2022届高三数学一轮复习-8-4直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系系随堂训练-文-苏教版.doc

第4课时 直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系
一、填空题
1．(2022·江苏省东台中学高三数学诊断性试卷)函数y＝x－2sin x在(0,2π)内的单调减区间为________．
答案：，
2．(江苏省高考名校联考信息优化卷)过点P(0,1)与圆x2＋y2－2x－3＝0相交的所有直线中，被圆截得的弦最长时的直线方程是________________．
解析：∵圆x2＋y2－2x－3＝0的标准方程为(x－1)2＋y2＝22，∴圆心坐标为(1,0)，又因为直线过圆心时，被圆截得的弦最长，∴所求直线的方程为＋＝1，即x＋y－1＝0.
答案：x＋y－1＝0
3．(江苏省高考名校信息优化卷)如果圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上至少有三点到直线ax＋by＝0的距离为2，那么直线ax＋by＝0斜率的取值范围为________．
解析：由题知圆心的坐标为(2,2)且圆上至少有三点到直线ax＋by＝0的距离为2，
那么有≤⇒a2＋b2＋4ab≤0⇒－2－≤≤－2＋，即2－≤－≤2＋.
答案：[2－，2＋ ]
4．(南通市高三调研)假设直线mx＋ny＝4和圆O：x2＋y2＝4没有公共点，那么过点(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数为________．
解析：由题意可知，圆心O到直线mx＋ny＝4的距离大于半径，即得m2＋n2<4，所以点(m，n)在圆O内，而圆O是以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆，故点(m，n)在椭圆内，因此过点(m，n)的直线与椭圆必有2个交点．
答案：2
5．(江苏省启东中学高三质量检测)圆x2＋y2－4x－2y＋c＝0与y轴交于A、B两点，圆心为P，假设∠APB＝90°，那么c的值是________．
解析：圆的方程可化为：(x－2)2＋(y－1)2＝5－c，圆的半径为，因为圆与y轴交于A、B两点，圆心为P，∠APB＝90°，所以＝2，解得c＝－3.
答案：－3
6．(江苏省高考命题研究专家原创卷)m、n、s、t∈(0，＋∞)，m＋n＝2，＋＝9，其中m、n是常数，且s＋t的最小值是，满足条件的点A(m，n)是圆(x－2)2＋(y－2)2＝4中一条弦的中点，那么此弦所在的直线方程为________________．
解析：因为(s＋t)＝m＋n＋＋≥m＋n＋2，所以m＋n＋2＝4，从而mn＝1，得m＝n＝1，得点A(1,1)，而圆的圆心为(2,2)，所以所求弦的斜率为－1，从而弦所在的直线方程为x＋y－2＝0.
答案：x＋y－2＝0
7．(江苏省高考命题研究专家原创卷)圆x2＋y2＝R2与
直线y＝2x＋m相交于A、B两点，以x轴的正方向为始边，
OA为终边(O是坐标原点)的角为α，OB为终边的角为β，
那么tan(α＋β)的值为________．

解析：如上图，过O作OM⊥AB于M，那么∠AOM＝∠BOM
＝∠AOB＝(β－α)，
∴∠xOM＝α＋∠AOM＝，∴tan＝kOM＝－＝
－，
∴tan(α＋β)＝＝－.
答案：－
二、解答题
8．求过点P(4，－1)且与圆C：x2＋y2＋2x－6y＋5＝0切于点M(1,2)的圆的方程．
解：解法一：设所求圆的圆心为A(m，n)，半径为r，那么A，M，C三点共线，且有|MA|＝|AP|＝r，
因为圆C：x2＋y2＋2x－6y＋5＝0的圆心为C(－1,3)，
那么，解得m＝3，n＝1，r＝，
所以所求圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝5.
解法二：因为圆C：x2＋y2＋2x－6y＋5＝0过点M(1,2)的切线方程为2x－y＝0，
所以设所求圆A的方程为x2＋y2＋2x－6y＋5＋λ(2x－y)＝0，
因为点P(4，－1)在圆上，所以代入圆A的方程，解得λ＝－4，
所以所求圆的方程为x2＋y2－6x－2y＋5＝0.
9．：过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1相交于M、N两点．
(1)求实数k的取值范围；(2)求证：·为定值；
〔3〕假设O为坐标原点，且·＝12，求k的值．
解：(1)解法一：∵直线l过点A(0,1)且斜率为k，∴直线l的方程为y＝kx＋1.
将其代入圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1，
得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0，①
由题意：Δ＝[－4(1＋k)]2－4×(1＋k2)×7>0，得<k<.
解法二：同解法一得直线方程为y＝kx＋1，即kx－y＋1＝0.
又圆心到直线距离d＝＝，∴d＝<1，解得<k<.
(2)设过A点的圆的切线为AT，T为切点，那么|AT|2＝|AM|·|AN|，
|AT|2＝(0－2)2＋(1－3)2－1＝7，∴||·||＝7.
根据向量的运算：·＝||·||·cos 0°＝7为定值．
(3)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，那么由①得
∴·＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝＋8＝12⇒k＝1(代入①检验符 合题意)．
10．(苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查)圆x2＋y2＋2ax－2ay＋2a2－4a＝0(0<a≤4)的圆心为C，直线l：y＝x＋m.
(1)假设m＝4，求直线l被圆C所截得弦长的最大值；
(2)假设直线l是圆心C下方的切线，当a在(0,4]上变化时，求m的取值范围．
解：(1)∵x2＋y2＋2ax－2ay＋2a2－4a＝0，∴(x＋a)2＋(y－a)2＝4a，
∴圆心为C(－a，a)，半径为r＝2，
设直线l被圆C所截得的弦长为2t，圆心C到直线l的距离为d，m＝4时，直线l：x－y＋4＝0，
圆心C到直线l的距离d＝＝|a－2|，
t2＝(2)2－2(a－2)2＝－2a2＋12a－8＝－2(a－3)2＋10，又0<a≤4，
∴当a＝3时，直线l被圆C所截得弦长的值最大，其最大值为2.
(2)圆心C到直线l的距离d＝＝|2a－m|，
∵直线l是圆C的切线，∴d＝r，即＝2，∴m＝2a±2，∵直线l在圆C的下方，
∴m＝2a－2＝(－1)2－1，∵a∈(0,4]，∴m∈[－1,8－4]．

1．直线l经过点P(－4，－3)，且被圆(x＋1)2＋(y＋2)2＝25截得的弦长为8，那么直线l的方程为________________．
解析：设直线l的方程为y＋3＝k(x＋4)，由圆的性质可知，圆心(－1，－2)到直线l的距离为3，解得k＝－，那么l的方程为4x＋3y＋25＝0.当直线l的斜率不存在时，直线l为x＝－4也满足条件．
答案：4x＋3y＋25＝0或x＝－4
2．(2022·金陵中学上学期期中卷)平面直角坐标系xOy中，A(4＋2，2)，B(4,4)，圆C是△OAB的外接圆．
(1)求圆C的方程；
(2)假设过点(2,6)的直线l被圆C所截得的弦长为4，求直线l的方程．
解：(1)设圆C方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，那么
解得D＝－8，E＝F＝0.所以圆C：(x－4)2＋y2＝16.
(2)当斜率不存在时，l：x＝2被圆截得弦长为4，符合题意；
当斜率存在时，设直线l：y－6＝k(x－2)，即kx－y＋6－2k＝0，
因为被圆截得弦长为4，所以圆心到直线距离为2，所以＝2，解得k＝－，
所以直线l：y－6＝－(x－2)，即4x＋3y－26＝0.故所求直线l为x＝2，或4x＋3y－26＝0.