2023版高考数学一轮复习第七章解析几何第4讲直线与圆的位置关系课时作业理.doc

第4讲　直线与圆的位置关系
1．(2015年安徽)直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b＝(　　)
A．－2或12 B．2或－12
C．－2或－12 D．2或12
2．若圆C1：x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0(a∈R)与圆C2：x2＋y2－2by－1＋b2＝0(b∈R)恰有三条切线，则a＋b的最大值为(　　)
A．－3 B．－3 C．3 D．3
3．过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为(　　)
A．2x＋y－3＝0 B．2x－y＋3＝0
C．4x－y－3＝0 D．4x＋y－3＝0
4．(2015年重庆)已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴．过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝(　　)
A．2 B．4 C．6 D．2
5．(2015年山东)一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为(　　)
A．－或－ B．－ 或－
C．－或－ D．－或－
6．由直线y＝x＋1上的动点P向圆C：(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为(　　)
A．1 B．2 C. D．3
7．(2017年广东调研)若直线x＋y＝1与曲线y＝(a>0)恰有一个公共点，则a的取值范围是(　　)
A．a＝ B．a>1或a＝
C.≤a<1 D.<a<1
8．(2016年新课标Ⅲ)已知直线l：x－y＋6＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，则|CD|＝____________.
9．(2016年吉林实验中学三模)已知圆C的圆心C在第一象限，且在直线3x－y＝0上，该圆与x轴相切，且被直线x－y＝0截得的弦长为2 ，直线l：kx－y－2k＋5＝0与圆C相交．
(1)求圆C的标准方程；
(2)求出直线l所过的定点；当直线l被圆所截得的弦长最短时，求直线l的方程及最短的弦长．
10．已知方程x2＋y2－2x－4y＋m＝0.
(1)若此方程表示圆，求m的取值范围；
(2)若(1)中的圆与直线x＋2y－4＝0相交于M，N两点，且OM⊥ON(O为坐标原点)，求m的值；
(3)在(2)的条件下，求以MN为直径的圆的方程．
11．(2015年广东)已知过原点的动直线l与圆C1：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点A，B.
(1)求圆C1的圆心坐标；
(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程；
(3)是否存在实数k，使得直线L：y＝k(x－4)与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．
第4讲　直线与圆的位置关系
1．D　解析：∵直线3x＋4y＝b与圆心为(1,1)，半径为1的圆相切，∴＝1⇒b＝2或12.故选D.
2．D　解析：易知圆C1的圆心为C1(－a,0)，半径为r1＝2；圆C2的圆心为C2(0，b)，半径为r2＝1.∵两圆恰有三条切线，∴两圆外切．∴|C1C2|＝r1＋r2，即a2＋b2＝9.∵2≤，∴a＋b≤3 (当且仅当a＝b＝时取“＝”)，∴a＋b的最大值为3 .
3．A　解析：方法一，设过点(3,1)的切线为y－1＝k(x－3)，变形可得kx－y＋1－3k＝0.由圆心(1,0)到切线的距离d＝＝1，得k＝或k＝0.联立切线与圆的方程可得切点A，B的坐标，可得直线AB的方程．
方法二，以点(3,1)与圆心(1,0)的连线为直径求得圆的方程为(x－2)2＋2＝，
由题意，得
两式相减，得2x＋y－3＝0.故选A.
4．C　解析：圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4，圆心为C(2,1)，半径为r＝2，因此2＋a×1－1＝0，a＝－1，即A(－4，－1)，|AB|＝＝＝6.故选C.
5．D　解析：由光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点(2，－3)，设反射光线所在直线的斜率为k，则反射光线所在直线的方程为：y＋3＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0.又因为反射光线与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，所以＝1.整理，得12k2＋25k＋12＝0.解得k1＝－，或k2＝－.故选D.
6．C　解析：如图D129，切线长|PM|＝，显然当|PC|为圆心C到直线y＝x＋1的距离，即＝2 ，所以|PM|最小值为.故选C.
