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课时作业1 命题及其关系
[根底稳固]
一、选择题
1．以下语句：①平行四边形不是梯形；②是无理数；③方程9x2－1＝0的解是x＝±；④3a>a；⑤2017年8月1日是中国人民解放军建军90周年的日子．其中命题的个数是( )
A．2 B．3
C．4 D．5
2．命题“假设a>b，那么a＋c>b＋c〞的逆命题是( )
A．假设a>b，那么a＋c≤b＋c B．假设a＋c≤b＋c，那么a≤b
C．假设a＋c>b＋c，那么a>b D．假设a≤b，那么a＋c≤b＋c
3．当命题“假设p，那么q〞为真时，以下命题中一定为真的是( )
A．假设q，那么p B．假设綈p，那么綈q
C．假设綈q，那么綈p D．假设綈p，那么q
4．命题p：“假设x≥a2＋b2，那么x≥2ab〞，那么以下说法正确的选项是( )
A．命题p的逆命题是“假设x<a2＋b2，那么x<2ab〞
B．命题p的逆命题是“假设x<2ab，那么x<a2＋b2”
C．命题p的否命题是“假设x<a2＋b2，那么x<2ab〞
D．命题p的否命题是“假设x≥a2＋b2，那么x<2ab〞
5．命题“假设|a|＝|b|，那么a＝b〞及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．4
二、填空题
6．以下语句中是命题的有________；是真命题的有________(填序号)．
①这幅画真漂亮！
②求证是无理数．
③矩形是平行四边形吗？
④并非所有的人都喜欢苹果．
⑤x2＋1>0(x∈R)．
7．命题“假设x>y，那么x3>y3－1”的否命题是______________．
8．“假设a>1，那么a2>1”的逆否命题是________，为________(填“真〞或“假〞)命题．
三、解答题
9．判断以下命题的真假：
(1)a，b，c，d∈R，假设a≠c，b≠d，那么a＋b≠c＋d；
(2)假设x∈N，那么x3>x2成立；
(3)假设m>1，那么方程x2－2x＋m＝0无实数根；
(4)存在一个三角形没有外接圆．
10．判断以下命题的真假，并写出它们的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．
(1)x，y∈R，假设x2＋y2＝0，那么x，y全为零；
(2)假设在二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，b2－4ac<0，那么该函数图象与x轴有交点．
[能力提升]
11．以下命题为真命题的是( )
①“假设x2＋y2≠0，那么x，y不全为零〞的否命题；
②“正三角形都相似〞的逆命题；
③“假设m>0，那么x2＋2x－m＝0有实根〞的逆否命题；
④“假设x－是有理数，那么x是无理数〞的逆否命题．
A．①②③④ B．①③④
C．②③④ D．①④
12．命题“假设a＋b＝偶数，那么a，b都是偶数〞的否命题为________________，是________命题．(填“真〞或“假〞)
13．把命题“全等三角形的面积相等〞改写成“假设p，那么q〞的形式，并写出它的逆命题、否命题与逆否命题．
14．命题甲：关于x的不等式x2＋(a－1)x＋a2≤0的解集为∅；命题乙：函数y＝(2a2－a)x为增函数．当甲、乙两个命题中有且只有一个为真命题时，求实数a的取值范围．
课时作业1 命题及其关系
1．解析：①，②，③，⑤是命题，④不是，因为④无法判断正误．
答案：C
2．解析：命题“假设p，那么q〞的逆命题是“假设q，那么p〞，从而，命题“假设a>b，那么a＋c>b＋c〞的逆命题是“假设a＋c>b＋c，那么a>b〞．
答案：C
3．解析：原命题为真时，原命题的逆否命题必为真，无法判断原命题的逆命题和否命题是否为真．
答案：C
4．解析：命题p的逆命题是“假设x≥2ab，那么x≥a2＋b2”，故A、B都错；命题p的否命题是：“假设x<a2＋b2，那么x<2ab〞，故C正确，D错误．
答案：C
5．解析：原命题是假命题，那么原命题的逆否命题也是假命题．
原命题的逆命题为“假设a＝b，那么|a|＝|b|〞，是真命题，因此原命题的否命题也是真命题．
故四个命题中真命题的个数为2.
