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课堂达标(三十三) 根本不等式
[A根底稳固练]
1．以下不等式一定成立的是( )
A．lg>lg x(x>0)
B．sin x＋≥2(x≠kπ，k∈Z)
C．x2＋1≥2|x|(x∈R)
D.>1(x∈R)
[解析] 当x>0时，x2＋≥2·x·＝x，所以lg≥lg x(x>0)，
应选项A不正确；
运用根本不等式时需保证“一正〞“二定〞“三相等〞，
而当x≠kπ，k∈Z时，sin x的正负不定，应选项B不正确；
由根本不等式可知，选项C正确；
当x＝0时，有＝1，应选项D不正确．
[答案] C
2．(高考湖南卷)假设实数a，b满足＋＝，那么ab的最小值为( )
A. B．2
C．2 D．4
[解析] 由＋＝知a>0，b>0，所以＝＋≥2 ，即ab≥2，当且仅当即a＝，b＝2 时取“＝〞，所以ab的最小值为2.
[答案] C
3．(2022·山东)假设a>b>0，且ab＝1，那么以下不等式成立的是( )
A．a＋<<log2(a＋b) B.<log2(a＋b)<a＋
C．a＋<log2(a＋b)< D．log2(a＋b)<a＋<
[解析] 因为a>b>0，且ab＝1，所以a>1,0<b<1，∴<1，log2(a＋b)>log22＝1,2a＋>a＋>a＋b⇒a＋>log2(a＋b)，所以选B.
[答案] B
4．(2022·湖北七市(州)协作体联考)直线ax＋by－6＝0(a>0，b>0)被圆x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为2，那么ab的最大值是( )
A．9 B.
C．4 D.
[解析] 将圆的一般方程化为标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5，圆心坐标为(1,2)，半径r＝，故直线过圆心，即a＋2b＝6，∴a＋2b＝6≥2，可得ab≤，当且仅当a＝2b＝3时等号成立，即ab的最大值是，应选B.
[答案] B
5．正数a，b满足＋＝1，假设不等式a＋b≥－x2＋4x＋18＝m对任意实数x恒成立，那么实数m的取值范围是( )
A．[3，＋∞) B．(－∞，3]
C．(－∞，6] D．[6，＋∞)
[解析] 因为a>0，b>0，＋＝1，
所以a＋b＝(a＋b)＝10＋＋≥10＋2＝16，由题意，得16≥－x2＋4x＋18－m，
即x2－4x－2≥－m对任意实数x恒成立，而x2－4x－2＝(x－2)2－6，所以x2－4x－2的最小值为－6，
所以－6≥－m，即m≥6.
[答案] D
6．(2022·吉林九校第二次联考)假设正数a，b满足＋＝1，那么＋的最小值是( )
A．1 B．6
C．9 D．16
[解析] ∵正数a，b满足＋＝1，∴b＝>0，解得a>1.同理可得b>1，所以＋＝＋＝＋9(a－1)≥2＝6，当且仅当＝9(a－1)，即a＝时等号成立，所以最小值为6.应选B.
[答案] B
7．(2022·山东省实验中学一模试卷)x＞0，y＞0，x＋2y＋2xy＝8，那么x＋2y的最小值是______．
[解] 考察根本不等式x＋2y＝8－x·(2y)≥8－2(当且仅当x＝2y时取等号)
整理得(x＋2y)2＋4(x＋2y)－32≥0
即(x＋2y－4)(x＋2y＋8)≥0，又x＋2y＞0，
所以x＋2y≥4(当且仅当x＝2y时取等号)
那么x＋2y的最小值是4.
[答案] 4
8．(2022·盐城三模)假设a，b均为非负实数，且a＋b＝1，那么＋的最小值为______．
[解析] 由题意可知：3a＋3b＝3，故：＋
＝×[(a＋2b)＋(2a＋b)]
＝
≥×＝×9＝3.
当且仅当a＝1，b＝0时等号成立．
[答案] 3
9．(高考重庆卷)设a，b>0，a＋b＝5，那么＋的最大值为______．
[解析] 令t＝＋，那么t2＝a＋1＋b＋3＋2 ＝9＋2 ≤9＋a＋1＋b＋3＝13＋a＋b＝13＋5＝18，当且仅当a＋1＝b＋3时取等号，此时a＝，b＝.所以tmax＝＝3 .
[答案] 3
10．x>0，y>0，且2x＋5y＝20.
(1)求u＝lg x＋lg y的最大值；
(2)求＋的最小值．
[解] (1)∵x>0，y>0，
∴由根本不等式，得2x＋5y≥2.
∵2x＋5y＝20，∴2≤20，xy≤10，当且仅当2x＝5y时，等号成立．因此有解得
此时xy有最大值10.
∴u＝lg x＋lg x＝lg(xy)≤lg 10＝1.
∴当x＝5，y＝2时，u＝lg x＋lg y有最大值1.
(2)∵x>0，y>0，∴＋＝·＝≥＝，当且仅当＝时，等号成立．
由解得
∴＋的最小值为.
