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章末综合测评(三) 不等式
(满分：150分 时间：120分钟)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．对于任意实数a，b，c，d，下列四个命题中：
①若a>b，c≠0，则ac>bc；②若a>b，则ac2>bc2；③若ac2>bc2，则a>b；④若a>b>0，c>d，则ac>bd.
其中真命题的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
A [若a>b，c<0时，ac<bc，①错；②中，若c＝0，则有ac2＝bc2，②错；③正确；④中，只有c>d>0时，ac>bd，④错，故选A.]
2．直线3x＋2y＋5＝0把平面分成两个区域．下列各点与原点位于同一区域的是( )
A．(－3，4) B．(－3，－4)
C．(0，－3) D．(－3，2)
A [当x＝y＝0时，3x＋2y＋5＝5>0，则原点一侧对应的不等式是3x＋2y＋5>0，可以验证仅有点(－3，4)满足3x＋2y＋5>0.]
3．设A＝＋，其中a，b是正实数，且a≠b，B＝－x2＋4x－2，则A与B的大小关系是( )
A．A≥B B．A>B
C．A<B D．A≤B
B [∵a，b都是正实数，且a≠b，
∴A＝＋>2＝2，即A>2，B＝－x2＋4x－2＝－(x2－4x＋4)＋2＝－(x－2)2＋2≤2，
即B≤2，∴A>B.]
4．已知0<x<y<a<1，则有( )
A．loga(xy)<0 B．0<loga(xy)<1
C．1<loga(xy)<2 D．loga(xy)>2
D [0<x<y<a<1，
即0<x<a，0<y<a，0<xy<a2.
又0<a<1，f(x)＝logax是减函数，
loga(xy)>logaa2＝2，即loga(xy)>2.]
5．不等式2x2＋2x－4≤的解集为( )
A．(－∞，－3] B．(－3，1]
C．[－3，1] D．[1，＋∞)∪(－∞，－3]
C [由已知得 2x2＋2x－4≤2－1，
所以x2＋2x－4≤－1，
即x2＋2x－3≤0，
解得－3≤x≤1.]
6．不等式组的解集为( )
A．[－4，－3] B．[－4，－2]
C．[－3，－2] D．∅
A [
⇒
⇒⇒－4≤x≤－3.]
7．已知点(x，y)是如图所示的平面区域内(阴影部分且包括边界)的点，若目标函数z＝x＋ay取最小值时，其最优解有无数个，则的最大值是( )
A． B．
C． D．
A [目标函数z＝x＋ay可化为y＝－x＋z，由题意知，当a<0，且直线y＝－x＋z与直线AC重合时，符合题意，此时kAC＝＝1，所以－＝1，a＝－1，而＝表示过可行域内的点(x，y)与点(－1，0)的直线的斜率，显然过点C(4，2)与点(－1，0)的直线的斜率最大，即＝.]
8．若x，y满足则x＋2y的最大值为( )
A．1 B．3
C．5 D．9
[答案] D
9．已知a，b，c∈R，a＋b＋c＝0，abc>0，T＝＋＋，则( )
A．T>0 B．T<0
C．T＝0 D．T≥0
B [法一：取特殊值，a＝2，b＝c＝－1，
则T＝－<0，排除A，C，D，可知选B.
法二：由a＋b＋c＝0，abc>0，知三数中一正两负，
不妨设a>0，b<0，c<0，
则T＝＋＋＝＝＝.
∵ab<0，－c2<0，abc>0，故T<0.]
10．若不等式x2＋ax＋1≥0对一切x∈都成立，则a的最小值为( )
A．0 B．－2
C．－3 D．－
D [由对一切x∈，不等式x2＋ax＋1≥0都成立，
所以ax≥－x2－1，即a≥－x－.
设g(x)＝－x－，只需a≥g(x)max，
而g(x)＝－x－在x∈上是增函数，所以
g(x)＝－x－的最大值是g＝－.]
11．若直线y＝2x上存在点(x，y)满足约束条件则实数m的最大值为( )
A．－1 B．1
C． D．2
B [如图所示，约束条件
表示的可行域如阴影部分所示．当直线x＝m从如图所示的实线位置运动到过A点的位置时，m取最大值．解方程组得A点坐标为(1，2)，
∴m的最大值是1，故选B.]
12．已知x>0，y>0.若＋>m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是( )
A．m≥4或m≤－2 B．m≥2或m≤－4
C．－2<m<4 D．－4<m<2
D [∵x>0，y>0，
∴＋≥8(当且仅当＝时取“＝”).
若＋>m2＋2m恒成立，则m2＋2m<8，解之得－4<m<2.]
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13．已知不等式x2－ax－b<0的解集为(2，3)，则不等式bx2－ax－1>0的解集为 ．
[方程x2－ax－b＝0的根为2，3.根据根与系数的关系得：a＝5，b＝－6.所以不等式为6x2＋5x＋1<0，解得解集为.]
14．若正数x，y满足x2＋3xy－1＝0，则x＋y的最小值是 ．
[对于x2＋3xy－1＝0可得y＝·，
∴x＋y＝＋≥2＝(当且仅当x＝时等号成立).]
