2022届大联考高三2月份模拟考试数学(理科)试卷-答案.docx

河南省衡水中学2017年大联考高三2月份模拟考试数学（理科）试卷
答 案
一、 选择题
1~5．BAADC 6~10．CDBAD 11~12．BB
二、 填空题
13．64
14．
15．
16．
三、解答题
17．解：（Ⅰ）∵，
∵由正弦定理可得：，即：，
又∵，
∴，解得：，
∴，
又∵，
∴…6分
（Ⅱ）∵由余弦定理可得：，，，
∴，
∴，
∴的面积…12分
18．（Ⅰ）证明：连结，直线，，
，∴，
又M为棱的中点，∴MN为的中位线，
∴N为的中点．
（Ⅱ）设，则，，因为B为AD的中点，所以，因为，
所以，又平面平面A1B1C1，平面平面，平面平面
，
∴，所以四边形是平行四边形，又，所以是菱形，又，，∴，∴，∴，∵，平面平面，
∴平面，∴，，∴AM，AD，AC两两垂直，
以A为坐标原点，AD，AC，AM分别为x，y，z轴，
由题意可得：，，，，∴，，
设平面的法向量为：，则，

令，可得，，可得，平面MAD的一个法向量为：，
平面MAD与平面CC1D所成的锐二面角的余弦值为：．
19．解：（Ⅰ），当时，，因此；
当时，，因此；
当时，，因此；
当时，，因此；
当时，因此；
当时，，因此x1无值；
∴第一轮闯关成功的概率．
（Ⅱ）令金数，则，
由（Ⅰ）每轮过关的概率为．
某人闯关获得奖金不超过1 250元的概率：

（Ⅲ）依题意X的可能取值为1，2，3，4
设游戏第k轮后终止的概率为
，，，；
故X的分布列为
X
1
2
3
4
P

因此
20．解：（Ⅰ）由已知中椭圆C的短轴长为2，可得：，
则过上顶点和右焦点的直线方程为：，
即，
由直线与圆M：相切．
故圆心到直线的距离d等于半径1，
即，
解得：，
则，
故椭圆C的标准方程为：；
（Ⅱ）设，，
当直线AB的斜率不为0时，设直线方程为：，代入得：，
则，，
设直线TA，TB的斜率分别为，，
若，
则
，
即，
解得：，
当直线AB的斜率为0时，也满足条件，
综上，在x轴上存在一点，使得不论直线l的斜率如何变化，总有．
21．（Ⅰ）解：∵，∴．
∵，∴，则．
当时，在内大于0，在内小于0，
∴在内为增函数，在内为减函数，即有极大值而无极小值；
当时，在内为减函数，在内为增函数，即有极小值而无极大值．
∴，即实数的取值范围为；
（Ⅱ）（ⅰ）证明：当时，设．
在区间上为减函数，又，．
∴存在实数，使得．
此时在区间内为增函数，在内为减函数．
又，
∴，．
由单调性知，
．
又，∴．
∴，即；
（ⅱ），
当，时，设．
则．
令．
∵，∴．
∴在内单调递增，
∴当时，．
①当时，即时，，
∴在区间内单调递增，
∴当时，恒成立；
②当时，即时，，
∴存在，使得．
∴在区间内单调递减，在内单调递增．
由，
∴不恒成立．
综上所述，实数m的取值范围为．
∴实数m的最大值为：．
[选修4一4：坐标系与参数方程]
22．解：（Ⅰ）椭圆C的参数方程为，消去参数，可得普通方程为，极坐标方程为；
（Ⅱ）设为椭圆C上任意一点，则，
∴的取值范围是．
[选修4一5：不等式选讲]
23．解：（Ⅰ）令，得，
令，得；
当时，函数；
当时，函数；
当时，函数；
∴，
作出函数的图像，如图所示；
（Ⅱ）由函数的图像知，的最大值是1，
所以不等式有解，等价于有解，
不等式可化为
，解得或，
所以实数的取值范围是．

