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课时分层作业(二十二) 简单线性规划的应用
(建议用时：60分钟)
一、选择题
1．车间有男工25人，女工20人，要组织甲、乙两种工作小组，甲组要求有5名男工，3名女工，乙组要求有4名男工，5名女工，并且要求甲种组数不少于乙组，乙种组数不少于1组，则最多各能组成工作小组为( )
A．甲4组、乙2组 B．甲2组、乙4组
C．甲、乙各3组 D．甲3组、乙2组
D [设甲、乙两种工作小组分别有x、y人，依题意有
作出可行域可知(3,2)符合题意，即甲3组，乙2组．]
2．某厂拟用集装箱托运甲、乙两种货物，集装箱的体积、质量、可获利润和托运能力限制数据列在下表中，那么为了获得最大利润，甲、乙两种货物应各托运的箱数为( )
体积(m3/箱)
质量(50 kg/箱)
利润(102元/箱)
甲
5
2
20
乙
4
5
10
托运
能力
24
13
A．4,1 B．3,2
C．1,4 D．2,4
A [设托运货物甲x箱，托运货物乙y箱，由题意，得
利润为z＝20x＋10y．
由线性规划知识可得x＝4，y＝1时利润最大，故选A．]
3．某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的倍，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得0．4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0．6万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为( )
A．36万元 B．31．2万元
C．30．4万元 D．24万元
B [设投资甲项目x万元，投资乙项目y万元，可获得利润为z万元，则
z＝0．4x＋0．6y．
由图像知，目标函数z＝0．4x＋0．6y在A点取得最大值．
∴ymax＝0．4×24＋0．6×36＝31．2(万元)．]
4．某同学拿50元钱买纪念邮票，票面8角的每套5张，票面2元的每套4张，如果每种至少买2套，问共有买法种数为( )
A．14 B．15
C．16 D．17
C [设票面8角的买x套，票面2元的买y套，由题意得
即
由25－2x≥4y≥8，得2x≤17，所以2≤x≤8，x∈N＋．当y＝2时，2≤x≤8，共7种；当y＝3时，2≤x≤6，有5种；当y＝4时，2≤x≤4，共3种；当y＝5时，x＝2，有一种．
故共有7＋5＋3＋1＝16(种)不同的买法．]
5．某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表
每亩年产量
每亩年种植成本
每吨售价
黄瓜
4吨
1．2万元
0．55万元
韭菜
6吨
0．9万元
0．3万元
为使一年的种植总利润(总利润＝总销售收入－总种植成本)最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位：亩)分别为( )
A．50,0 B．30,20
C．20,30 D．0,50
B [设黄瓜、韭菜的种植面积分别为x亩，y亩，则总利润z＝4×0．55x＋6×0．3y－1．2x－0．9y＝x＋0．9y．
此时x，y满足条件
画出可行域如图，得最优解为A(30,20)．
]
二、填空题
6．铁矿石A和B的含铁率为a，冶炼每万吨铁矿石的CO2的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表：
a
b(万吨)
c(百万元)
A
50%
1
3
B
70%
0．5
6
某冶炼厂至少要生产1．9(万吨)铁，若要求CO2的排放量不超过2(万吨)，则购买铁矿石的最少费用为 (百万元)．
15 [设购买铁矿石A、B分别为x，y万吨，购买铁矿石的费用为z(百万元)，
则
目标函数z＝3x＋6y，
由
得
可行域如图中阴影部分所示．
记P(1,2)，画出可行域可知，当目标函数z＝3x＋6y过点P(1,2)时，z取得最小值15．]
7．如图，△ABC及其内部的点组成的集合记为D，P(x，y)为D中任意一点，则z＝2x＋3y的最大值为 ．
7 [把z＝2x＋3y变形为y＝－x＋z，通过平移直线y＝－x知，
当过点A(2,1)时，
z＝2x＋3y取得最大值为zmax＝2×2＋3×1＝7．]
8．某企业拟用集装箱托运甲、乙两种产品，甲种产品每件体积为5 m3，重量为2吨，运出后，可获利润10万元；乙种产品每件体积为4 m3，重量为5吨，运出后，可获利润20万元，集装箱的容积为24 m3，最多载重13吨，装箱可获得最大利润是 ．
60万元 [设甲种产品装x件，乙种产品装y件(x，y∈N)，总利润为z万元，
则且z＝10x＋20y．作出可行域，如图中的阴影部分所示．
作直线l0：10x＋20y＝0，即x＋2y＝0．当l0向右上方平移时z的值变大，平移到经过直线5x＋4y＝24与2x＋5y＝13的交点(4,1)时，zmax＝10×4＋20×1＝60(万元)，即甲种产品装4件、乙种产品装1件时总利润最大，最大利润为60万元．]
三、解答题
9．制造甲、乙两种烟花，甲种烟花每枚含A药品3 g、B药品4 g、C药品4 g，乙种烟花每枚含A药品2 g、B药品11 g、C药品6 g．已知每天原料的使用限额为A药品120 g、B药品400 g、C药品240 g．甲种烟花每枚可获利2元，乙种烟花每枚可获利1元，问每天应生产甲、乙两种烟花各多少枚才能获利最大．
[解] 设每天生产甲种烟花x枚，乙种烟花y枚，获利为z元，则目标函数为：z＝2x＋y．
线性约束条件为作出可行域如图所示．
作直线l：2x＋y＝0，将直线l向右上方平移至l1的位置时，直线经过可行域上的点A时纵截距z最大，即z＝2x＋y取最大值．解方程组
得
故每天生产甲、乙两种烟花各24枚才能使获利最大．
10．医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐．甲种原料每10 g含5单位蛋白质和10单位铁质，售价3元；乙种原料每10 g含7单位蛋白质和4单位铁质，售价2元．若病人每餐至少需要35单位蛋白质和40单位铁质．试问：应如何使用甲、乙原料，才能既满足营养，又使费用最省？
