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质量检测(二)
(时间90分钟 满分120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在五边形ABCDE中(如图)，＋－＝( )
A. B.
C. D.
[解析] ＋－＝＋＝.
[答案] B
2．已知平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b＝( )
A．(－5，－10) B．(－4，－8)
C．(－3，－6) D．(－2，－4)
[解析] ∵a∥b，∴－＝，∴m＝－4，
∴b＝(－2，－4)，
∴2a＋3b＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)．
[答案] B
3．若M是△ABC的重心，则下列各向量中与共线的是( )
A.＋＋ B.＋＋
C.＋＋ D．3＋
[解析] 由题意知＋＋＝0，∵0∥，∴选C.(注意利用结论：在△ABC中，对△ABC的重心M有＋＋＝0)
[答案] C
4．已知平面向量a＝(1，－3)，b＝(4，－2)，若λa＋b与a垂直，则λ的值是( )
A．－1 B．1 C．－2 D．2
[解析] 由题意可知(λa＋b)·a＝λa2＋b·a＝0.
∵|a|＝，a·b＝1×4＋(－3)×(－2)＝10，
∴10λ＋10＝0，λ＝－1.
[答案] A
5．若|a|＝，|b|＝2，且(a－b)⊥a，则a与b的夹角是( )
A. B. C. D.
[解析] 由于(a－b)⊥a，所以(a－b)·a＝0，即|a|2－a·b＝0，所以a·b＝|a|2＝2，所以cos〈a，b〉＝＝＝，即a与b的夹角是.
[答案] B
6．在△ABC中，(＋)·＝||2，则△ABC的形状一定是( )
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
[解析] 由(＋)·＝||2，得·(＋－)＝0，即·(＋＋)＝0，
∴2·＝0，∴⊥，∴A＝90°.故选C.
[答案] C
7．P是△ABC所在平面上一点，若·＝·＝·，则P是△ABC的( )
A．内心 B．外心
C．垂心 D．重心
[解析] ∵·＝·，
∴·(－)＝0，
∴·＝0，∴⊥.
同理⊥，⊥，∴P是△ABC的垂心．
[答案] C
8．平面向量a＝(x，－3)，b＝(－2,1)，c＝(1，y)，若a⊥(b－c)，b∥(a＋c)，则b与c的夹角为( )
A．0 B. C. D.
[解析] 由题意知b－c＝(－3,1－y)，
a＋c＝(x＋1，y－3)，
依题意得
解得∴c＝(1,2)，
而b·c＝－2×1＋1×2＝0，
∴b⊥c.
[答案] C
9．已知AD，BE分别为△ABC的边BC，AC上的中线，设＝a，＝b，则等于( )
A.a＋b
B.a＋b
C.a－b
D．－a＋b
[解析] 由题意得＝(＋)，
所以2＝＋，①
同理得2＝＋＝－＋(－)
＝－2＋，
即2＝－2＋.②
①×2＋②得4＋2＝3，
即4b＋2a＝3，
所以＝a＋b.选B.
[答案] B
10．已知向量m＝(a，b)，n＝(c，d)，p＝(x，y)，定义新运算m⊗n＝(ac＋bd，ad＋bc)，其中等式右边是通常的加法和乘法运算．如果对于任意向量m都有m⊗p＝m成立，则向量p为( )
A．(1,0) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(0，－1)
[解析] 因为m⊗p＝m，
即(a，b)⊗(x，y)＝(ax＋by，ay＋bx)＝(a，b)，
所以即
由于对任意m＝(a，b)，
都有(a，b)⊗(x，y)＝(a，b)成立．
所以解得
所以p＝(1,0)．故选A.
[答案] A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)
11．在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若·＝1，则AB的长为________．
[解析] 设||＝x，x>0，
则·＝x.
又·＝(＋)·(－)
＝1－x2＋x＝1，
解得x＝，即AB的长为.
[答案]
12．设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝________.
