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章末综合测评(二) 基本初等函数(Ⅰ)
(满分：150分 时间：120分钟)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若a<，则化简的结果是( )
A. B．－
C. D．－
C [∵a<，∴2a－1<0.
于是，原式＝＝.]
2．计算：log225·log52＝( )
A．3 B．4
C．5 D．6
A [log225·log52＝·＝＝2×＝3.]
3．函数y＝·ln(2－x)的定义域为( )
A．(1,2) B．[1,2)
C．(1,2] D．[1,2]
B [要使解析式有意义，则
解得1≤x<2，所以所求函数的定义域为[1,2)．]
4．下列幂函数中过点(0,0)，(1,1)的偶函数是( )
A．y＝x B．y＝x4
C．y＝x－2 D．y＝x
B [对A，y＝x的定义域为[0，＋∞)，不是偶函数；C中，y＝x－2不过(0,0)点，D中，y＝x是奇函数，B中，y＝x4满足条件．]
5．在同一直角坐标系中，函数f(x)＝xa(x≥0)，g(x)＝logax的图象可能是( )
D [法一(排除法)：当a>1时，y＝xa与y＝logax均为增函数，但y＝xa递增较快，排除C；当0<a<1时，y＝xa为增函数，y＝logax为减函数，排除A.由于y＝xa递增较慢，所以选D.
法二(直接法)：幂函数f(x)＝xa的图象不过(0,1)点，故A错；B项中由对数函数f(x)＝logax的图象知0<a<1，而此时幂函数f(x)＝xa的图象应是增长越来越慢的变化趋势，故B错，D对；C项中由对数函数f(x)＝logax的图象知a>1，而此时幂函数f(x)＝xa的图象应是增长越来越快的变化趋势，故C错．]
6．若loga3＝m，loga5＝n，则a2m＋n的值是( )
A．15 B．75
C．45 D．225
C [由loga3＝m，得am＝3，
由loga5＝n，得an＝5，
∴a2m＋n＝(am)2·an＝32×5＝45.]
7．函数f(x)＝的图象( )
A．关于原点对称 B．关于直线y＝x对称
C．关于x轴对称 D．关于y轴对称
D [易知f(x)的定义域为R，关于原点对称．
∵f(－x)＝＝＝f(x)，
∴f(x)是偶函数，其图象关于y轴对称．]
8．若loga(a2＋1)<loga2a<0，则a的取值范围是( )
A．(0,1) B.
C. D．(0,1)∪(1，＋∞)
C [由题意得a>0且a≠1，故必有a2＋1>2a.
又loga(a2＋1)<loga2a<0，所以0<a<1，
同时2a>1，∴a>，
综上，a∈.]
A．a>b>c B．b>a>c
C．a>c>b D．c>a>b
C [c＝，只需比较log23.4，log43.6，log3的大小，又0<log43.6<1，log23.4>log33.4>log3>1，所以a>c>b.]
10．函数f(x)＝a|x＋1|(a>0，且a≠1)的值域为[1，＋∞)，则f(－4)与f(1)的关系是( )
A．f(－4)＝f(1) B．f(－4)>f(1)
C．f(－4)<f(1) D．不能确定
B [因为函数f(x)＝a|x＋1|(a>0，且a≠1)的值域为[1，＋∞)，所以a>1，又函数f(x)＝a|x＋1|(a>0，且a≠1)的图象关于直线x＝－1对称，所以f(－4)>f(1)．]
11．已知函数f(x)＝满足对任意的实数x1≠x2都有<0成立，则实数a的取值范围为( )
A．(－∞，2) B.
C．(－∞，2] D.
B [由题意知函数f(x)是R上的减函数，于是有由此解得a≤，即实数a的取值范围是，选B.]
12．函数f(x)＝ax5－bx＋1，若f(lg(log510))＝5，则f(lg(lg 5))的值为( )
A．－3 B．5
C．－5 D．－9
A [lg(log510)＝lg＝－lg(lg 5)，
设t＝lg(lg 5)，
则f(lg(log510))＝f(－t)＝5.
