资源描述
单元质量测试(八)
时间：120分钟 总分值：150分
第一卷 (选择题，共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分)
1．同时抛掷3枚硬币，那么互为对立事件的是( )
A．“至少有1枚正面〞与“最多有1枚正面〞
B．“最多有1枚正面〞与“恰有2枚正面〞
C．“至多有1枚正面〞与“至少有2枚正面〞
D．“至少有2枚正面〞与“恰有1枚正面〞
答案 C
解析 两个事件是对立事件必须满足两个条件：①不同时发生，②两个事件的概率之和等于1.应选C．
2．(2022·衡水中学期末)某学校有体育特长生25人，美术特长生35人，音乐特长生40人，用分层抽样的方法从中抽取40人，那么抽取的体育特长生、美术特长生、音乐特长生的人数分别为( )
A．8,14,18 B．9,13,18
C．10,14,16 D．9,14,17
答案 C
解析 因为25＋35＋40＝100，用分层抽样的方法从中抽取40人，所以每个个体被抽到的概率是P＝＝＝0.4，所以体育特长生25人应抽25×0.4＝10(人)，美术特长生35人应抽35×0.4＝14(人)，音乐特长生40人应抽40×0.4＝16(人)．
3．(2022·河南濮阳模拟)设f(x)＝－x2＋mx＋m，在[－6，9]内任取一个实数m，那么函数f(x)的图象与x轴有公共点的概率等于( )
A． B．
C． D．
答案 D
解析 因为f(x)＝－x2＋mx＋m的图象与x轴有公共点，所以Δ＝m2＋4m≥0，所以m≤－4或m≥0，所以在[－6,9]内取一个实数m，函数f(x)的图象与x轴有公共点的概率P＝＝.应选D．
4．假设有两个分类变量X和Y的2×2列联表如下：
Y
X
y1
y2
总计
x1
a
10
a＋10
x2
c
30
c＋30
总计
60
40
100
对同一样本，以下数据能说明X与Y有关系的可能性最大的一组为( )
A．a＝45，c＝15 B．a＝40，c＝20
C．a＝35，c＝25 D．a＝30，c＝30
答案 A
解析 根据2×2列联表与独立性检验可知，当与相差越大时，X与Y有关系的可能性越大，即a，c相差越大，与相差越大．应选A．
5．变量x与y的取值如下表所示，且2.5<n<m<6.5，那么由该数据算得的线性回归方程可能是( )
x
2
3
4
5
y
6.5
m
n
2.5
A．＝0.8x＋2.3 B．＝2x＋0.4
C．＝－1.5x＋8 D．＝－1.6x＋10
答案 D
解析 由2.5<n<m<6.5，可得为负相关，排除A，B；由题意，知＝3.5，＝×(6.5＋m＋n＋2.5)∈(3.5,5.5)，分别代入选项C，D，可得D满足．应选D．
6．(x－m)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，假设a4＝－35，那么a1＋a3＋a5＋a7＝( )
A．128 B．64
C．－63 D．－64
答案 B
解析 解法一：由题意可知a4＝C·(－m)3＝－35，解得m＝1.所以a1＋a3＋a5＋a7＝C·(－m)6＋C·(－m)4＋C·(－m)2＋C·(－m)0＝C＋C＋C＋C＝64.
解法二：由题意可知a4＝C·(－m)3＝－35，解得m＝1.设f(x)＝(x－1)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，那么f(1)＝0＝a0＋a1＋a2＋…＋a7，f(－1)＝－27＝a0－a1＋a2－…－a7，即a1＋a3＋a5＋a7＝＝64.