答案：C
6．解析：①感慨句，不是命题．
②祈使句，不是命题．
③疑问句，不是命题．
④是命题，有的人喜欢苹果，也有人不喜欢苹果，所以可判断该陈述句的真假，故它是命题，并且是真命题．
⑤是命题，对于任意的x∈R，x2＋1>0，可以判断其真假，故它是命题，并且是真命题．
答案：④⑤ ④⑤
7．解析：将命题的条件和结论分别否认即可．所以否命题为“假设x≤y，那么x3≤y3－1”．
答案：假设x≤y，那么x3≤y3－1
8．解析：条件“a>1”的否认为“a≤1”，结论“a2>1”的否认为“a2≤1”，所以逆否命题为：假设a2≤1，那么a≤1，是真命题．
答案：假设a2≤1，那么a≤1 真
9．解析：(1)假命题．反例：1≠4,5≠2，而1＋5＝4＋2.
(2)假命题．反例：当x＝0时，x3>x2不成立．
(3)真命题．∵m>1⇒Δ＝4－4m<0，
∴方程x2－2x＋m＝0无实数根．
(4)假命题．因为不共线的三点确定一个圆，即任何三角形都有外接圆．
10．解析：(1)该命题为真命题．
逆命题：假设x，y全为零，那么x2＋y2＝0，真命题．
否命题：假设x2＋y2≠0，那么x，y不全为零，真命题．
逆否命题：假设x，y不全为零，那么x2＋y2≠0，真命题．
(2)该命题为假命题．
逆命题：假设二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴有交点，那么b2－4ac<0，假命题．
否命题：假设在二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，b2－4ac≥0，那么该函数图象与x轴无交点，假命题．
逆否命题：假设二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴无交点，那么b2－4ac≥0，假命题．
11．解析：①原命题的否命题为“假设x2＋y2＝0，那么x，y全为零〞，故为真命题．②原命题的逆命题为“假设两个三角形相似，那么这两个三角形是正三角形〞，故为假命题．③原命题的逆否命题为“假设x2＋2x－m＝0无实根，那么m≤0”．∵方程无实根，∴判别式Δ＝4＋4m<0，∴m<－1，即m≤0成立，故为真命题．④原命题的逆否命题为“假设x不是无理数，那么x－2不是有理数〞．∵x不是无理数，∴x是有理数．又2是无理数，∴x－2是无理数，不是有理数，故为真命题．正确的命题为①③④，应选B.
答案：B
12．解析：条件“a＋b＝偶数〞的否认为“a＋b≠偶数〞，结论“a，b都是偶数〞的否认为“a，b不都是偶数〞，所以否命题为：假设a＋b≠偶数，那么a，b不都是偶数．是真命题．
答案：假设a＋b≠偶数，那么a，b不都是偶数 真
13．解析：“假设p，那么q〞的形式：
假设两个三角形全等，那么它们的面积相等．
逆命题：假设两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等．
否命题：假设两个三角形不全等，那么它们的面积不相等．
逆否命题：假设两个三角形的面积不相等，那么这两个三角形不全等．
14．解析：当命题甲为真命题时，只需满足Δ＝(a－1)2－4a2<0即可，解得a<－1或a>13，记集合A＝{a|a<－1或a>13}．
当命题乙为真命题时，由函数的单调性可知，2a2－a>1，解得a<－12或a>1，记集合B＝{a|a<－12或a>1}．
∴当甲真乙假时，集合M＝A∩(∁RB)＝{a|13<a≤1}．
当甲假乙真时，集合N＝(∁RA)∩B＝{a|－1≤a<－12}．
故当甲、乙两个命题中有且只有一个是真命题时，实数a的取值范围是M∪N＝{a|－1≤a<－12或13<a≤1}．
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