，
a2＝22－2－30＝－28，
a3＝32－3－30＝－24.
设an＝60，则60＝n2－n－30.
解之，得n＝10或n＝－9(舍去)．
∴60是此数列的第10项．
(2)令n2－n－30＝0，解得n＝6或n＝－5(舍去)．
∴a6＝0，即n＝6时，an＝0.
令n2－n－30>0，解得n>6或n<－5(舍去)．
∴当n>6(n∈N＋)时，an>0.
令n2－n－30<0，解得－5