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2019年黄冈中学九年级数学适应性考试

2018年黄冈中学九年级数学适应性考试
（满分：120分　　时间：120分钟）

一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1、－25的相反数是（　）
A．　　　　　　　　　　B． C．－25　　　　　　　　　 D．25
2、国家统计局统计资料显示，2013年第一季度我国国内生产总值为31355.55亿元，用科学记数法表示为（　）元．（用四舍五入法保留3个有效数字）
A．31355.5×108　　　　　 B．3.14×1013 C．3.14×1012　　　　　　 D．3.13×1012
3、如图，将三角尺的直角顶点放在直线a上，a∥b，∠1＝50°，∠2＝60°，则∠3的度数为（　）

A．50°　　　　　　　　　B．60° C．70°　　　　　　　　　D．80°
4、下列运算正确的是（　）
A．a2·a3＝a6　　　　　　 B． C．（－3a2b）2＝6a4b2　　 D．a5÷a3＋a2＝2a2
5、由七个大小相同的正方体组成的几何体如图所示，则它的左视图是（　）

A．　　　　　 B． C．　　　　　 D．
6、设方程x2＋x－2＝0的两个根为α，β，那么（α－1）（β－1）的值等于（　）
A．－4　　　　　　　　　 B．－2 C．0　　　　　　　　　　 D．2

7、如图，⊙O的直径CD＝5cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM∶OD＝3∶5．则AB的长是（　）

A．2cm　　　　　　　　　 B．3cm C．4cm　　　　　　　　　 D．
8、如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是菱形，点C的坐标为（4，0），∠AOC＝60°，垂直于x轴的直线l从y轴出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，设直线l与菱形OABC的两边分别交于点M，N（点M在点N的上方），若△OMN的面积为S，直线l的运动时间为t 秒（0≤t≤4），则能大致反映S与t的函数关系的图象是（　）

A．　 B． C．　　　D．

二、填空题（本题共7个小题，每小题3分，共21分．只要求填写最后的结果）
9、化简的结果是__________．
10、分解因式：a3－4a2＋4a__________．
11、一个圆锥形零件，高为8cm，底面圆的直径为12cm，则此圆锥的侧面积是__________．
12、市运会举行射击比赛，校射击队从甲、乙、丙、丁四人中选拔一人参赛. 在选拔赛中，每人射击10次，计算他们10发成绩的平均数（环）及方差如下表．请你根据表中数据选一人参加比赛，最合适的人选是__________．

甲
乙
丙
丁
平均数
8.2
8.0
8.0
8.2
方差
2.1
1.8
1.6
1.4
13、如图，OA⊥OB，等腰直角三角形CDE的腰CD在OB上，∠ECD＝45°，将△CDE绕点C逆时针旋转75°，点E的对应点N恰好落在OA上，则的值为__________．

14、如图，平面直角坐标系中，⊙O1过原点O，且⊙O1与⊙O2相外切，圆心O1与O2在x轴正半轴上，⊙O1的半径O1P1、⊙O2的半径O2P2都与x轴垂直，且点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）在反比例函数的图象上，则y1＋y2＝__________．

15、过平行四边形ABCD的对角线交点O作直线m，分别交直线AB于点E，交直线CD于点F，若AB＝4，AE＝6，则DF＝__________．

三、解答题（本题共9个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤）
16、（6分）解不等式组．

17、（7分）如图，四边形DBCF中，∠F＝90°，DF∥BC，CE⊥BD于E交FD的延长线于A，BD＝2DF，CF＝CE．
（1）求证：DF＝DE．
（2）求证：四边形ABCD是菱形．
18、（6分）我国是世界上严重缺水的国家之一为了倡导“节约用水从我做起”，小刚在他所在班的50名同学中，随机调查了10名同学家庭中一年的月均用水量（单位：t），并将调查结果绘成了如下的条形统计图：
　　（1）求这10个样本数据的平均数、众数和中位数；
　　（2）根据样本数据，估计小刚所在班50名同学家庭中月均用水量不超过7t的约有多少户？

19、（7分）小明和小丽想利用摸球游戏来决定谁去参加学校举办的歌咏比赛，游戏规则是：在一个不透明的袋子里装有除数字以外其他均相同的4个小球，上面分别标有数字1、2、3、4．一人先从袋中随机摸出一个小球，另一人再从袋中剩下的3个小球中随机摸出一个小球．若摸出的两个小球上的数字和奇数，则小明去参赛；否则小丽去参赛．
（1）用树状图或列表法求出小明参赛的概率；
（2）你认为这个游戏公平吗？请说明理由．
20、（8分）某道路改造工程，由甲、乙两工程队合作20天可完成．甲工程队单独施工比乙工程队单独施工多用30天完成此项工程．
　　（1）求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天？
　　（2）若甲工程队独做a天后，再由甲、乙两工程队合作_________天（用含a的代数式表示）可完成此项工程；
　　（3）如果甲工程队施工每天需付施工费1万元，乙工程队施工每天需付施工费2.5万元，甲工程队至少要单独施工多少天后，再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程，才能使施工费不超过64万元？
21、（7分）如图，AB是⊙O的直径，AC和BD是它的两条切线，DO平分∠BDC．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AC＝2，BD＝3，求AB的长．