[B能力提升练]
1．(2022·河北五校联考)设x，y满足约束条件假设目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)的最大值为12，那么＋的最小值为( )
A. B.
C. D．4
[解析] 不等式组在直角坐标系中所表示的平面区域如图中的阴影局部所示．由z＝ax＋by得y＝－x＋，当z变化时，它表示经过可行域的一组平行直线，其斜率为－，在y轴上的截距为，由图可知当直线经过点A(4,6)时，在y轴上的截距最大，从而z也最大，所以4a＋6b＝12，即2a＋3b＝6，所以＋＝·＝≥4，当且仅当a＝，b＝1时等号成立．
[答案] D
2．各项均为正数的等比数列{an}满足a7＝a6＋2a5，假设存在两项am，an使得＝4a1，那么＋的最小值为( )
A. B.
C. D.
[解析] 由各项均为正数的等比数列{an}满足a7＝a6＋2a5，可得a1q6＝a1q5＋2a1q4，所以q2－q－2＝0，
解得q＝2或q＝－1(舍去)．
因为＝4a1，所以qm＋n－2＝16，
所以2m＋2－2＝24，所以m＋n＝6.
所以＋＝(m＋n)
＝≥＝.
当且仅当＝时，等号成立，
又m＋n＝6，解得m＝2，n＝4，符合题意．
故＋的最小值等于.
[答案] A
3．(2022·潍坊模拟)a，b为正实数，直线x＋y＋a＝0与圆(x－b)2＋(y－1)2＝2相切，那么的取值范围是______．
[解析] ∵x＋y＋a＝0与圆(x－b)2＋(y－1)2＝2相切，
∴d＝＝，∴a＋b＋1＝2，即a＋b＝1，
∴＝＝
＝(b＋1)＋－4≥2－4＝0.
又∵a，b为正实数，∴的取值范围是(0，＋∞)．
[答案] (0，＋∞)
4．(2022·南昌二模)网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内，成为商业的一个主要开展方向．某品牌行车记录仪支架销售公司从2022年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式．根据几个月运营发现，产品的月销量x万件与投入实体店体验安装的费用t万元之间满足x＝3－函数关系式．网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，假设每件产品的售价定为“进货价的150%〞与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半〞之和，那么该公司最大月利润是______万元．
[解析] 利润等于收入减本钱，
所以y＝·x－32x－t－3＝16x－－3
＝16x＋－3＝16(x－3)＋＋48－2.5
因为x＝3－<3，所以原式x－3<0，
可化简为y＝－＋45.5，
而16(3－x)＋≥2＝8，
那么－＋45.5≤－8＋45.5＝37.5，等号成立的条件是16(3－x)＝⇒x＝2.5，
所以该公司的最大利润是37.5，
故填：37.5.
[答案] 37.5
5．(2022·常州期末调研)某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，方案利用学校空地建造一间室内面积为900 m2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1 m，三块矩形区域的前、后与内墙各保存1 m宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保存3 m宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为x(单位：m)，三块种植植物的矩形区域的总面积为S(单位：m2)．
(1)求S关于x的函数关系式；
(2)求S的最大值．
[解] (1)由题设，得S＝(x－8)
＝－2x－＋916，x∈(8,450)．
(2)因为8<x<450，所以2x＋≥2 ＝240，当且仅当x＝60时等号成立，从而S≤676.
故当矩形温室的室内长为60 m时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，最大为676 m2.
[C尖子生专练]
某食品厂定期购置面粉，该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1 800元，面粉的保管等其他费用平均每吨 每天3元，购置面粉每次需支付运费900元．
(1)求该厂多少天购置一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？
(2)某提供面粉的公司规定：当一次购置面粉不少于210吨时，其价格可享受9折优惠，问该厂是否考虑利用此优惠条件？请说明理由．
[解] (1)设该厂应每隔x天购置一次面粉，其购置量为6x吨，由题意可知，面粉的保管等其他费用为3[6x＋6(x－1)＋6(x－2)＋…＋6×1]＝9x(x＋1)，
设平均每天所支付的总费用为y1元，
那么y1＝＋1 800×6
＝＋9x＋10 809≥2＋10 809
＝10 989，
当且仅当9x＝，即x＝10时取等号．
即该厂应每隔10天购置一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少．
(2)因为不少于210吨，每天用面粉6吨，所以至少每隔35天购置一次面粉．
设该厂利用此优惠条件后，每隔x(x≥35)天购置一次面粉，平均每天支付的总费用为y2元，
那么y2＝[9x(x＋1)＋900]＋6×1 800×0.90
＝＋9x＋9 729(x≥35)．
令f(x)＝x＋(x≥35)，x2>x1≥35，
那么f(x1)－f(x2)＝－
＝.∵x2>x1≥35，
∴x2－x1>0，x1x2>0,100－x1x2<0，
故f(x1)－f(x2)<0，f(x1)<f(x2)，
即f(x)＝x＋，
当x≥35时为增函数．
那么当x＝35时，
f(x)有最小值，此时y2<10 989.
因此该厂应接受此优惠条件．
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