2018_2019学年高中数学第三章三角恒等变换3.1两角和与差的正弦余弦和正切公式1课后习题新人教A版必修4.doc

3.1.1　两角差的余弦公式
课后篇巩固探究
1.cos 285°等于(　　)
A. B.
C. D.-
解析cos 285°=cos(360°-75°)
=cos 75°=cos(30°+45°)
=cos 30°cos 45°-sin 30°sin 45°=.
答案A
2.计算的值是(　　)
A. B.- C. D.-
解析
=.
答案C
3.若a=(cos 100°,sin 100°),b=(cos 10°,sin 10°),则a·b=(　　)
A.cos 110° B.sin 110° C.1 D.0
解析a·b=cos 100°cos 10°+sin 100°sin 10°=cos(100°-10°)=cos 90°=0.
答案D
4.满足sin αsin β=-cos αcos β的一组值是(　　)
A.α=β=90° B.α=18°,β=72°
C.α=130°,β=40° D.α=140°,β=40°
解析由sin αsin β=-cos αcos β可得cos(α-β)=0,因此α-β=k·180°+90°,只有C项符合.
答案C
5.若sin α-sin β=,cos α-cos β=,则cos(α-β)的值为(　　)
A. B. C. D.1
解析由sin α-sin β=,cos α-cos β=,得sin2α+sin2β-2sin αsin β=,cos2α+cos2β-2cos αcos β=,以上两式相加得2-2(sin αsin β+cos αcos β)=1,所以sin αsin β+cos αcos β=,故cos(α-β)=.
答案A
6.若cos θ=-,θ∈,则cos=　　　　　. 
解析∵cos θ=-,θ∈,∴sin θ=-.
∴cos=cos θcos+sin θsin
=-=-.
答案-
7.化简cos(α-55°)·cos(α+5°)+sin(α-55°)·sin(α+5°)=　　　　　. 
解析原式=cos [(α-55°)-(α+5°)]=cos(-60°)=.
答案
8.若0<α<,-<β<0,cos,cos,则cos=　　　　　. 
解析因为0<α<,所以+α<,
又cos,所以sin,
因为-<β<0,所以,
又cos,所以sin.
于是cos=cos =
coscos+sinsin=
.
答案
9.若x∈,且sin x=,求2cos+2cos x的值.
解因为x∈,sin x=,所以cos x=-.
于是2cos+2cos x
=2+2cos x
=2+2cos x
=sin x+cos x=.
10.已知α,β∈,sin(α+β)=-,sin,求cos的值.
解∵α,β∈,
∴α+β∈,β-.
又∵sin(α+β)=-,sin,
∴cos(α+β)=.
cos=-=-.
∴cos=cos
=cos(α+β)cos+sin(α+β)sin
==-.
11.如图,在平面直角坐标系xOy中,单位圆O与x轴交于点P0,以Ox为始边分别作出角α,β,α-β,其终边分别和单位圆交于点P1,P2,P3.由||=||,你能推导出两角差的余弦公式吗?

解该问题实际上给出了用距离公式推导C(α-β)的方法.推导过程如下:
易知P0(1,0),P1(cos α,sin α),P2(cos β,sin β),P3(cos(α-β),sin(α-β)),
则=(cos(α-β)-1,sin(α-β)),
=(cos α-cos β,sin α-sin β),
又||=||,即||2=||2,
所以[cos(α-β)-1]2+sin2(α-β)=(cos α-cos β)2+(sin α-sin β)2,
化简得cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β.
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