2022-2022学年高中数学课时作业6圆的极坐标方程北师大版选修4-.doc

课时作业(六)
1．下列点不在曲线ρ＝cosθ上的是(　　)
A．(，)　　　　　　　　 B．(－，π)
C．(，－) D．(，－π)
答案　D
2．极坐标方程ρ＝1(0≤θ≤π)表示(　　)
A．直线 B．射线
C．圆 D．半圆
答案　D
3．极坐标方程(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)表示的图形是(　　)
A．两个圆 B．两条直线
C．一个圆和一条射线 D．一条直线和一条射线
答案　C
解析　原方程等价于ρ＝1或θ＝π，ρ＝1为圆，θ＝π为射线．
4．极坐标方程ρ＝cosθ(－≤θ≤)表示的曲线是(　　)
A．圆 B．半圆
C．射线 D．直线
答案　A
5．圆心在(1，0)且过极点的圆的极坐标方程为(　　)
A．ρ＝1 B．ρ＝cosθ
C．ρ＝2cosθ D．ρ＝2sinθ
答案　C
6．在极坐标系中，圆心在(，π)且过极点的圆的方程为(　　)
A．ρ＝2cosθ B．ρ＝－2cosθ
C．ρ＝2sinθ D．ρ＝－2sinθ
答案　B
7．以极坐标系中的点(1，1)为圆心，1为半径的圆的方程是(　　)
A．ρ＝2cos(θ－) B．ρ＝2sin(θ－)
C．ρ＝2cos(θ－1) D．ρ＝2sin(θ－1)
答案　C
解析　在极坐标系中，圆心在(ρ0，θ0)，半径为r的圆的方程为r2＝ρ02＋ρ2－2ρρ0cos(θ－θ0)，所以可得ρ＝2cos(θ－1)．
8．极坐标方程分别是ρ＝cosθ和ρ＝sinθ的两个圆的圆心距是(　　)
A．2 B.
C．1 D.
答案　D
9．在极坐标中，圆ρ＝2cosθ的垂直于极轴的两条切线方程分别为(　　)
A．θ＝0(ρ∈R)，ρcosθ＝2 B．θ＝(ρ∈R)，ρcosθ＝2
C．θ＝(ρ∈R)，ρcosθ＝1 D．θ＝0(ρ∈R)，ρcosθ＝1
答案　B
解析　由ρ＝2cosθ可得圆的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，所以垂直于x轴的两条切线的直角坐标方程分别为x＝0和x＝2，即所求垂直于极轴的两条切线方程分别为θ＝(ρ∈R)和ρcosθ＝2，故选B.
10．在极坐标方程中，曲线C的方程是ρ＝4sinθ，过点(4，)作曲线C的切线，则切线长为(　　)
A．4 B.
C．2 D．2
答案　C
解析　ρ＝4sinθ化为普通方程为x2＋(y－2)2＝4，点(4，)的直角坐标是A(2，2)，圆心到定点的距离及半径为构成直角三角形．
由勾股定理：切线长为＝2.
11．在极坐标系中，下列点在曲线ρ＝4sin(θ－)上的是________．
①(2，)；②(2，)；③(2，)；④(－4，－)．
答案　③④
解析　把(2，)代入曲线极坐标方程，因为4sin(θ－)＝4sin(－)＝2，则(2，)在曲线上；把(－4，－)代入曲线极坐标方程，因为4sin(θ－)＝4sin(－－)＝－4，则(－4，－)在曲线上．
12．在极坐标系中，圆ρ＝(cosθ＋sinθ)的圆心坐标是________．
答案　(1，)
解析　把圆的极坐标方程ρ＝(cosθ＋sinθ)两边都乘ρ，得ρ2＝ρcosθ＋ρsinθ，
则圆的直角坐标方程为x2＋y2＝x＋y，即(x－)2＋(y－)2＝1，故得圆心的直角坐标为(，)，化为极坐标是(1，)．
13．在极坐标系中，以点P(－1，)为圆心，且过极点的圆的极坐标方程是________．
答案　ρ＝2sinθ
解析　极坐标(1，)与点P(－1，)表示相同的点，如图A(2，)是圆与过极点垂直于极轴的直线的交点，设M(ρ，θ)是圆上任意一点，连接OM和MA，则OM⊥MA.