15．若关于x、y的不等式组表示的平面区域是一个三角形，则k的取值范围是 ．
∪(－∞，－2) [
不等式|x|＋|y|≤2表示的平面区域为如图所示的正方形ABCD及其内部．
直线y＋2＝k(x＋1)过定点P(－1，－2)，斜率为k，要使平面区域表示一个三角形，则kPD<k≤kPA或k<kPC.而kPD＝0，kPA＝＝，kPC＝＝－2，
故0<k≤或k<－2.]
16．若不等式≤a≤在t∈(0，2]上恒成立，则a的取值范围是 ．
[＝，而y＝t＋在(0，2]上单调递减，故t＋≥2＋＝，＝≤(当且仅当t＝2时等号成立)，因为≥，所以＝＋＝2－≥1(当且仅当t＝2时等号成立)，故a的取值范围为.]
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知集合A＝，B＝{x|log(9－x2)<log(6－2x)}，又A∩B＝{x|x2＋ax＋b<0}，求a＋b的值．
[解] 由2x2－2x－3<＝23－3x，
得x2＋x－6<0，所以－3<x<2，
故A＝{x|－3<x<2}．
由集合B可得：
解得－1<x<3，
B＝{x|－1<x<3}，
A∩B＝{x|－1<x<2}，所以方程x2＋ax＋b＝0的两个根为－1和2，
则a＝－1，b＝－2，所以a＋b＝－3.
18．(本小题满分12分)已知函数y＝的定义域为R.
(1)求a的取值范围；
(2)解关于x的不等式x2－x－a2＋a<0.
[解] (1)因为函数y＝的定义域为R，所以ax2＋2ax＋1≥0，恒成立．
①当a＝0时，1≥0恒成立；
②当a≠0时，则
解得0<a≤1.
综上，a的取值范围为[0，1].
(2)由x2－x－a2＋a<0得，(x－a)[x－(1－a)]<0.
因为0≤a≤1，所以①当1－a>a，
即0≤a<时，a<x<1－a；
②当1－a＝a，即a＝时，<0，不等式无解；
③当1－a<a，即<a≤1时，
1－a<x<a.
综上所述，当0≤a<时，解集为(a，1－a)；
当a＝时，解集为∅；
当<a≤1时，解集为(1－a，a).
19．(本小题满分12分)设函数f(θ)＝sin θ＋cos θ，其中角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P(x，y)，且0≤θ≤π.若点P(x，y)为平面区域Ω：上的一个动点，试确定角θ的取值范围，并求函数f(θ)的最小值和最大值．
[解]
作出平面区域Ω(即三角形区域ABC)，如图中阴影部分所示，其中A(1，0)，B(1，1)，C(0，1)，于是0≤θ≤.
又f(θ)＝sin θ＋cos θ＝2sin ，且≤θ＋≤，故当θ＋＝，即θ＝时，f(θ)取得最大值，且最大值等于2；当θ＋＝，即θ＝0时，f(θ)取得最小值，且最小值等于1.
20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝(x≠a，a为非零常数).
(1)解不等式f(x)<x；
(2)设x>a时，f(x)有最小值为6，求a的值．
[解] (1)f(x)<x，即<x，
整理得(ax＋3)(x－a)<0.
当a>0时，(x－a)<0，
∴解集为；
当a<0时，(x－a)>0，
解集为.
(2)设t＝x－a，则x＝t＋a(t>0)，
∴f(x)＝
＝t＋＋2a
≥2＋2a
＝2＋2a.
当且仅当t＝，
即t＝时，等号成立，
即f(x)有最小值2＋2a.
依题意有2＋2a＝6，
解得a＝1.
21．(本小题满分12分)经观测，某公路段在某时段内的车流量y(千辆/小时)与汽车的平均速度v(千米/小时)之间有函数关系：y＝(v>0).
(1)在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时车流量y最大？最大车流量为多少？(精确到0.01)
(2)为保证在该时段内车流量至少为10千辆/小时，则汽车的平均速度应控制在什么范围内？
[解] (1)y＝＝
≤＝≈11.08.
当v＝，即v＝40千米/小时时，车流量最大，最大值为11.08千辆/小时．
(2)据题意有：≥10，
化简得v2－89v＋1 600≤0，
即(v－25)(v－64)≤0，
所以25≤v≤64.
所以汽车的平均速度应控制在[25，64]这个范围内．
22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2x＋2－x.
(1)解不等式f(x)＞；
(2)若对任意x∈R，不等式f(2x)≥mf(x)－6恒成立，求实数m的最大值．
[解] (1)设2x＝t＞0，则2－x＝，
∴t＋＞，则2t2－5t＋2＞0，
解得t＜或t＞2，即2x＜或2x＞2，
∴x＜－1或x＞1.
∴f(x)＞的解集为{x|x＜－1或x＞1}．
(2)f(x)＝2x＋2－x，
令t＝2x＋2－x，则t≥2(当且仅当x＝0时，等号成立).
又f(2x)＝22x＋2－2x＝t2－2，
故f(2x)≥mf(x)－6可化为t2－2≥mt－6，即m≤t＋，
又t≥2，t＋≥2＝4(当且仅当t＝2，即x＝0时等号成立).
∴m≤＝4.
即m的最大值为4.
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