因为f(x)＝ax5－bx＋1，
所以f(－t)＝－at5＋bt＋1＝5，
则f(t)＝at5－bt＋1，
两式相加得f(t)＋5＝2，
则f(t)＝2－5＝－3，
即f(lg(lg 5))的值为－3.]
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．函数f(x)＝ax－1＋3的图象一定过定点P，则P点的坐标是________．
(1,4) [由于函数y＝ax恒过(0,1)，而y＝ax－1＋3的图象可看作由y＝ax的图象向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到的，则P点坐标为(1,4)．]
14．函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是________．
[函数f(x)的定义域为，
令t＝2x＋1(t>0)．
因为y＝log5t在t∈(0，＋∞)上为增函数，
t＝2x＋1在上为增函数，所以函数y＝log5(2x＋1)的单调增区间为.]
15．若f(x)＝为R上的奇函数，则实数a的值为________．
[因为f(x)＝为R上的奇函数，所以f(0)＝0，即＝0，所以a＝.]
16．已知125x＝12.5y＝1 000，则＝________.
[因为125x＝12.5y＝1 000，所以x＝log125 1 000，y＝log12.5 1 000，＝－＝log1 000 125－log1 000 12.5＝
log1 000＝log1 000 10＝.]
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
18．(本小题满分12分)已知指数函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)过点(－2,9)．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若f(2m－1)－f(m＋3)<0，求实数m的取值范围．
[解] (1)将点(－2,9)代入f(x)＝ax(a>0，a≠1)得a－2＝9，解得a＝，∴f(x)＝.
(2)∵f(2m－1)－f(m＋3)<0，
∴f(2m－1)<f(m＋3)．
∵f(x)＝为减函数，
∴2m－1>m＋3，解得m>4，
∴实数m的取值范围为(4，＋∞)．
19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝且关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，求实数a的取值范围．
[解] 如图，在同一坐标系中分别作出y＝f(x)与y＝－x＋a的图象，其中a表示直线在y轴上的截距，由图可知，当a＞1时，直线y＝－x＋a与y＝log2x只有一个交点．所以实数a的取值范围是(1，＋∞)．
20．(本小题满分12分)已知1≤x≤4，求函数f(x)＝log2·log2的最大值与最小值．
[解] ∵f(x)＝log2·log2
＝(log2x－2)(log2x－1)
＝－，
又∵1≤x≤4，∴0≤log2x≤2，
∴当log2x＝，即x＝2＝2时，
f(x)有最小值－.
当log2x＝0时，f(x)有最大值2，此时x＝1.
即函数f(x)的最大值是2，最小值是－.
21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝loga(x－1)，g(x)＝loga(3－x)(a＞0且a≠1)．
(1)求函数h(x)＝f(x)－g(x)的定义域；
(2)利用对数函数的单调性，讨论不等式f(x)≥g(x)中x的取值范围．
[解] (1)由得1＜x＜3，
∴函数h(x)的定义域为(1,3)．
(2)不等式f(x)≥g(x)，
即为loga(x－1)≥loga(3－x)．(*)
①当0＜a＜1时，不等式(*)等价于
解得1＜x≤2.
②当a＞1时，不等式(*)等价于
解得2≤x＜3.
综上，当0＜a＜1时，原不等式解集为(1,2]；
当a＞1时，原不等式解集为[2,3)．
22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝lg.
(1)求证：f(x)是奇函数；
(2)求证：f(x)＋f(y)＝f；
(3)若f＝1，f＝2，求f(a)，f(b)的值．
[解] (1)证明：由函数f(x)＝lg，可得>0，即<0，解得－1<x<1，故函数的定义域为(－1,1)，关于原点对称．再根据f(－x)＝lg＝－lg＝－f(x)，可得f(x)是奇函数．
(2)证明：f(x)＋f(y)＝lg＋lg ＝lg ，
而f＝lg
＝lg＝lg，
∴f(x)＋f(y)＝f成立．
(3)若f＝1，f＝2，
则由(2)可得f(a)＋f(b)＝1，f(a)－f(b)＝2，
解得f(a)＝，f(b)＝－.
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