7．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，在取到的2个数之和为偶数的条件下，取到的2个数均为奇数的概率为( )
A． B．
C． D．
答案 D
解析 记“取到的2个数之和为偶数〞为事件A，“取到的2个数均为奇数〞为事件B，那么P(A)＝＝，P(AB)＝＝.由条件概率的计算公式得P(B|A)＝＝＝.应选D．
8．假设在边长为a的正三角形内任取一点P，那么点P到三角形三个顶点的距离均大于的概率是( )
A．－ B．1－
C． D．
答案 B
解析 如图，正三角形ABC的边长为a，分别以它的三个顶点为圆心，以为半径，在△ABC内部画圆弧，得三个扇形，依题意知点P在这三个扇形外，因此所求概率为＝1－.应选B．
9．10枚均匀的骰子同时掷出，共掷5次，至少有一次全部出现一点的概率是( )
A．5 B．10
C．1－10 D．1－5
答案 D
解析 一次同时掷出10枚均匀的骰子，10枚骰子全部出现一点的概率等于10，故10枚骰子没有全部出现一点的概率等于1－10.事件“掷5次，至少有一次10枚骰子全部出现一点〞的对立事件为“掷5次，每次掷出的10枚骰子中，至少有一枚没有出现一点〞，故至少有一次10枚骰子全部出现一点的概率等于1－5.应选D．
10．(2022·青海玉树高三第一次联考)数列{an}为等差数列，且满足a1＋a5＝90.假设(1－x)m的展开式中含x2项的系数等于数列{an}的第三项，那么m的值为( )
A．6 B．8
C．9 D．10
答案 D
解析 数列{an}为等差数列，所以a3＝＝45；由二项式定理可知(1－x)m的展开式中含x2项的系数为C，所以C＝a3＝45，解得m＝10.
11．中国南北朝时期的著作?孙子算经?中，对同余除法有较深的研究．设a，b，m(m>0)为整数，假设a和b被m除得的余数相同，那么称a和b对模m同余，记为a＝b(b mod m)．假设a＝C＋C×2＋C×22＋…＋C×220，a＝b(b mod 10)，那么b的值可以是( )
A．2022 B．2022
C．2022 D．2022
答案 A
解析 ∵a＝C＋C×2＋C×22＋…＋C×220＝(1＋2)20＝320＝910＝(10－1)10＝C×1010－C×109＋C×108－…－C×10＋C，∴a被10除得的余数为1，而2022被10除得的余数是1.应选A．
12．为防止局部学生考试时用搜题软件作弊，命题组指派5名教师对数学卷的选择题、填空题和解答题这3种题型进行改编，那么每种题型至少指派1名教师的不同分派方法种数为( )
A．420 B．200
C．180 D．150
答案 D
解析 由题意知，5名教师的指派分组可以为1,2,2或1,1,3两种不同的方法，当分组为1,2,2时，不同的分派方法种数为＝90，当分组为1,1,3时，不同的分派方法种数为＝60，所以不同的分派方法种数为90＋60＝150.
第二卷 (非选择题，共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分)
13．某天，甲要去银行办理储蓄业务，银行的营业时间为9：00至17：00，设甲在当天13：00至18：00之间任何时间去银行的可能性相同，那么甲去银行恰好能办理业务的概率是________．
答案
解析 该题为长度型几何概型，所以概率P＝＝.
14．(2022·江西上饶一模)假设6的展开式中的常数项为－160，那么a2＋b2的最小值为________．
答案 4
解析 二项式6的通项公式为Tr＋1＝C(ax)6－rr＝Ca6－r(－b)rx6－2r(r＝0,1，…，6)，当r＝3时，常数项为－Ca3b3＝－160，解得ab＝2，那么a2＋b2≥2ab＝4，即a2＋b2的最小值为4，当且仅当a＝b＝或a＝b＝－时取等号．
15．(2022·东北四市模拟)三支球队中，甲队胜乙队的概率为0.4，乙队胜丙队的概率为0.5，丙队胜甲队的概率为0.6，比赛顺序是：第一局是甲队对乙队，第二局是第一局的胜者对丙队，第三局是第二局的胜者对第一局的败者，第四局是第三局的胜者对第二局的败者，那么乙队连胜四局的概率为________．
答案 0.09
解析 设乙队连胜四局为事件A，有以下情况：第一局中乙胜甲(A1)，其概率为1－0.4＝0.6；第二局中乙胜丙(A2)，其概率为0.5；第三局中乙胜甲(A3)，其概率为0.6；第四局中乙胜丙(A4)，其概率为0.5，因各局比赛中的事件相互独立，故乙队连胜四局的概率为P(A)＝P(A1A2A3A4)＝0.62×0.52＝0.09.