[解析] ∵λa＋b与a＋2b平行，
∴λa＋b＝t(a＋2b)＝ta＋2tb
∴∴
[答案]
13．如图，在平行四边形中，已知AB＝8，AD＝5，＝3，·＝2，则·的值是________．
[解析] ·＝(＋)·(＋)
＝(＋)·(－)
＝2－2＋·
＝25－×64－·
＝13－·＝2，
故·＝22.
[答案] 22
14．如图所示，设P，Q为△ABC内的两点，且＝＋，＝＋，则△ABP的面积与△ABQ的面积之比为________．
[解析] 根据题意，设＝，＝，则＝＋，且四边形AMPN为平行四边形，所以NP∥AB，所以＝＝.同理可得＝.故＝.
[答案] 4∶5
三、解答题(本大题共4小题，共50分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15．(12分)已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为60°，c＝5a＋3b，d＝3a＋kb，当实数k为何值时，
(1)c∥d；(2)c⊥d.
[解] 由题意得a·b＝|a||b|cos60°＝2×3×＝3.
(1)当c∥d，c＝λd，则5a＋3b＝λ(3a＋kb)．
∴3λ＝5，且kλ＝3，∴k＝.
(2)当c⊥d时，c·d＝0，则(5a＋3b)·(3a＋kb)＝0.
∴15a2＋3kb2＋(9＋5k)a·b＝0，
∴k＝－.
16．(12分)(1)在直角三角形ABC中，C＝90°，AB＝5，AC＝4，求·；
(2)已知向量＝(3,1)，＝(－1，a)，a∈R.若△ABC为直角三角形，求a的值．
[解] (1)在△ABC中，C＝90°，AB＝5，AC＝4，
故BC＝3，且cos∠ABC＝，
与的夹角θ＝π－∠ABC，
∴·＝－||||cos∠ABC＝－5×3×＝－9.
(2)∵△ABC是直角三角形，
∴A＝90°或B＝90°或C＝90°.
当A＝90°时，由⊥，得3×(－1)＋1·a＝0，
∴a＝3；
当B＝90°时，＝－
＝(－4，a－1)，
由⊥，得3×(－4)＋1·(a－1)＝0，
∴a＝13；
当C＝90°时，由⊥，得
－1×(－4)＋a·(a－1)＝0，
即a2－a＋4＝0，
∵a∈R，∴方程a2－a＋4＝0无解．
综上所述，a＝3或13.
17．(12分)已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61，
(1)求a与b的夹角θ；
(2)求|a＋b|；
(3)若＝a，＝b，求△ABC的面积．
[解] (1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61，
∴4|a|2－4a·b＋3|b|2＝61，
又|a|＝4，|b|＝3，
∴64－4a·b－27＝61，
∴a·b＝－6.
∴cosθ＝＝＝－.
又0≤θ≤π，∴θ＝.
(2)可先平方转化为向量的数量积．
|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2
＝42＋2×(－6)＋32＝13，
∴|a＋b|＝.
(3)∵与的夹角θ＝，
∴∠ABC＝π－＝.
又||＝|a|＝4，||＝|b|＝3，
∴S△ABC＝||||sin∠ABC＝×4×3×＝3.
18．(14分)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量a＝(－1,2)，又点A(8,0)，B(n，t)，C(ksinθ，t).
(1)若⊥a，且||＝||，求向量；
(2)若向量与向量a共线，当k>4，且tsinθ取最大值4时，求·.
[解] (1)由题设知＝(n－8，t)，∵⊥a，∴8－n＋2t＝0.
又∵||＝||，∴5×64＝(n－8)2＋t2＝5t2.解得t＝±8.
当t＝8时，n＝24；当t＝－8时，n＝－8，
∴＝(24,8)或＝(－8，－8)．
(2)由题设知＝(ksinθ－8，t)．
∵与a共线，∴t＝－2ksinθ＋16，
∴tsinθ＝(－2ksinθ＋16)sinθ＝－2k2＋.
∵k>4，∴0<<1，∴当sinθ＝时，tsinθ取得最大值.
由＝4，得k＝8，此时θ＝，＝(4,8)．
∴·＝(8,0)·(4,8)＝32.
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