图D129
7．B　解析：曲线y＝表示一个半圆，如图D130.当直线与半圆相切时，满足条件，即＝，解得a＝；
图D130
当直线的横截距小于圆的半径时，满足条件，即1<，a>1.
综上所述，a的取值范围是a＝或a>1.故选B.
8．4　解析：由x－y＋6＝0，得x＝y－6.代入圆的方程，并整理，得y2－3 y＋6＝0.
解得y1＝2 ，y2＝.所以x1＝0，x2＝－3.
所以|AB|＝＝2 .
又直线l的倾斜角为30°，由平面几何知识知在梯形ABDC中，|CD|＝＝4.
9．解：(1)设圆心C(a，b)，a＞0，b＞0，半径为r，
则b＝3a，r＝3a.
则圆心C(a,3a)到直线x－y＝0的距离d＝＝a，
则有(a)2＋()2＝(3a)2.即a2＝1.
∵a＞0，∴a＝1.
∴圆心C(1,3)，半径为3.
∴圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－3)2＝9.
(2)∵直线l：kx－y－2k＋5＝0，即(x－2)k－(y－5)＝0.
∴直线l过定点M(2,5)．
∴|CM|＝，kCM＝2.当弦长最短时，直线l与直线CM垂直，即kl＝－.
∴直线l的方程为x＋2y－12＝0.
最短弦长为2＝4.
10．解：(1)方程x2＋y2－2x－4y＋m＝0变形为(x－1)2＋(y－2)2＝5－m.
若此方程表示圆，则5－m>0，即m<5.
(2)由消去x，
得(4－2y)2＋y2－2(4－2y)－4y＋m＝0，
即5y2－16y＋m＋8＝0.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则
由OM⊥ON知·＝－1.
即x1x2＋y1y2＝0.又代入上式，
得(4－2y1)(4－2y2)＋y1y2＝0，
即16－8(y1＋y2)＋5y1y2＝0.
将①②代入上式，得16－8×＋5×＝0.
解得m＝.
(3)将m＝代入5y2－16y＋m＋8＝0，
得25y2－80y＋48＝0.解得y1＝，y2＝.
∴x1＝4－2y1＝－，x2＝4－2y2＝.
∴M，N.
∴MN的中点C的坐标为，
|MN|＝＝.
∴所求圆的半径为.
∴所求圆的方程为2＋2＝.
11．解：(1)圆C1：x2＋y2－6x＋5＝0化为(x－3)2＋y2＝4，所以圆C1的圆心坐标为(3,0)．
(2)设线段AB的中点为M(x0，y0)，
由圆的性质可得C1Μ垂直于直线l.
设直线l的方程为y＝mx(易知直线l的斜率存在)，
所以kC1Μ·m＝－1，y0＝mx0.
所以·＝－1.
所以x－3x0＋y＝0，即2＋y＝.
因为动直线l与圆C1相交，所以<2.
所以m2<.
所以y＝m2x<x.所以3x0－x<x.
解得x0>或x0<0.
又因为0<x0≤3，所以<x0≤3.
所以M(x0，y0)满足2＋y＝.
即Μ的轨迹C的方程为
2＋y2＝.
(3)由题意知直线L表示过定点T(4,0)，斜率为k的直线．结合图形(如图D131)，2＋y2＝表示的是一段关于x轴对称，起点为按逆时针方向运动到的圆弧．根据对称性，只需讨论在x轴下方的圆弧．
设P，则kPT＝＝，而当直线L与轨迹C相切时，有＝，
解得k＝±.在这里暂取k＝.
因为<，
所以kΡΤ<k.
结合图形(如图D132)，可得在x轴下方的圆弧，当0<k≤或k＝时，直线L与x轴下方的圆弧有且只有一个交点，根据对称性可知：当－≤k<0或k＝－时，直线L与x轴上方的圆弧有且只有一个交点．
当k＝0时，显然也只有一个交点．
综上所述，当－≤k≤或k＝±时，
直线L：y＝k(x－4)与曲线C只有一个交点．
图D131　 图D132
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