资源描述
指数与指数函数
建议用时：45分钟
一、选择题
1．设a＞0，将表示成分数指数幂的形式，其结果是( )
2．已知函数f(x)＝4＋2ax－1的图象恒过定点P，则点P的坐标是( )
A．(1,6) B．(1,5)
C．(0,5) D．(5,0)
A [由于函数y＝ax的图象过定点(0,1)，
当x＝1时，f(x)＝4＋2＝6，
故函数f(x)＝4＋2ax－1的图象恒过定点P(1,6)．]
3．(2020·泰州中学模拟)已知函数f(x)＝m·9x－3x，若存在非零实数x0，使得f(－x0)＝f(x0)成立，则实数m的取值范围是( )
A. B.
C．(0,2) D．[2，＋∞)
B [由题意得到f(－x)＝f(x)，所以m·9－x－3－x＝m·9x－3x，整理得：m＝＝＜，
又m＞0，所以实数m的取值范围是0＜m＜，故选B. ]
4．函数y＝(0＜a＜1)的图象的大致形状是( )
A B
C D
D [函数的定义域为{x|x≠0}，所以y＝＝当x＞0时，函数是指数函数y＝ax，其底数0＜a＜1，所以函数递减；当x＜0时，函数y＝－ax的图象与指数函数y＝ax(0＜a＜1)的图象关于x轴对称，所以函数递增，所以应选D.]
5．已知函数f(x)＝则函数f(x)是( )
A．偶函数，在[0，＋∞)上单调递增
B．偶函数，在[0，＋∞)上单调递减
C．奇函数，且单调递增
D．奇函数，且单调递减
C [易知f(0)＝0，当x＞0时，f(x)＝1－2－x，－f(x)＝2－x－1，此时－x＜0，则f(－x)＝2－x－1＝－f(x)；当x＜0时，f(x)＝2x－1，－f(x)＝1－2x，此时，－x＞0，则f(－x)＝1－2－(－x)＝1－2x＝－f(x)．即函数f(x)是奇函数，且单调递增，故选C.]
二、填空题
6．若函数f(x)＝a|2x－4|(a＞0，a≠1)满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是________．
[2，＋∞) [由f(1)＝得a2＝，
所以a＝或a＝－(舍去)，即f(x)＝
由于y＝|2x－4|在(－∞，2]上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增，
所以f(x)在(－∞，2]上单调递增，在[2，＋∞)上单调递减．]
7．不等式的解集为________．
(－1,4) [原不等式等价为
又函数y＝2x为增函数，∴－x2＋2x＞－x－4，
即x2－3x－4＜0，∴－1＜x＜4.]
8．若直线y1＝2a与函数y2＝|ax－1|(a＞0且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是________．
[(数形结合法)当0＜a＜1时，作出函数y2＝|ax－1|的图象，
由图象可知0＜2a＜1，
∴0＜a＜；
同理，当a＞1时，解得0＜a＜，与a＞1矛盾．
综上，a的取值范围是.]
三、解答题
9．已知函数f(x)＝
(1)若a＝－1，求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)有最大值3，求a的值；
(3)若f(x)的值域是(0，＋∞)，求a的值．
[解](1)当a＝－1时，f(x)＝
令u＝－x2－4x＋3＝－(x＋2)2＋7.
则u在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，
而y＝在R上单调递减，所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f(x)的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．
(2)令h(x)＝ax2－4x＋3，则f(x)＝，由于f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值－1.
因此必有解得a＝1，
即当f(x)有最大值3时，a的值为1.
(3)由f(x)的值域是(0，＋∞)知，函数y＝ax2－4x＋3的值域为R，则必有a＝0.
10．已知函数f(x)＝b·ax(其中a，b为常量，且a＞0，a≠1)的图象经过点A(1,6)，B(3,24)．
(1)求f(x)的表达式；
(2)若不等式＋－m≥0在(－∞，1]上恒成立，求实数m的取值范围．
[解](1)因为f(x)的图象过A(1,6)，B(3,24)，
所以
所以a2＝4，又a＞0，所以a＝2，b＝3.
所以f(x)＝3·2x.
(2)由(1)知a＝2，b＝3，则x∈(－∞，1]时，＋－m≥0恒成立，即m≤＋在(－∞，1]上恒成立．
又因为y＝与y＝均为减函数，所以y＝＋也是减函数，所以当x＝1时，y＝＋有最小值.所以m≤.即m的取值范围是.