河南省衡水中学2017年大联考高三2月份模拟考试数学（理科）试卷
解 析
一、选择题
1．【考点】交集及其运算．
【分析】根据函数的定义域和值域求出集合A、B，利用定义写出A∩B．
【解答】解：集合A={y|y=lgx}={y|y∈R}=R，
B={x|y=}={x|x≥0}，
则集合A∩B={x|x≥0}=[0，+∞）．
2．【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．
【解答】解：复数z满足z===+i，
复数z对应的点（，）位于直角坐标平面内的直线y=﹣x上，
∴﹣=，解得a=0.
3．【考点】几何概型．
【分析】由题意知本题是一个几何概型，概率的值为对应长度之比，根据题目中所给的不等式解出解集，解集在数轴上对应的线段的长度之比等于要求的概率．
【解答】解：由题意知本题是一个几何概型，概率的值为对应长度之比，
由f（x0）≤0，得到x02﹣2x0﹣3≤0，且x0∈[﹣2，4]
解得：﹣1≤x0≤3，
∴P==，
4．【考点】双曲线的简单性质．
【分析】根据题意，由双曲线C1与C2的标准方程，分析其焦点位置，进而求出C1与C2的焦点坐标、顶点坐标、渐近线方程以及离心率，比较即可得答案．
【解答】解：根据题意，双曲线C1：﹣y2=1，其焦点在x轴上，c=，
则其焦点坐标为（，0），顶点坐标（a，0），渐近线方程：y=±x，离心率e=；
双曲线C2：﹣x2=1，其焦点在y轴上，c=，
则其焦点坐标为（0，），顶点坐标（0，a），渐近线方程：y=±ax，离心率e=；
分析可得：双曲线C1：﹣y2=1与双曲线C2：﹣x2=1的离心率相同；
5．【考点】等比数列的前n项和．
【分析】由题意，可得该匹马每日的路程成等比数列，首项为a1，公比，连续行走7天，共走 了 700里，即S7=700，求解a1，即可求解它这14天内所走的总路程S14．
【解答】解：由题意，设该匹马首日路程（即首项）为a1，公比，S7=700，即，
解得：
那么： =
6．【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】由题意，几何体是底面为等腰直角三角形（其直角边长为2）的三棱锥和一个半圆锥（圆锥底面半径为1）的组合体，利用体积公式，可得结论．
【解答】解：由题意，几何体是底面为等腰直角三角形（其直角边长为2）的三棱锥和一个半圆锥（圆锥底面半径为1）的组合体，体积V==，
7．【考点】不等式的基本性质．
【分析】根据a，b，c的范围，根据特殊值法验证即可．
【解答】解：取a=，b=，c=2，
得A、B、C错误，D正确，
8．【考点】程序框图．
【分析】程序框图累计算=（﹣）各项的和，即s= [（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）]，
根据判断框，即可得出结论．
【解答】解：程序框图累计算=（﹣）各项的和，
即s= [（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）]，
判断框为k＞99时，输出的结果为，
9．【考点】棱柱的结构特征．
【分析】如图异面直线FF1与DD1所成的角的正切值为时，就是tan∠CHF=，求出CF，C1H，C1F，D1C1即可．
【解答】解：如图异面直线FF1与DD1所成的角的正切值为时，
就是tan∠CHF=，∵，∴CH=2a，
即C1H=a⇒C1F1=
|GF1|==
10．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数的化简求值．
【分析】利用两角差的正弦函数公式、函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得g（x），利用正弦函数的图象和性质逐一分析各个选项即可得解．
