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函数与方程
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一、选择题
1．设f(x)＝ln x＋x－2，则函数f(x)的零点所在的区间为( )
A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)
B [∵f(1)＝ln 1＋1－2＝－1＜0，f(2)＝ln 2＞0，
∴f(1)·f(2)＜0，
∵函数f(x)＝ln x＋x－2的图象是连续的，且为增函数，
∴f(x)的零点所在的区间是(1,2)．]
2．函数f(x)＝的零点个数为( )
A．3 B．2
C．7 D．0
B [法一：(直接法)由f(x)＝0得
或
解得x＝－2或x＝e.
因此函数f(x)共有2个零点．
法二：(图象法)函数f(x)的图象如图所示，由图象知函数f(x)共有2个零点．]
3．已知a是函数f(x)＝2x－logx的零点，若0＜x0＜a，则f(x0)的值满足( )
A．f(x0)＝0 B．f(x0)＞0
C．f(x0)＜0 D．f(x0)的符号不确定
C [f(x)在(0，＋∞)上是增函数，
若0＜x0＜a，
则f(x0)＜f(a)＝0.]
4．已知函数f(x)＝x－(x＞0)，g(x)＝x＋ex，h(x)＝x＋ln x的零点分别为x1，x2，x3，则( )
A．x1＜x2＜x3 B．x2＜x1＜x3
C．x2＜x3＜x1 D．x3＜x1＜x2
C [作出y＝x与y1＝，y2＝－ex，y3＝－ln x的图象如图所示，可知选C.
]
5．(2019·长沙模拟)已知函数f(x)＝则使方程x＋f(x)＝m有解的实数m的取值范围是( )
A．(1,2) B．(－∞，－2]
C．(－∞，1)∪(2，＋∞) D．(－∞，1]∪[2，＋∞)
D [当x≤0时，x＋f(x)＝m，即x＋1＝m，解得m≤1；当x＞0时，x＋f(x)＝m，即x＋＝m，解得m≥2，即实数m的取值范围是(－∞，1]∪[2，＋∞)．故选D.]
二、填空题
6．函数f(x)＝ax＋1－2a在区间(－1,1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是________．
[∵函数f(x)的图象为直线，
由题意可得f(－1)f(1)＜0，
∴(－3a＋1)·(1－a)＜0，解得＜a＜1，
∴实数a的取值范围是.]
7．若函数f(x)＝x2＋ax＋b的两个零点是－2和3，则不等式af(－2x)＞0的解集是________．
[∵f(x)＝x2＋ax＋b的两个零点是－2,3.
∴－2,3是方程x2＋ax＋b＝0的两根，
由根与系数的关系知
∴
∴f(x)＝x2－x－6.∵不等式af(－2x)＞0，
即－(4x2＋2x－6)＞0⇔2x2＋x－3＜0，
解集为.]
8．(2019·漳州模拟)已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有三个零点，则实数m的取值范围是________．
[作出函数f(x)的图象如图所示．,当x≤0时，f(x)＝x2＋x＝－≥－，若函数f(x)与y＝m的图象有三个不同的交点，则－＜m≤0，即实数m的取值范围是.]
三、解答题
9.已知函数f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点．
(1)求m的值．
(2)求函数的零点．
[解](1)因为f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点，即方程(2x)2＋m·2x＋1＝0仅有一个实根．,设2x＝t(t＞0)，则t2＋mt＋1＝0.
当Δ＝0时，即m2－4＝0，
所以m＝±2，
当m＝－2时，t＝1；
当m＝2时，t＝－1(不合题意，舍去)．
所以2x＝1，x＝0符合题意．
当Δ＞0时，即m＞2或m＜－2，
t2＋mt＋1＝0有两正或两负根，
即f(x)有两个零点或没有零点．
所以这种情况不符合题意．
综上可知：当m＝－2时，f(x)有唯一零点．
(2)由(1)可知，该函数的零点为0.
10.设函数f(x)＝(x＞0)．
(1)作出函数f(x)的图象；
(2)当0＜a＜b，且f(a)＝f(b)时，求＋的值；
(3)若方程f(x)＝m有两个不相等的正根，求m的取值范围．
[解](1)如图所示．
(2)因为f(x)＝＝
故f(x)在(0,1]上是减函数，而在(1，＋∞)上是增函数．
由0＜a＜b且f(a)＝f(b)，得0＜a＜1＜b，
且－1＝1－，所以＋＝2.