在Rt△OAM中，用|OM|＝|OA|cos∠AOM，即ρ＝2cos(－θ)，
∴所求圆的极坐标方程为ρ＝2sinθ.
14．(2015·江苏)已知圆C的极坐标方程为ρ2＋2ρsin(θ－)－4＝0，求圆C的半径．
解析　以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O，以极轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系xOy.
圆C的极坐标方程为ρ2＋2ρsin(θ－)－4＝0，化简得ρ2＋2ρsinθ－2ρcosθ＝4.令y＝ρsinθ，x＝ρcosθ，得x2＋y2－2x＋2y－4＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝6，所以圆C的半径为.
15．圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ＝4cosθ，ρ＝－4sinθ.
(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)求经过圆O1，圆O2交点的直线的极坐标方程．
解析　(1)由ρ＝4cosθ得ρ2＝4ρcosθ，
所以x2＋y2＝4x，即圆O1的直角坐标方程为x2＋y2－4x＝0，
同理圆O2的直角坐标方程为x2＋y2＋4y＝0.
(2)由解得或
即圆O1和圆O2交于点(0，0)和(2，－2)，则tanθ＝＝－1，则θ＝或θ＝， 即过圆O1和圆O2交点的直线的极坐标方程为θ＝或θ＝.
16．在极坐标系中，已知直线l的极坐标方程为ρsin(θ＋)＝1，圆C的圆心是C(1，)，半径为1.
(1)求圆C的极坐标方程；
(2)求直线l被圆C所截得的弦长．
解析　(1)设O为极点，OD为圆C的直径，A(ρ，θ)为圆C上的一个动点，则∠AOD＝－θ或∠AOD＝θ－，
|OA|＝|OD|cos(－θ)或|OA|＝|OD|cos(θ－)．
所以圆C的极坐标方程为ρ＝2cos(θ－)．
(2)直线l的直角坐标方程为x＋y－＝0，
圆心C的直角坐标为(，)，
故C点满足直线l的方程，则直线l经过圆C的圆心，
故直线被圆所截得的弦长为直径为2.
1．圆ρ＝2sinθ的圆心的极坐标是(　　)
A．(0，0) B．(1，0)
C．(1，) D．(，1)
答案　C
2．在极坐标系中，曲线θ＝0(ρ≥0)，θ＝(ρ≥0)和ρ＝4(0≤θ≤)所围成图形的面积是(　　)
A．16π B．8π
C．4π D．2π
答案　C
3．直线ρcosθ＝6与极轴所在直线的交点的极坐标是________(ρ>0，θ∈[0，2π))．
答案　(6，0)
4．在极坐标系中，已知圆C的方程为ρ＝2cosθ，则点(1，－)________圆C上．(填“在”或“不在”)
答案　在
解析　点坐标代入方程ρ＝2cosθ检验，点(1，－)满足方程．
5．在极坐标系中，圆心在点C(2，)处，且过极点的圆的极坐标方程是________．
答案　ρ＝－4sinθ
解析　如图，A(4，)是圆与过极点垂直于极轴的直线的交点，设M(ρ，θ)是圆上任意一点，连接OM和MA，则OM⊥MA.
在Rt△OAM中，有|OM|＝|OA|cos∠AOM，即ρ＝4cos(θ－)，
∴所求圆的极坐标方程为ρ＝－4sinθ.
6．在极坐标中，若直线ρcosθ＝3交曲线ρ＝4cosθ于A、B两点，则|AB|＝________．
答案　2
7．求以C(4，)为圆心，半径等于4的圆的极坐标方程．
解析　设P(ρ，θ)为圆C上任意一点(不与O、A点重合)，圆C交过极点且垂直于极轴的直线于另一点A，则|OA|＝8，在Rt△AOP中，|OP|＝|OA|sinθ，即ρ＝8sinθ，经验证点O、点A也满足该等式，所以ρ＝8sinθ.这就是圆C的极坐标方程．