【解答】解：把f（x）=sin2x﹣cos2x+1=2sin（2x﹣）+1的图象向左平移个单位，
得到函数y=2sin[2（x+）﹣]+1=2sin（2x+）+1的图象，
再向下平移1个单位，得到函数y=g（x）=2sin（2x+）的图象，
对于A，由于T=，故正确；
对于B，由2x+=kπ+，k∈Z，解得：x=+，k∈Z，可得：当k=0时，y=g（x）的图象的一条对称轴为直线x=，故正确；
对于C， g（x）dx=2sin（2x+）dx=﹣cos（2x+）|=﹣（cos﹣cos）=，故正确；
对于D，由2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得：kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，可得函数y=g（x）在区间[，]上单调递减，故错误．
11．【考点】抛物线的简单性质．
【分析】先求出抛物线的方程，设AP=t，则AN=，AF=2，PN=，PF=，再表示，利用换元法，即可得出结论．
【解答】解：∵点M（3，2）到拋物线C：y=ax2（a＞0）准线的距离为4，
∴2+=4，∴a=，∴拋物线C：x2=8y，
直线l：x﹣y=2与x轴交于A（2，0），则FA⊥l．
设AP=t，则AN=，AF=2，PN=，PF=，
设﹣1=m（m≥﹣1），则===，
∴m=﹣1，即t=0时，的最小值为．
12．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．
【分析】由设t=f（x）﹣lnx，则f（x）=lnx+t，又由f（t）=e+1，求出f（x）=lnx+e，从而求出g（x）的解析式，根据函数的单调性求出函数的零点的个数即可．
【解答】解：根据题意，对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣lnx]=e+1，
又由f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，
则f（x）﹣lnx为定值，
设t=f（x）﹣lnx，
则f（x）=lnx+t，
又由f（t）=e+1，
即lnt+t=e+1，
解得：t=e，
则f（x）=lnx+e，f′（x）=＞0，
故g（x）=lnx+e﹣，则g′（x）=+＞0，
故g（x）在（0，+∞）递增，
而g（1）=e﹣1＞0，g（）=﹣1＜0，
存在x0∈（，1），使得g（x0）=0，
故函数g（x）有且只有1个零点，
二、填空题
13．【考点】二项式系数的性质．
【分析】根据二项式展开式的通项公式，令展开式中含x项的指数等于3，求出r的值，即可求出展开式中x3项的系数．
【解答】解：二项式（2﹣）6展开式的通项公式为
Tr+1=••=（﹣1）r•26﹣r••x3﹣r，
令3﹣r=3，
解得r=0；
∴展开式中x3项的系数是26×=64．
14．【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】根据平面向量的数量积运算与夹角公式，即可求出、夹角的大小．
【解答】解：∵||=2， =（4cosα，﹣4sinα），
∴||==4，
又⊥（﹣），
∴•（﹣）=﹣•=22﹣•=0，
∴•=4；
设与的夹角为θ，则θ∈[0，π]，
∴cosθ===，
∴θ=．
15．【考点】简单线性规划．
【分析】由约束条件作出可行域，设A（1，1），P（x，y）为可行域内的一动点，向量、的夹角为θ，可得cosθ=，再由θ的范围求得cosθ的范围，则答案可求．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，