(3)由函数f(x)的图象可知，当0＜m＜1时，函数f(x)的图象与直线y＝m有两个不同的交点，即方程f(x)＝m有两个不相等的正根．
1．若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x，则函数y＝f(x)－log3|x|的零点有( )
A．多于4个 B．4个
C．3个 D．2个
B [因为偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，故函数的周期为2.当x∈[0,1]时，f(x)＝x，故当x∈[－1,0]时，f(x)＝－x.函数y＝f(x)－log3|x|的零点的个数等于函数y＝f(x)的图象与函数y＝log3|x|的图象的交点个数．在同一个坐标系中画出函数y＝f(x)的图象与函数y＝log3|x|的图象，如图所示．
显然函数y＝f(x)的图象与函数y＝log3|x|的图象有4个交点，故选B.]
2．已知当x∈[0,1]时，函数y＝(mx－1)2的图象与y＝＋m的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是( )
A．(0,1]∪[2，＋∞)
B．(0,1]∪[3，＋∞)
C．(0，]∪[2，＋∞)
D．(0，]∪[3，＋∞)
B [在同一直角坐标系中，分别作出函数f(x)＝(mx－1)2＝m2与g(x)＝＋m的大致图象．分两种情形：
(1)当0＜m≤1时，≥1，如图①，当x∈[0,1]时，f(x)与g(x)的图象有一个交点，符合题意．
① ②
(2)当m＞1时，0＜＜1，如图②，要使f(x)与g(x)的图象在[0,1]上只有一个交点，只需g(1)≤f(1)，即1＋m≤(m－1)2，解得m≥3或m≤0(舍去)．
综上所述，m∈(0,1]∪[3，＋∞)．故选B.]
3．已知f(x)是奇函数并且是R上的单调函数，若函数y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)只有一个零点，则实数λ＝________.
－ [依题意，方程f(2x2＋1)＋f(λ－x)＝0只有1个解，故f(2x2＋1)＝－f(λ－x)＝f(x－λ)有1个解，
∴2x2＋1＝x－λ，即2x2－x＋1＋λ＝0有唯一解，
故Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－.]
4．已知二次函数f(x)的最小值为－4，且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|－1≤x≤3，x∈R}．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数g(x)＝－4ln x的零点个数．
[解](1)因为f(x)是二次函数，且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|－1≤x≤3，x∈R}，
所以f(x)＝a(x＋1)(x－3)＝ax2－2ax－3a，且a>0.
所以f(x)min＝f(1)＝－4a＝－4，a＝1.
故函数f(x)的解析式为f(x)＝x2－2x－3.
(2)因为g(x)＝－4ln x＝x－－4ln x－2(x>0)，
所以g′(x)＝1＋－＝.
令g′(x)＝0，得x1＝1，x2＝3.
当x变化时，g′(x)，g(x)的取值变化情况如下：
x
(0,1)
1
(1,3)
3
(3，＋∞)
g′(x)
＋
0
－
0
＋
g(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
当0<x≤3时，g(x)≤g(1)＝－4<0.
又因为g(x)在(3，＋∞)上单调递增，因而g(x)在(3，＋∞)上只有1个零点．
故g(x)在(0，＋∞)上只有1个零点．
1．已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝kx－恰有4个不相等的实数根，则实数k的取值范围是________．
[若关于x的方程f(x)＝kx－恰有4个不相等的实数根，则f(x)的图象和直线y＝kx－有4个交点．作出函数f(x)的图象，如图，故点(1,0)在直线y＝kx－的下方．所以k·1－＞0，解得k＞.
当直线y＝kx－和y＝ln x相切时，设切点横坐标为m，则k＝＝，所以m＝.此时，k＝＝，f(x)的图象和直线y＝kx－有3个交点，不满足条件，故要求的k的取值范围是.]
2．已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x－4)＝f(x)，且在区间[0,2]上f(x)＝x，若关于x的方程f(x)＝logax有三个不同的实根，求a的取值范围．
[解] 由f(x－4)＝f(x)知，函数的周期为4，又函数为偶函数，所以f(x－4)＝f(x)＝f(4－x)，
所以函数图象关于x＝2对称，且f(2)＝f(6)＝f(10)＝2，要使方程f(x)＝logax有三个不同的根，则满足
解得＜a＜，故a的取值范围是(，)．
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