22、（7分）如图，一架飞机由A向B沿水平直线方向飞行，在航线AB的正下方有两个山头C、D．飞机在A处时，测得山头C、D在飞机的前方，俯角分别为60°和30°．飞机飞行了12千米到B处时，往后测得山头C的俯角为30°，而山头D恰好在飞机的正下方．求山头C、D之间的距离．

23、（12分）小张投资开办了一个学生文具店．该店在开学前8月31日采购进一种今年新上市的文具袋．9月份（9月1日至9月30日）进行30天的试销售，购进价格为20元/个．销售结束后，得知日销售量y（个）与销售时间x（天）之间有如下关系：y＝－2x＋80（1≤x≤30，且x为整数）；又知销售价格z（元/个）与销售时间x（天）之间的函数关系满足如图所示的函数图象．
　　（1）直接写出z关于x的函数关系式；
　　（2）求出在这30天（9月1日至9月30日）的试销中，日销售利润W（元）与销售时间x（天）之间的函数关系式；
　　（3）“十一”黄金周期间，小张采用降低售价从而提高日销售量的销售策略．10月1日全天，销售价格比9月30日的销售价格降低a%而日销售量就比9月30日提高了6a%（其中a为小于15的正整数），日销售利润比9月份最大日销售利润少569元，求a的值．
　　（参考数据：502＝2500，512＝2601，522＝2704）

24、（15分）已知，如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边BC在x轴上，直角顶点A在y轴的正半轴上，A（0，2），B（－1，0）．
　　（1）求过A、B、C三点的抛物线的解析式和对称轴；
　　（2）设点P（m，n）是抛物线在第一象限部分上的点，△PAC的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求使S最大时点P的坐标；
　　（3）在抛物线对称轴上，是否存在这样的点M，使得△MPC为等腰三角形（P为上述（2）问中使S最大时的点）？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
　　（4）设点M是直线AC上的动点，试问：在平面直角坐标系中，是否存在位于直线AC下方的点N，使得以点O、A、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由．

1、D　　2、C　　3、C　　4、D　　5、B　　6、C　　7、C
8、A
提示：过A作AH⊥x轴于H，
∵OA＝OC＝4，∠AOC＝60°，
∴OH＝2，
由勾股定理得：，
①当0≤t≤2时，ON＝t，，；
②2＜t≤4时，ON＝t，．
故选A．

9、x
10、a（a－2）2
11、60πcm2
12、丁
13、
14、
解析：∵⊙O1过原点O，⊙O1的半径O1P1，∴O1O＝O1P1．
∵⊙O1的半径O1P1与x轴垂直，点P1（x1，y1）在反比例函数的图象上，
∴x1＝y1，x1y1＝1．∴x1＝y1＝1．
∵⊙O1与⊙O2相外切，⊙O2的半径O2P2与x轴垂直，
设两圆相切于点A，∴AO2＝O2P2＝y2，OO2＝2＋y2．
∴P2点的坐标为：（2＋y2，y2）．
∵点P2在反比例函数的图象上，
∴（2＋y2）·y2＝1，解得：（不合题意舍去）．
．

15、2或10
解析：E点可能在A点的两边，即在AB的延长线上（图1），
或在BA的延长线上（图2）
图1中，DF＝AE－AB＝2；
图2中，DF＝CC＋CF＝
．

16.解：由①得，x＜5．
由②得，x≥2．
∴原不等式组的解集为2≤x＜5．

17.证明：（1）∵CE⊥BD，∴∠DEC＝90°，
∴∠DEC＝∠F＝90°．
在Rt△DFC和Rt△DEC中，
DC＝DC，CF＝CE，
∴Rt△DFC≌Rt△DEC（HL）．
∴DF＝DE．
（2）∵BD＝2DF，DF＝DE，
∴DE＝BE，
又∵CE＝CE，∠DEC＝∠BEC＝90°，
∴Rt△DEC≌Rt△BEC（SAS）．
∴BC＝CD，∠BCE＝∠DCE．
又∵DF∥BC，∴∠BCE＝∠DAC＝∠DCE．
∴AD＝BC＝CD，而AD//BC，
∴四边形ABCD为平行四边形，而BC＝CD，
∴四边形ABCD为菱形．

18.解：（1）观察条形图，可知这组样本数据的平均数是：
　　，
　　∴这组样本数据的平均数为6.8（t）．
　　∵在这组样本数据中，6.5出现了4次，出现的次数最多，
　　∴这组数据的众数是6.5（t）．
　　∵将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是6.5，有．
　　∴这组数据的中位数是6.5（t）．
　　（2）∵10户中月均用水量不超过7t的有7户，有．
　　∴根据样本数据，可以估计出小刚所在班50名同学家庭中月均用水量不超过7t的约有35户．