[解] 将已知数据列成下表：
原料/10 g
蛋白质/单位
铁质/单位
甲
5
10
乙
7
4
费用
3
2
设甲、乙两种原料分别用10x g和10y g，总费用为z，那么目标函数为z＝3x＋2y，作出可行域如图所示：
把z＝3x＋2y变形为y＝－x＋，得到斜率为－，在y轴上的截距为，随z变化的一簇平行直线．
由图可知，当直线y＝－x＋经过可行域上的点A时，截距最小，即z最小．
由得A，∴zmin＝3×＋2×3＝14．4．
∴甲种原料×10＝28(g)，乙种原料3×10＝30(g)，费用最省．
1．为支援灾区人民，某单位要将捐献的100台电视机运往灾区，现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用．每辆甲型货车运输费用400元，可装电视机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装电视机10台，若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为( )
A．2 800 元 B．2 400 元
C．2 200 元 D．2 000 元
C [设调用甲型货车x辆，乙型货车y辆，则0≤x≤4，0≤y≤8,20x＋10y≥100，即2x＋y≥10，设运输费用为t，则t＝400x＋300y，线性约束条件为
作出可行域如图，
则当直线y＝－x＋经过可行域内点A(4,2)时，t取最小值2 200，故选C．]
2．某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品．甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时，可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元．乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时，可加工出4千克B产品，每千克B产品获利50元，甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为( )
A．甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱
B．甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱
C．甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱
D．甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱
B [设甲车间加工x箱原料，乙车间加工y箱原料，总获利为z，
则
目标函数z＝280x＋200y，
画出可行域，平移7x＋5y＝0，知z在点A处取得最大值，联立得
故计划甲车间15箱，乙车间55箱时，每天获利最大．]
3．某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1．5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0．5 kg，乙材料0．3 kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2 100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A，产品B的利润之和的最大值为 元．
216 000 [设生产A产品x件，B产品y件，根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件，得线性约束条件为
目标函数z＝2 100x＋900y．
作出可行域为图中的四边形，包括边界，顶点为(60,100)，(0,200)，(0,0)，(90,0)，在(60,100)处取得最大值，zmax＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)．]
4．设函数f(θ)＝sin θ＋cos θ，其中角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P(x，y)，且0≤θ≤π．若点P(x，y)为平面区域Ω：上的一个动点，则函数f(θ)的最大值和最小值分别为 ．
2,1 [作出平面区域Ω(即三角形区域ABC)，如图中阴影部分所示，其中A(1,0)，B(1,1)，C(0,1)，于是0≤θ≤．
又f(θ)＝sin θ＋cos θ＝2sin，且≤θ＋≤，故当θ＋＝，即θ＝时，f(θ)取得最大值，且最大值等于2；当θ＋＝，即θ＝0时，f(θ)取得最小值，且最小值等于1．]
5．某人有楼房一幢，室内面积共180 m2，拟分隔成两类房间作为旅游客房，大房间每间面积为18 m2，可住游客5名，每名游客每天住宿费为40元，小房间每间面积为15 m2，可住游客3名，每名游客每天住宿费为50元，装修大房间每间需要1 000元，装修小房间每间需要600元，如果此人只能筹8 000元用于装修，且游客能住满客房，他应隔出大房间和小房间各多少间，能获最大利益？
[解] 设应隔出大房间x间和小房间y间，则
即
目标函数为z＝5×40x＋3×50y，
作出约束条件可行域：
根据目标函数z＝200x＋150y，
作出一组平行线200x＋150y＝t，
当此线经过直线18x＋15y＝180和直线1 000x＋600y＝8 000的交点C时，目标函数取最大值为，
由于不是整数，所以经过整点(3,8)时，才是它的最优解，同时经过整点(0,12)也是最优解，即应隔大房间3间，小房间8间，或者隔大房间0间，小房间12间，所获利益最大．如果考虑到不同客人的需要，应隔大房间3间，小房间8间．
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