16．(2022·佛山一模)某保险公司针对企业职工推出一款意外险产品，每年每人只要交少量保费，发生意外后可一次性获赔50万元．保险公司把职工从事的所有岗位共分为A，B，C三类工种，根据历史数据统计出这三类工种的每年赔付频率如表所示(并以此估计赔付概率)．
工种类别
A
B
C
赔付频率
假设规定该产品各工种保单的期望利润都不得超过保费的20%，那么A，B，C三类工种每份保单保费的上限之和为________元．
答案 81.25
解析 设工种A的每份保单保费为a元，保险公司每份保单的利润为随机变量X，那么X的分布列为
X
a
a－50×104
P
1－
保险公司期望利润为E(X)＝a＋(a－50×104)×＝a－5(元)，
根据规定知，a－5≤0.2a，解得a≤6.25.
设工种B的每份保单保费为b元，同理可得保险公司期望利润为(b－10)元，根据规定知，b－10≤0.2b，解得b≤12.5，设工种C的每份保单保费为c元，同理可得保险公司期望利润为(c－50)元，根据规定知，c－50≤0.2c，解得c≤62.5.
那么A，B，C三类工种每份保单保费的上限之和为6.25＋12.5＋62.5＝81.25(元)．
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题总分值10分)某商场为了了解顾客的购物信息，随机地在商场收集了100位顾客购物的相关数据，整理如下：
一次购物款
(单位：元)
[0，50)
[50，100)
[100，150)
[150，200)
[200，＋∞)
顾客人数
m
20
30
n
10
统计结果显示100位顾客中购物款不低于100元的顾客占60%，据统计该商场每日大约有5000名顾客，为了增加商场的销售额度，对一次性购物不低于100元的顾客发放纪念品(每人一件)．
(注：视频率为概率)
(1)试确定m，n的值，并估计该商场每日应准备纪念品的数量；
(2)为了迎接店庆，商场进行让利活动，一次性购物款200元及以上的一次返利30元；一次性购物款小于200元的按购物款的百分比返利，具体见下表：
一次购物款(单位：元)
[0,50)
[50,100)
[100,150)
[150,200)
返利百分比
0
6%
8%
10%
请估计该商场日均让利多少元？
解 (1)由，得100位顾客中购物款不低于100元的顾客有n＋10＋30＝100×60%，
解得n＝20，∴m＝100－80＝20.
故该商场每日应准备纪念品的数量约为5000×＝3000(件)．
(2)设一次购物款为a元，
当a∈[50,100)时，顾客有5000×20%＝1000(人)，
当a∈[100,150)时，顾客有5000×30%＝1500(人)，
当a∈[150,200)时，顾客有5000×20%＝1000(人)，
当a∈[200，＋∞)时，顾客有5000×10%＝500(人)，
∴估计该商场日均让利为75×6%×1000＋125×8%×1500＋175×10%×1000＋30×500＝52000(元)．
∴估计该商场日均让利为52000元．
18．(本小题总分值12分)某市市民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量不超过w立方米的局部按4元/立方米收费，超出w立方米的局部按10元/立方米收费，从该市随机调查了100位市民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图，并且前四组频数成等差数列．
(1)求a，b，c的值及居民月用水量在2～2.5内的频数；
(2)如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米，应将w至少定为多少？
(3)假设将频率视为概率，现从该市随机调查3名居民的月用水量，将月用水量不超过2.5立方米的人数记为X，求其分布列及均值．
解 (1)∵前四组频数成等差数列，
∴所对应的频率/组距也成等差数列，
设a＝0.2＋d，b＝0.2＋2d，c＝0.2＋3d，
∴0.5×(0.2＋0.2＋d＋0.2＋2d＋0.2＋3d＋0.2＋d＋0.1＋0.1＋0.1)＝1，
解得d＝0.1，∴a＝0.3，b＝0.4，c＝0.5.