设A（1，1），P（x，y）为可行域内的一动点，
向量、的夹角为θ，
∵||=，，
∴cosθ==．
∵当P运动到B时，θ有最小值，当P运动到C时，θ有最大值π，
∴﹣1，即，
则．
∴的取值范围为[﹣，1]．
16．【考点】数列的求和．
【分析】由已知结论可得f（x）的对称中心为（，﹣1），即有f（x）+f（1﹣x）=﹣2，此数列前2017项的和按正常顺序写一遍，再倒过来写，即运用数列的求和方法：倒序求和法，化简即可得到所求和．
【解答】解：若函数f（x）的表达式为f（x）= （c≠0），
则函数f（x）的图象的对称中心为（﹣，），
现已知函数f（x）=，则对称中心为（，﹣1），
即有f（x）+f（1﹣x）=﹣2，
则数列前2017项的和为S2017=f（）+f（）+…+f（）+f（1），
则S2017=f（）+f（）+…+f（）+f（1），
相加可得2S2017=[f（）+f（）]+[f（）+f（）]+…+2f（1）
=﹣2+（﹣2）+…+（﹣2）+0=﹣2×2016，
则此数列前2017项的和为﹣2016．
三、解答题
17．【考点】余弦定理；正弦定理．
【分析】（I）由正弦定理化简已知等式可得cosB=，结合余弦定理可求b2+c2﹣a2=bc，可求cosA，结合范围A∈（0，π），可求A的值．
（Ⅱ）由已知及余弦定理可得bc=，进而利用三角形面积公式即可计算得解．
18．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．
【分析】（Ⅰ）连结A1D，直线MN∥平面ADB1A1，推出MN∥A1D，说明MN为△A1C1D的中位线，得到N为DC1的中点．
（Ⅱ）设A1B1=1，证明AD⊥AM，AD⊥AC，∴AM，AD，AC两两垂直，以A为坐标原点，AD，AC，AM分别为x，y，z轴，求出相关点的坐标，求出平面CC1D的法向量，平面MAD的一个法向量，利用空间向量的数量积求解即可．
19．【考点】离散型随机变量的期望与方差．
【分析】（Ⅰ）枚举法列出所有满足条件的数对（x1，y1）即可，
（Ⅱ）由10000×≤1250，得i≥3，由（Ⅰ）每轮过关的概率为．某人闯关获得奖金不超过1250元的概率：P（i≥3）=1﹣P（i=1）﹣P（i=2）
（Ⅲ）设游戏第k轮后终止的概率为pk（k=1，2，3，4），分别求出相应的概率，由能求出X的分布列和数学期望．
20．【考点】直线与椭圆的位置关系．
【分析】（I）由已知可得：b=1，结合直线与圆M：x2+y2﹣4x﹣2y+4=0相切．进而可得c2=3，a2=4，即得椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）在x轴上是否存在一点T（4，0），使得不论直线l的斜率如何变化，总有∠OTA=∠OTB，联立直线与椭圆方程，结合∠OTA=∠OTB 时，直线TA，TB的斜率k1，k2和为0，可证得结论．
21．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（Ⅰ）求出原函数的导函数，由f′（e）=0得b=0，可得f′（x）=．然后对a分类讨论，可知当a＞0时，f（x）有极大值而无极小值；当a＜0时，f（x）有极小值而无极大值．从而得到实数a的取值范围为（﹣∞，0）；
（Ⅱ）（i）当a=b=1时，设g（x）=xf（x）+2=lnx﹣ex+2．求其导函数，可得g′（x）=在区间（0，+∞）上为减函数，结合零点存在定理可得存在实数x0∈（，1），使得．得到g（x）在区间（0，x0）内为增函数，在（x0，+∞）内为减函数．又，得，x0=﹣lnx0.
由单调性知g（x）max＜0，即xf（x）+2＜0；
（ii）xf（x）＞e+m（x﹣1）⇔xf（x）﹣m（x﹣1）＞e，当 a=1，b=﹣1时，设h（x）=xf（x）﹣m（x﹣1）=lnx+ex﹣m（x﹣1）．利用两次求导可得当x＞1时，h′（x）＞h′（1）=1+e﹣m．然后分当1+e﹣m≥0时和当1+e﹣m＜0时求解m的取值范围．
[选修4一4：坐标系与参数方程]
22．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．
【分析】（I）椭圆C的参数方程为，消去参数，可得普通方程，即可求椭圆C的极坐标方程；
（Ⅱ）设M（x，y）为椭圆C上任意一点，则x+2y=3cosθ+4sinθ=5sin（θ+α），即可求x+2y的取值范围．
[选修4一5：不等式选讲]
23．【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．
【分析】（Ⅰ）去掉绝对值，化简函数f（x），作出函数f（x）的图象即可；
（Ⅱ）由函数f（x）的图象知函数的最大值是1，问题等价于≤1有解，
求出解集即可．
作出函数f（x）的图象，如图所示；

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