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第三章 3.3 3.3.2随机数的含义与应用
A级 基础巩固
一、选择题
1．随机摸拟法产生的区间[0,1]上的实数( D )
A．不是等可能的 B．0出现的机会少
C．1出现的机会少 D．是均匀分布的
[解析] 用随机模拟法产生的区间[0,1]上的实数是均匀分布的，每一个数产生的机会是均等的．
2．用函数型计算器能产生0～1之间的均匀随机数，其按键的顺序为( C )
A． B．
C． D．
3．将[0,1]内的随机数a1转化为[－2,6]内的随机数a2，需实施的变换为( C )
A．a2＝a1*8 B．a2＝a1*8＋2
C．a2＝a1*8－2 D．a2＝a1*6
[解析] 将[0,1]内的随机数a1转化为[－2,6]内的随机数a2，需进行的变换为a2＝a1*[6－(－2)]＋(－2)＝a1*8－2.
4．一个游戏转盘上有四种颜色：红、黄、蓝、黑，并且它们所占面积的比为6∶2∶1∶4，则指针停在红色或蓝色的区域的概率为( B )
A． B．
C． D．
[解析] P＝＝.
5．若x可以在－4≤x≤2的条件下任意取值，则x是负数的概率是( D )
A． B．
C． D．
[解析] 记事件“x是负数”为事件A，∵x可以在－4≤x≤2的条件下任意取值，∴UΩ＝6，UA＝4，
∴P(A)＝＝.
6．在集合P＝{m|关于x的方程x2＋mx－m＋＝0至多有一个实根(相等的根只能算一个)}中，任取一个元素x，使得式子lgx有意义的概率是( A )
A． B．
C．0 D．1
[解析] Δ＝m2－4≤0，∴－5≤m≤3.
∴集合P＝{x|－5≤x≤3}，对于x∈P，
当0<x≤3时，lgx有意义，∴使式子lgx有意义的概率为P＝＝，∴选A．
二、填空题
7．假设你在如图所示的图形上随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率是 .
[解析] 设⊙O的半径为R，则⊙O的面积为πR2，即
μΩ＝πR2.
记事件A为“黄豆落到阴影区域”，
μA＝×2R×R＝R2.
∴由几何概型求概率的公式，得
P(A)＝＝＝.
8．用计算机来模拟所设计的实验，并通过这个试验的结果来确定一些量的方法称为__计算机随机模拟法或蒙特卡罗法__.
三、解答题
9．利用随机模拟法近似计算图中阴影部分(曲线y＝log3x与x＝3及x轴围成的图形)的面积.
[解析] 如图所示，作矩形，设事件A“随机向矩形内投点，所投的点落在阴影部分”．
S1：用计数器n记录做了多少次投点试验，用计数器m记录其中有多少次(x，y)满足y＜log3x(即点落在阴影部分)．首先置n＝0，m＝0；
S2：用变换rand( )*3产生0～3之间的均匀随机数x表示所投的点的横坐标；用函数rand( )产生0～1之间的均匀随机数y表示所投的点的纵坐标；
S3：判断点是否落在阴影部分，即是否满足y＜log3x.如果是，则计数器m的值加1，即m＝m＋1；如果不是，m的值保持不变；
S4：表示随机试验次数的计数器n的值加1，即n＝n＋1.如果还要判断试验，则返回步骤S2继续执行；否则，程序结束．
程序结束后事件A发生的频率作为事件A的概率的近似值．设阴影部分的面积为S，矩形的面积为3.由几何概型计算公式得P(A)＝，所以＝.所以S＝即为阴影部分面积的近似值．
B级 素养提升
一、选择题
1．利用抛硬币产生随机数1和2，出现正面表示产生的随机数为1，出现反面表示产生的随机数为2，小王抛两次，则出现的随机数之和为3的概率为( A )
A． B．
C． D．
[解析] 抛掷硬币两次，所发生的情况有(正，正)、(正，反)、(反，正)、(反，反)，即(1,1)、(1,2)、(2,1)、(2,2)共4种情况．其中出现的随机数之和为3的情况有2种，故所求概率P＝＝.