居民月用水量在2～2.5内的频率为0.5×0.5＝0.25.
居民月用水量在2～2.5内的频数为0.25×100＝25.
(2)由题图及(1)可知，居民月用水量小于2.5的频率为0.7<0.8，
∴为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米，
应规定w＝2.5＋≈3.
(3)将频率视为概率，设A(单位：立方米)代表居民月用水量，可知P(A≤2.5)＝0.7，
由题意，知X～B(3,0.7)，
P(X＝0)＝C×0.33＝0.027，
P(X＝1)＝C×0.32×0.7＝0.189，
P(X＝2)＝C×0.3×0.72＝0.441，
P(X＝3)＝C×0.73＝0.343.
∴X的分布列为
X
0
1
2
3
P
0.027
0.189
0.441
0.343
∵X～B(3,0.7)，∴E(X)＝np＝2.1.
19．(本小题总分值12分)为了减少雾霾，还城市一片蓝天，某市政府于12月4日到12月31日在主城区实行车辆限号出行政策，鼓励民众不开车低碳出行，某甲、乙两个单位各有200名员工，为了了解员工低碳出行的情况，统计了12月5日到12月14日共10天的低碳出行的人数，画出茎叶图如下图．
(1)假设甲单位数据的平均数是122，求x；
(2)现从如下图的数据中任取4天的数据(甲、乙两单位中各取2天)，记其中甲、乙两单位员工低碳出行人数不低于130人的天数为ξ1，ξ2令η＝ξ1＋ξ2，求η的分布列和数学期望．
解 (1)由题意，得×[105＋107＋113＋115＋119＋126＋(120＋x)＋132＋134＋141]＝122，解得x＝8.
(2)随机变量η的所有可能取值有0,1,2,3,4，
P(η＝0)＝＝；
P(η＝1)＝＝；
P(η＝2)＝＝；
P(η＝3)＝＝；
P(η＝4)＝＝，
∴η的分布列为
η
0
1
2
3
4
P
E(η)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝.
20．(本小题总分值12分)某钢管生产车间生产一批钢管，质检员从中抽出假设干根对其直径(单位：mm)进行测量，得出这批钢管的直径X服从正态分布N(65,4.84)．
(1)当质检员随机抽检时，测得一根钢管的直径为73 mm，他立即要求停止生产，检查设备，请你根据所学知识，判断该质检员的决定是否有道理，并说明判断的依据；
(2)如果钢管的直径X满足60.6～69.4 mm为合格品(合格品的概率精确到0.01)，现要从60根该种钢管中任意挑选3根，求次品数Y的分布列和数学期望．
参考数据：假设X～N(μ，σ2)，那么P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6826；P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.9544；P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.9974.
解 (1)∵μ＝65，σ＝2.2，μ－3σ＝58.4，μ＋3σ＝71.6，
∵73∈(μ＋3σ，＋∞)，
∴P(X>71.6)＝
＝＝0.0013.
∴此事件为小概率事件，该质检员的决定有道理．
(2)∵μ＝65，σ＝2.2，μ－2σ＝60.6，μ＋2σ＝69.4，
由题意，可知钢管直径满足μ－2σ<X≤μ＋2σ为合格品，故该批钢管为合格品的概率约为0.95，
∴在60根钢管中，合格品有57根，次品有3根，任意挑选3根，那么次品数Y的所有可能取值为0,1,2,3.
P(Y＝0)＝，P(Y＝1)＝
P(Y＝2)＝，P(Y＝3)＝，
那么次品数Y的分布列为
Y
0
1
2
3
P
得E(Y)＝0×＋1×＋2×＋3×＝0.15.
