2022-2022学年高中数学课时跟踪训练26两角和与差的正弦余弦正切公式第一课时新人教A版必修4.doc

课时跟踪训练(二十六)
(时间45分钟)
题型对点练(时间20分钟)
题组一　给角求值问题
1．已知cosαcosβ－sinαsinβ＝0，那么sinαcosβ＋cosαsinβ的值为(　　)
A．－1 B．0 C．1 D．±1
[解析]　∵cosαcosβ－sinαsinβ＝cos(α＋β)＝0.
∴α＋β＝kπ＋，k∈Z，
∴sinαcosβ＋cosαsinβ＝sin(α＋β)＝±1
[答案]　D
2．已知向量a＝(cos75°，sin75°)，b＝(cos15°，sin15°)，那么|a－b|等于(　　)
A. B. C. D．1
[解析]　|a－b|＝
＝
＝
＝＝ ＝1.
[答案]　D
3．sincos－sinsin的值是________．
[解析]　原式＝sincos－sin·sin
＝sin·cos－cossin＝sin
＝sin＝.
[答案]　
题组二　给值求值问题
4．已知0<α<<β<π，又sinα＝，cos(α＋β)＝－，则sinβ等于(　　)
A．0 B．0或
C. D．0或－
[解析]　∵0<α<<β<π，∴α＋β<，∵sinα＝，cos(α＋β)＝－，∴cosα＝，sin(α＋β)＝或－.
当sin(α＋β)＝时，
∴sinβ＝sin[(α＋β)－α]
＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)·sinα＝.
当sin(α＋β)＝－时，同理sinβ＝0.
∵<β<π，∴sinβ＝.
[答案]　C
5．设α∈，sinα＝，则cos的值为(　　)
A. B.
C. D.
[解析]　∵α∈，sinα＝，∴cosα＝，
cos＝cosαcos－sinαsin＝，故选B.
[答案]　B
6．若cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－，且450°<β<540°，则sin(60°－β)＝________.
[解析]　由已知得cos[(α＋β)－α]＝cosβ＝－，
∵450°<β<540°，∴sinβ＝，
∴sin(60°－β)＝×－×＝－.
[答案]　－
题组三　给值求角问题
7．若sin＝－，sin＝，其中<α<，<β<，则角α＋β的值为________．
[解析]　∵<α<，<β<，
∴－<－α<0，<＋β<π.
又sin＝－，sin＝，
∴－α＝－， ＋β＝π.
∴α＝π，β＝π，
∴α＋β＝π.
[答案]　π
8．定义运算＝ad－bc.若cosα＝，＝，0<β<α<，则β等于________．
[解析]　由题意得，sinαcosβ－cosαsinβ＝，
∴sin(α－β)＝.
∵0<β<α<，∴0<α－β<
∴cos(α－β)＝＝.
又cosα＝，得sinα＝.
∴cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝×＋×＝.
∴β＝.
[答案]　
9．已知α∈，β∈，且cos(α－β)＝，sinβ＝－，求α.
[解]　∵α∈，β∈，
∴α－β∈(0，π)．
∵cos(α－β)＝，∴sin(α－β)＝.
∵β∈，sinβ＝－，∴cosβ＝.
∴sinα＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cosβ＋cos(α－β)sinβ
＝×＋×＝.
又∵α∈，∴α＝.
题组四　辅助角公式
10．3sinx－cosx＝2sin(x＋φ)，φ∈(－π，π)，则φ的值是(　　)
A．－ B. C．－ D.
[解析]　3sinx－cosx
＝2
＝2
＝2sin＝2sin(x＋φ)．
∵φ∈(－π，π)，∴φ＝－.
[答案]　A
11.sin15°－cos15°的值为(　　)
A. B．－
C. D．－
[解析]　原式＝sin30°·sin15°－cos30°·cos15°
＝－(cos30°·cos15°－sin30°·sin15°)
＝－cos(30°＋15°)＝－cos45°＝－.
[答案]　B
12．已知sin＝，则cosα＋sinα的值为(　　)
A．－ B. C．2 D．－1
[解析]　由cosα＋sinα＝2
＝2cos＝2sin
＝2sin＝2×＝.
[答案]　B
综合提升练(时间25分钟)
一、选择题
1．已知在△ABC中，sinA＝，cosB＝，则cosC等于(　　)
A.或 B.
C. D．－或－
[解析]　若角A为钝角，∵sinA＝<＝sin，
∴A>，∵cosB＝<＝cos，∴B>.
则A＋B>π，则不成立．
故A为锐角，cosA＝，又cosB＝，∴sinB＝.
∴cosC＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)
＝－cosAcosB＋sinAsinB
＝－×＋×＝.
[答案]　B
2．如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE＝1，连接EC，ED，则sin∠CED等于(　　)
A. 　　 B.
C. 　　 D.
[解析]　由题意知sin∠BEC＝，cos∠BEC＝，
又∠CED＝－∠BEC，
∴sin∠CED＝sincos∠BEC－cossin∠BEC
＝×－×＝.
[答案]　B
3．sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－cos(θ＋15°)＝(　　)
A．±1 B．1 C．－1 D．0
[解析]　原式＝sin[60°＋(θ＋15°)]＋cos(θ＋45°)－
cos(θ＋15°)＝－cos(θ＋15°)＋sin(θ＋15°)＋
cos(θ＋45°)＝sin(θ－45°)＋cos(θ＋45°)＝0.
[答案]　D
二、填空题
4.＝________.
[解析]　原式＝
＝
＝tan45°＝1.
[答案]　1
5．函数f(x)＝3sin(20°＋x)＋5sin(x＋80°)的值域为________．
[解析]　∵sin(x＋80°)＝sin[(x＋20°)＋60°]
＝sin(20°＋x)＋cos(20°＋x)，
∴f(x)＝3sin(20°＋x)＋5sin(x＋80°)
＝3sin(20°＋x)＋sin(20°＋x)＋·cos(20°＋x)
＝sin(20°＋x)＋cos(20°＋x)
＝sin(20°＋x＋φ)
＝7sin(20°＋x＋φ).
∴f(x)∈[－7,7]．
[答案]　[－7,7]
三、解答题
6．已知sinαcosβ＝，求t＝cosαsinβ的取值范围．
[解]　由于sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝＋t，
sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＝－t，
又sin(α＋β)∈[－1,1]，sin(α－β)∈[－1,1]，
故有解得－≤t≤.
即t的取值范围为.
7．已知函数f(x)＝Asin，x∈R，且f＝.
(1)求A的值；
(2)若f(θ)－f(－θ)＝，θ∈，求f.
[解]　(1)由f＝Asin
＝Asin＝＝，可得A＝3.
(2)f(θ)－f(－θ)＝，
则3sin－3sin＝，
3－3＝，
∴sinθ＝.
∵θ∈，∴cosθ＝，
f＝3sin
＝3sin＝3cosθ＝.
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