2.在利用随机模拟法计算如图阴影部分(曲线y＝()x与x轴，x＝±1围成的部分)的面积时，需要经过伸缩变换得到哪两个区间上的均匀随机数( B )
A．[－1,1]，[0,1] B．[－1,1]，[0,2]
C．[0,1]，[0,2] D．[0,1]，[0,1]
[解析] 用变换rand()*2－1产生－1～1之间的均匀随机数，x表示所投的点的横坐标；用变换rand()*2产生0～2之间的均匀随机数，y表示所投点的纵坐标．
二、填空题
3．为了测算如图阴影部分的面积，作一个边长为6的正方形将其包含在内，并向正方形内随机投掷800个点，已知恰有200个点落在阴影部分内，据此，可估计阴影部分的面积是__9__.
[解析] 由于每个点落在正方形内每个位置的可能性相同，则＝，所以＝，所以S阴影＝9.
4．两艘轮船都要停靠同一泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达．设两船停靠泊位的时间分别为1 h与2 h，则有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的概率是 .
[解析] 用两个变量代表两船时间，找出两变量的取值和满足的条件，设x、y分别代表第一艘船、第二艘船到达泊位的时间，由题意0≤x≤24,0≤y≤24，y－x≤1，x－y≤2，如图所示阴影部分表示必须有一艘船等待，则概率P＝＝
三、解答题
5．在长为24 cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为边作正方形．用随机模拟法估算该正方形的面积介于25 cm2与64 cm2之间的概率.
[解析] 设事件A＝“正方形的面积介于25 cm2与64 cm2之间”．
(1)利用计算器或计算机产生一组[0,1]上的均匀随机数a1＝rand( )；
(2)经过伸缩变换a＝a1*24得到一组[0,24]上的均匀随机数；
(3)统计出试验总次数N和[5,8]内的随机数个数N1(即满足5≤a≤8的个数)；
(4)计算频率fn(A)＝即为概率P(A)的近似值．
C级 能力拔高
1．如图所示，向边长为2的正方形内投飞镖，求飞镖落在中央边长为1的正方形中的概率.
[解析] 产生的随机数在0～1之间，是一维的；而大正方形内所有点的集合为Ω＝{(x，y)|－2＜x＜2，－2＜y＜2}，点为二维数组，矛盾非常尖锐，为此，需要产生两个随机数x，y，且－2＜x＜2，－2＜y＜2.当－1＜x＜1且－1＜y＜1时，认为飞镖落入中央小正方形内．
由几何概型概率计算公式得P＝＝.
用计算机随机模拟这个试验，步骤如下：
S1 用计数器n记录了多少次投飞镖的试验，用计数器m记录其中有多少次投在中央的小正方形内，置n＝0，m＝0；
S2 用函数rand( )*4－2产生两个－2～2的随机数x、y，x表示所投飞票的横坐标，y表示所投飞镖的纵坐标；
S3 判断(x，y)是否落在中央的小正方形内，也就是看是否满足|x|＜1，|y|＜1，如果是，则m的值加1，即m＝m＋1；否则m的值保持不变；
S4 表示随机试验次数的记录器n加1，即n＝n＋1，如果还需要继续试验，则返回步骤S2继续执行，否则，程序结束．
程序结束后飞镖投在小正方形发生的频率作为概率的近似值．
2．在长为14 cm的线段AB上任取一点M，以A为圆心，以线段AM为半径作圆．用随机模拟法估算该圆的面积介于9π cm2到16π cm2之间的概率.
[解析] 设事件A表示“圆的面积介于9π cm2到16π cm2之间”．
(1)利用计算器或计算机产生一组[0,1]上的均匀随机数a1＝RAND；
(2)经过伸缩变换a＝14a1得到一组[0,14]上的均匀随机数；
(3)统计出试验总次数N和[3,4]内的随机数个数N1(即满足3≤a≤4的个数)；
(4)计算频率fn(A)＝，即为概率P(A)的近似值．
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