21．(2022·石家庄模拟)(本小题总分值12分)某公司为了提高利润，从2022年至2022年每年对生产环节的改良进行投资，投资金额与年利润增长的数据如表：
年份
2022
2022
2022
2022
2022
2022
2022
投资金额x(万元)
4.5
5.0
5.5
6.0
6.5
7.0
7.5
年利润增长y(万元)
6.0
7.0
7.4
8.1
8.9
9.6
11.1
(1)请用最小二乘法求出y关于x的回归直线方程；
(2)如果2022年该公司方案对生产环节的改良的投资金额为8万元，估计该公司在该年的年利润增长为多少？(结果保存两位小数)
(3)现从2022～2022年这7年中抽出两年进行调查，记λ＝年利润增长－投资金额，求这两年都是λ≥2(万元)的概率？
参考公式：＝
＝，＝－ .
参考数据：iyi＝359.6，＝259.
解 (1)由题意计算，得＝6，＝8.3,7＝348.6，
又iyi＝359.6，＝259，
所以＝＝＝，
所以＝－ ＝8.3－×6＝－，
所以回归直线方程为＝x－；
(2)将x＝8代入方程，得＝×8－≈11.44，
即该公司在该年的年利润增长大约为11.44万元．
(3)由题意可知，
年份
2022
2022
2022
2022
2022
2022
2022
λ
1.5
2
1.9
2.1
2.4
2.6
3.6
λ≥2(万元)的年份有2022,2022,2022,2022,2022，所以两年都是λ≥2(万元)的概率是P＝＝.
22．(2022·郑州二模)(本小题总分值12分)目前，浙江和上海已经成为新高考综合试点的“排头兵〞，有关其他省份新高考改革的实施安排，教育部部长在十九大上做出明确表态：到2022年，我国将全面建立起新的高考制度．某地区新高考规定：语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还需从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目．假设一个学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目，那么称该学生的选考方案确定；否那么，称该学生选考方案待确定．例如，学生甲选择“物理、化学和生物〞三个选考科目，那么学生甲的选考方案确定，“物理、化学和生物〞为其选考方案．
某校为了解高一年级840名学生选考科目的意向，随机选取60名学生进行了一次调查，统计选考科目人数如表：
性别
选考方案确定情况
物理
化学
生物
历史
地理
政治
男生
选考方案确定的有16人
16
16
8
4
2
2
选考方案待确定的有12人
8
6
0
2
0
0
女生
选考方案确定的有20人
6
10
20
16
2
6
选考方案待确定的有12人
2
8
10
0
0
2
(1)估计该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有多少人？
(2)将列联表填写完整，并通过计算判定能否有99.9%的把握认为选历史与性别有关？
选历史
不选历史
总计
选考方案确定的男生
选考方案确定的女生
总计
(3)从选考方案确定的16名男生中随机选出2名，设随机变量ξ＝求ξ的分布列及数学期望E(ξ)．
附：K2＝，n＝a＋b＋c＋D．
P(K2≥k0)
0.05
0.01
0.005
0.001
k0
3.841
6.635
7.879
10.828
解 (1)由题可知，选考方案确定的男生中确定选考生物的学生有8人，选考方案确定的女生中确定选考生物的学生有20人，那么该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有××840＝392人．
(2)列联表如下，
选历史
不选历史
总计
选考方案确定的男生
4
12
16
选考方案确定的女生
16
4
20
总计
20
16
36
由列联表中的数据得K2＝＝＝＝＝10.89＞10.828，
所以有99.9%的把握认为选历史与性别有关．
(3)由数据可知，选考方案确定的男生中有8人选择物理、化学和生物；有4人选择物理、化学和历史；有2人选择物理、化学和地理；有2人选择物理、化学和政治，由ξ的取值为0,1.
P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝0)＝1－P(ξ＝1)＝，所以ξ的分布列为
ξ
0
1
P
E(ξ)＝0×＋1×＝.
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