2022-2022学年高中数学章末综合测评3不等式新人教A版必修5.doc

章末综合测评(三)　不等式
(满分：150分　时间：120分钟)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．对于任意实数a，b，c，d，下列四个命题中：
①若a>b，c≠0，则ac>bc；②若a>b，则ac2>bc2；③若ac2>bc2，则a>b；④若a>b>0，c>d，则ac>bd.
其中真命题的个数是(　　)
A．1　　　　　　 B．2
C．3 D．4
A　[若a>b，c<0时，acd>0时，ac>bd，④错，故选A.]
2．直线3x＋2y＋5＝0把平面分成两个区域．下列各点与原点位于同一区域的是(　　)
A．(－3，4) B．(－3，－4)
C．(0，－3) D．(－3，2)
A　[当x＝y＝0时，3x＋2y＋5＝5>0，则原点一侧对应的不等式是3x＋2y＋5>0，可以验证仅有点(－3，4)满足3x＋2y＋5>0.]
3．设A＝＋，其中a，b是正实数，且a≠b，B＝－x2＋4x－2，则A与B的大小关系是(　　)
A．A≥B B．A>B
C．A2＝2，即A>2，B＝－x2＋4x－2＝－(x2－4x＋4)＋2＝－(x－2)2＋2≤2，
即B≤2，∴A>B.]
4．已知02
D　[0logaa2＝2，即loga(xy)>2.]
5．不等式2x2＋2x－4≤的解集为(　　)
A．(－∞，－3] B．(－3，1]
C．[－3，1] D．[1，＋∞)∪(－∞，－3]
C　[由已知得 2x2＋2x－4≤2－1，
所以x2＋2x－4≤－1，
即x2＋2x－3≤0，
解得－3≤x≤1.]
6．不等式组的解集为(　　)
A．[－4，－3] B．[－4，－2]
C．[－3，－2] D．∅
A　[
⇒
⇒⇒－4≤x≤－3.]
7．已知点(x，y)是如图所示的平面区域内(阴影部分且包括边界)的点，若目标函数z＝x＋ay取最小值时，其最优解有无数个，则的最大值是(　　)
A． B．
C． D．
A　[目标函数z＝x＋ay可化为y＝－x＋z，由题意知，当a<0，且直线y＝－x＋z与直线AC重合时，符合题意，此时kAC＝＝1，所以－＝1，a＝－1，而＝表示过可行域内的点(x，y)与点(－1，0)的直线的斜率，显然过点C(4，2)与点(－1，0)的直线的斜率最大，即＝.]
8．若x，y满足则x＋2y的最大值为(　　)
A．1 B．3
C．5 D．9
[答案]　D
9．已知a，b，c∈R，a＋b＋c＝0，abc>0，T＝＋＋，则(　　)
A．T>0 B．T<0
C．T＝0 D．T≥0
B　[法一：取特殊值，a＝2，b＝c＝－1，
则T＝－<0，排除A，C，D，可知选B.
法二：由a＋b＋c＝0，abc>0，知三数中一正两负，
不妨设a>0，b<0，c<0，
则T＝＋＋＝＝＝.
∵ab<0，－c2<0，abc>0，故T<0.]
10．若不等式x2＋ax＋1≥0对一切x∈都成立，则a的最小值为(　　)
A．0 B．－2
C．－3 D．－
D　[由对一切x∈，不等式x2＋ax＋1≥0都成立，
所以ax≥－x2－1，即a≥－x－.
设g(x)＝－x－，只需a≥g(x)max，
而g(x)＝－x－在x∈上是增函数，所以
g(x)＝－x－的最大值是g＝－.]
11．若直线y＝2x上存在点(x，y)满足约束条件则实数m的最大值为(　　)
A．－1 B．1
C． D．2
B　[如图所示，约束条件

表示的可行域如阴影部分所示．当直线x＝m从如图所示的实线位置运动到过A点的位置时，m取最大值．解方程组得A点坐标为(1，2)，
∴m的最大值是1，故选B.]