1.已知a，b∈(0,1)∪(1，＋∞)，当x＞0时，1＜bx＜ax，则( )
A.0＜b＜a＜1
B．0＜a＜b＜1
C.1＜b＜a
D．1＜a＜b
C [∵当x＞0时，1＜bx，∴b＞1.,∵当x＞0时，bx＜ax，∴当x＞0时，＞1.
∴＞1，∴a＞b.∴1＜b＜a，故选C.]
2．设f(x)＝ex,0＜a＜b，若p＝f()，q＝f，r＝，则下列关系式中正确的是( )
A．q＝r＜p B．p＝r＜q
C．q＝r＞p D．p＝r＞q
C [∵0＜a＜b，∴＞，又f(x)＝ex在(0，＋∞)上为增函数，∴f＞f()，即q＞p.又r＝＝＝＝q，故q＝r＞p.故选C.]
3．(2020·苏州模拟)已知定义在R上的函数g(x)＝2x＋2－x＋|x|，则满足g(2x－1)＜g(3)的x的取值范围是________．
(－1,2) [∵g(x)＝2x＋2－x＋|x|，∴g(－x)＝2x＋2－x＋|－x|＝2x＋2－x＋|x|＝g(x)，则函数g(x)为偶函数，当x≥0时，g(x)＝2x＋2－x＋x，则g′(x)＝(2x－2－x)·ln 2＋1＞0，则函数g(x)在[0，＋∞)上为增函数，而不等式g(2x－1)＜g(3)等价于g(|2x－1|)＜g(3)，∴|2x－1|＜3，即－3＜2x－1＜3，解得－1＜x＜2，即x的取值范围是(－1,2). ]
4．已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数．
(1)求a，b的值；
(2)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0恒成立，求k的取值范围．
[解](1)因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，即＝0，解得b＝1，
所以f(x)＝.
又由f(1)＝－f(－1)知＝－，
解得a＝2.
(2)由(1)知f(x)＝＝－＋，
由上式易知f(x)在R上为减函数，又因为f(x)是奇函数，从而不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0等价于f(t2－2t)＜－f(2t2－k)＝f(－2t2＋k)．
因为f(x)是R上的减函数，由上式推得t2－2t＞－2t2＋k.
即对一切t∈R有3t2－2t－k＞0，
从而Δ＝4＋12k＜0，解得k＜－.
故k的取值范围为.
1．设y＝f(x)在(－∞，1]上有定义，对于给定的实数K，定义fK(x)＝给出函数f(x)＝2x＋1－4x，若对于任意x∈(－∞，1]，恒有fK(x)＝f(x)，则( )
A．K的最大值为0
B．K的最小值为0
C．K的最大值为1
D．K的最小值为1
D [根据题意可知，对于任意x∈(－∞，1]，若恒有fK(x)＝f(x)，则f(x)≤K在x≤1上恒成立，即f(x)的最大值小于或等于K即可．
令2x＝t，则t∈(0,2]，f(t)＝－t2＋2t＝－(t－1)2＋1，可得f(t)的最大值为1，所以K≥1，故选D.]
2．已知函数f(x)＝－＋3(－1≤x≤2)．
(1)若λ＝，求函数f(x)的值域；
(2)若函数f(x)的最小值是1，求实数λ的值．
[解](1)f(x)＝－＋3
＝－2λ·＋3(－1≤x≤2)．
设t＝，得g(t)＝t2－2λt＋3.
当λ＝时，g(t)＝t2－3t＋3
＝＋.
所以g(t)max＝g＝，g(t)min＝g＝.
所以f(x)max＝，f(x)min＝，
故函数f(x)的值域为，.
(2)由(1)得g(t)＝t2－2λt＋3
＝(t－λ)2＋3－λ2，
①当λ≤时，g(t)min＝g＝－＋，
令－＋＝1，得λ＝＞，不符合，舍去；
②当＜λ≤2时，g(t)min＝g(λ)＝－λ2＋3，
令－λ2＋3＝1，
得λ＝；
③当λ＞2时，g(t)min＝g(2)＝－4λ＋7，
令－4λ＋7＝1，
得λ＝＜2，不符合，舍去．
综上所述，实数λ的值为.
展开阅读全文
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
