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1.1 命题及其关系
一、选择题
1．以下说法错误的是
A．如果一个命题的逆命题为真命题，那么它的否命题也必为真命题
B．如果一个命题的否命题为假命题，那么它本身一定为真命题
C．原命题、否命题、逆命题、逆否命题中，真命题的个数一定为偶数
D．一个命题的逆命题、否命题、逆否命题可以同为假命题
【答案】B
【解析】两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆或互否命题，它们的真假性没有关系.故B错误.
2．“若，则p”为真命题，那么p不能是
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】∵时，不一定有，所以p不能是.
3．已知命题：若，则，则下列叙述正确的是
A．命题的逆命题是：若，则
B．命题的否命题是：若，则
C．命题的否命题是：若，则
D．命题的逆否命题是真命题
【答案】D
【解析】命题：若，则，
则命题的逆命题是：若，则，故A错误；
命题的否命题是：若，则，故B，C错误；
由命题：若，则是真命题，可知命题的逆否命题是真命题.
故选D.
4．给定下列命题：
①“若，则方程”有实数根；
②若，，则；
③对角线相等的四边形是矩形；
④若，则中至少有一个为0.
其中真命题的序号是
A．①②③ B．①②④
C．①③④ D．②③④
【答案】B
5．已知命题“若直线与平面垂直, 则直线与平面内的任意一条直线垂直”，则其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为该命题是正确的，所以逆否命题也是正确的；
由于逆命题是正确的，而否命题也是逆命题的逆否命题，故也是正确的，
应选D.
6．已知命题若，则关于的方程有实根，是的逆命题，下面结论正确的是
A．真假 B．假真
C．真真 D．假假
【答案】A
【解析】因为，所以，所以方程有实根，所以是真命题．
由题意知为“若关于的方程有实根，则”．因为要使方程有实根，则，即，解得，所以是假命题.故选A．
二、填空题
7．命题“奇函数的图象关于原点对称”的否命题是__________．
【答案】若一个函数不是奇函数，则它的图象不关于原点对称
【解析】要得到一个命题的否命题，需要同时否定条件和结论，据此可得：命题“奇函数的图象关于原点对称”的否命题是：“若一个函数不是奇函数，则它的图象不关于原点对称”.
8．已知，如果是假命题，是真命题，则实数的取值范围为________.
【答案】
【解析】因为是假命题，所以，解得；
又因为是真命题，所以，解得.
故实数的取值范围是.
9．下列有关命题的说法正确的是________.（填出所有正确命题的序号）
①“若x＞1，则2x＞1”的否命题为真命题；
②“若cosβ＝1，则sinβ＝0”的逆命题是真命题；
③“若平面向量a，b共线，则a，b方向相同”的逆否命题为假命题；
④命题“若x＞1，则x＞a”的逆命题为真命题，则a＞0.
【答案】③
三、解答题
10．给出下列语句:
(1)北京是中国的首都;
(2)x=2是方程x2-4x+4=0的根;
(3)9100是个大数;
(4)sin x>x;
(5)0是自然数吗?
(6)我希望明年考上北京大学.
试判断以上语句是否是命题,若是,请判断其真假;若不是,请说明理由.
11．写出命题“若”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假.
【解析】逆命题：若.是真命题.
否命题：若.是真命题.
逆否命题：若.是真命题.
12．判断命题“已知为实数，如果关于的不等式的解集非空，那么”的逆否命题的真假.
【解析】方法一：已知命题的逆否命题是“已知为实数，如果，那么关于的不等式的解集是空集”.因为对于方程，，所以当时，，，所以不等式的解集是空集，所以逆否命题为真命题.
方法二：先判断原命题的真假，因为关于的不等式的解集非空，所以对于方程，，即，所以正确，即原命题为真命题.因为逆否命题与原命题同真假，所以逆否命题也是真命题.
13．已知A：，B：，请选择适当的实数，使得利用A，B构造的命题“若p，则q”为真命题.
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