12．已知x>0，y>0.若＋>m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是(　　)
A．m≥4或m≤－2 B．m≥2或m≤－4
C．－20，y>0，
∴＋≥8(当且仅当＝时取“＝”).
若＋>m2＋2m恒成立，则m2＋2m<8，解之得－4等式bx2－ax－1>0的解集为 ．
　[方程x2－ax－b＝0的根为2，3.根据根与系数的关系得：a＝5，b＝－6.所以不等式为6x2＋5x＋1<0，解得解集为.]
14．若正数x，y满足x2＋3xy－1＝0，则x＋y的最小值是 ．
　[对于x2＋3xy－1＝0可得y＝·，
∴x＋y＝＋≥2＝(当且仅当x＝时等号成立).]
15．若关于x、y的不等式组表示的平面区域是一个三角形，则k的取值范围是 ．
∪(－∞，－2)　[
不等式|x|＋|y|≤2表示的平面区域为如图所示的正方形ABCD及其内部．
直线y＋2＝k(x＋1)过定点P(－1－2)，斜率为k，要使平面区域表示一个三角形，则kPDx2＋ax＋b<0}，求a＋b的值．
[解]　由2x2－2x－3<＝23－3x，
得x2＋x－6<0，所以－3②当a≠0时，则
解得0a，
即0≤a<时，aP(x，y)为平面区域Ω：上的一个动点，试确定角θ的取值范围，并求函数f(θ)的最小值和最大值．
[解]　
作出平面区域Ω(即三角形区域ABC)，如图中阴影部分所示，其中A(1，0)，B(1，1)，C(0，1)，于是0≤θ≤.
又f(θ)＝sin θ＋cos θ＝2sin ，且≤θ＋≤，故当θ＋＝，即θ＝时，f(θ)取得最大值，且最大值等于2；当θ＋＝，即θ＝0时，f(θ)取得最小值，且最小值等于1.
20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝(x≠a，a为非零常数).
(1)解不等式f(x)a时，f(x)有最小值为6，求a的值．
[解]　(1)f(x)即0时，(x－a)<0，
∴解集为；
当a<0时，(x－a)>0，
解集为.
(2)设t＝x－a，则x＝t＋a(t>0)，
∴f(x)＝
＝t＋＋2a
≥2＋2a
＝2＋2a.
当且仅当t＝，
即t＝时，等号成立，
即f(x)有最小值2＋2a.
依题意有2＋2a＝6，
解得a＝1.
21．(本小题满分12分)经观测，某公路段在某时段内的车流量y(千辆/小时)与汽车的平均速度v(千米/小时)之间有函数关系：y＝(v>0).
(1)在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时车流量y最大？最大车流量为多少？(精确到0.01)
(2)为保证在该时段内车流量至少为10千辆/小时，则汽车的平均速度应控制在什么范围内？
[解]　(1)y＝＝
≤＝≈11.08.
当v＝，即v＝40千米/小时时，车流量最大，最大值为11.08千辆/小时．
(2)据题意有：≥10，
化简得v2－89v＋1 600≤0，
即(v－25)(v－64)≤0，
所以25≤v≤64.
所以汽车的平均速度应控制在[25，64]这个范围内．
22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2x＋2－x.
(1)解不等式f(x)＞；
(2)若对任意x∈R，不等式f(2x)≥mf(x)－6恒成立，求实数m的最大值．
[解]　(1)设2x＝t＞0，则2－x＝，
∴t＋＞，则2t2－5t＋2＞0，
解得t＜或t＞2，即2x＜或2x＞2，
∴x＜－1或x＞1.
∴f(x)＞的解集为{x|x＜－1或x＞1}．
(2)f(x)＝2x＋2－x，
令t＝2x＋2－x，则t≥2(当且仅当x＝0时，等号成立).
又f(2x)＝22x＋2－2x＝t2－2，
故f(2x)≥mf(x)－6可化为t2－2≥mt－6，即m≤t＋，
又t≥2，t＋≥2＝4(当且仅当t＝2，即x＝0时等号成立).
∴m≤＝4.
即m的最大值为4.
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