19.解：（1）根据题意可列树状图如下：

　　从表或树状图可以看出所有可能结果共有12种，且每种结果发生的可能性相同，符合条件的结果有8种．
　　．
　　（2）不公平．
　　∵小明参赛的概率是P（和为奇数），小丽参赛的概率是P（和为偶数），
　　，∴不公平．

20.解：（1）设乙独做x天完成此项工程，则甲独做（x＋30）天完成此项工程．
　　由题意得：
　　整理得：x2－10x－600＝0
　　解得：x1＝30，x2＝－20．
　　经检验：x1＝30，x2＝－20都是分式方程的解，但x2＝－20不符合题意，舍去．
　　∴x＝30．
　　∴x＋30＝60．
　　答：甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要60天、30天．
　　（2）设甲独做a天后，甲、乙再合做天，可以完成此项工程．
　　（3）由题意得：
解得：a≥36．
　　答：甲工程队至少要独做36天后，再由甲、乙两队合作完成剩下的此项工程，才能使施工费不超过64万元．

21.1）证明：过O点作OE⊥CD，垂足为E，

∵BD是切线，
∴OB⊥DB，
∵DO平分∠BDC，OE⊥CD，
∴OA＝OE，
∴CD是⊙O的切线．
（2）解：过C点作CF⊥BD，垂足为F，
∵AC，CD，BD都是切线，
∴AC＝CE＝2，BD＝DE＝3，
∴CD＝CE＋DE＝5，
∵∠CAB＝∠ABD＝∠CFB＝90°，
∴四边形ABFC是矩形，
∴BF＝AC＝2，DF＝BD﹣BF＝1，
在Rt△CDF中，CF2＝CD2﹣DF2＝52－12＝24，
．

22.解：过C作CE⊥AD于E

在△ABD中，∠ABD＝90°，∠BAD＝30°，AB＝12，
．
在△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝30°，AB＝12，
∴∠ACB＝90°，AC＝ABsin30°＝6．
在△ACE中，∠AEC＝90°，∠CAE＝60°－30°＝30°，AC＝6，
∴CE＝ACsin30°＝3，．
在Rt△CDE中，∠CED＝90°，CE＝3，．
根据勾股定理有，．
∴山头C、D之间的距离是千米

23.解：（1）由图象知，当1≤x≤20时，设z＝kx＋b，
则有：，
解得：，即，
当20＜x≤30时z＝45，
综上：．
（2）当1≤x≤20时，

当20＜x≤30时，
W＝yz－20y＝45（－2x＋80）－20（－2x＋80）
＝－50x＋2000，
即．
（3）9月30日的价格为45元，日销售量为20个，
9月份当1≤x≤20时日销售利润为：
W＝－x2＋10x＋1200＝－（－x2－10x＋25）＋1225＝－（x－5）2＋1225，
当9月5日时利润最大为1225元．
当20＜x≤30时，利润为W＝－50x＋2000，
当x增加时W减小，故为x＝21时最大．最大日销售利润为950元，
综上9月份日销售利润最大为1225元．
由题意得45（1－a%）·20（1＋6a%）－20×20（1＋6a%）＝1225－569，
（1＋6a%）[900（1－a%）－400]＝656，
（1＋6a%）（900－9a－400）＝656，
（1＋6a%）（500－9a）＝656，
500－9a＋30a－54a2%＝656，
方程两边同乘以100得：
54a2－2100a＋15600＝0，
化简得9a2－350a＋2600＝0，
a1＝10，，
答：a的值为10．

24.解：（1）∵A（0，2），B（－1，0），∴OA＝2，OB＝1．
　　由Rt△ABC知Rt△ABO∽Rt△CAO，∴，即，解得OC＝4．
　　∴点C的坐标为（4，0）．
　　设过A、B、C三点的抛物线的解析式为y＝a（x＋1）（x－4），
　　将A（0，2）代入，得2＝a（0＋1）（0－4），解得．
　　∴过A、B、C三点的抛物线的解析式为，即．
　　，∴抛物线的对称轴为．
　　（2）过点P作x轴的垂线，垂足为点H．

　　∵点P（m，n）在上，
　　．
　　，
　　，
　　．

　　∵S＝m2＋4m＝－（m－2）2＋4，∴当m＝2时，S最大．
　　当m＝2时，．∴点P的坐标为（2，3）．
　　（3）存在．
　　设点，
　　∵C（4，0）， P（2，3），
　　，
　　，
　　．

　　分三种情况讨论：
　　　　①当点M是顶点时，PM＝ CM，即，解得，．．
　　②当点C是顶点时，PC＝CM，即，解得，．
　　．
　　③当点P是顶点时，PC＝ PM，即，解得，．
　　．
　　综上所述，当点M的坐标为或或或或时，△MPC为等腰三角形．
　　（4）当OA为边时，MN//OA，ON＝AO＝2．
　　若MN在OA右侧时，则点N的坐标为；
　　若MN在OA左侧时，则点N的坐标为.
　　当OA为对角线时，MN垂直平分OA，则点M的纵坐标为1，把y＝1代入得x＝2，∴M（2，1）.
　　∴N（－2，1）．
　　综上所述，当点N的坐标为或或（－2，1）．