2022-2022学年高中数学模块综合检测新人教B版必修2.doc

模块综合检测
[学生用书P137(单独成册)]
(时间：120分钟，总分值：150分)
一、选择题：此题共12小题，每题5分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．
1．假设点P在y轴上，且到点(2，5，－6)的距离为7，那么点P的坐标为(　　)
A．(0，8，0)　　　　　　　 B．(0，2，0)
C．(0，8，0)或(0，2，0) D．(0，－2，0)
解析：选C．设P(0，y，0)，由＝7，得(y－5)2＝9，解得y＝8或y＝2．应选C．
2．与直线2x－y＋1＝0平行，且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程是(　　)
A．2x－y＋5＝0
B．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0
C．2x－y－5＝0
D．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0
解析：选B．因为该切线与直线2x－y＋1＝0平行，所以可设切线方程为2x－y＋C＝0，那么圆心到切线的距离d＝＝，解得C＝±5，所以切线方程为2x－y±5＝0，应选B．
3．球的外表积为64π，用一个平面截球，使截面圆的半径为2，那么截面与球心的距离是(　　)
A．1 B．2
C．2 D．
解析：选B．由球的外表积为64π，得球的半径为4．用一个平面截球，使截面圆的半径为2，那么截面与球心的距离是＝2．应选B．
4．圆C：x2＋y2－4x＝0，那么圆C在点P(1，)处的切线方程为(　　)
A．x－y＋2＝0 B．x－y＋4＝0
C．x＋y－4＝0 D．x＋y－2＝0
解析：选A．圆C的方程为(x－2)2＋y2＝4，圆心为C(2，0)，点P(1，)在圆上，kPC＝＝－，所以切线的斜率为－＝，故在点P(1，)处的切线方程为y－＝(x－1)，即x－y＋2＝0，应选A．
5．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，那么以下说法正确的选项是(　　)
A．假设m⊥n，n∥α，那么m⊥α
B．假设m∥β，β⊥α，那么m⊥α
C．假设m⊥β，n⊥β，n⊥α，那么m⊥α
D．假设m⊥n，n⊥β，β⊥α，那么m⊥α
解析：选C．A中，由m⊥n，n∥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误；
B中，由m∥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误；
C中，由m⊥β，n⊥β可得m∥n，又n⊥α，所以m⊥α，正确；
D中，由m⊥n，n⊥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误．
6．假设PQ是圆x2＋y2＝9的弦，PQ的中点是M(1，2)，那么直线PQ的方程是(　　)
A．x＋2y－3＝0 B．x＋2y－5＝0
C．2x－y＋4＝0 D．2x－y＝0
解析：选B．由题意知kOM＝＝2，
所以kPQ＝－，
所以直线PQ的方程为y－2＝－(x－1)，
即x＋2y－5＝0．应选B．
7．某棱锥的三视图如下图，那么其侧面积为(　　)
A．8＋4 B．20
C．12＋4 D．8＋12
解析：选C．由三视图可知，该几何体为四棱锥，且四棱锥的顶点在底面的投影为底面矩形的中心．四棱锥的高为2，底面矩形的相邻两个边长分别为4、6，两相邻侧面的斜高分别为＝、＝＝2．
所以侧面积为
2
＝4＋12．
8．直线l通过两直线7x＋5y－24＝0和x－y＝0的交点，且点(5，1)到l的距离为，那么l的方程是(　　)
A．3x＋y＋4＝0 B．3x－y＋4＝0
C．3x－y－4＝0 D．x－3y－4＝0
解析：选C．由，
得交点(2，2)，
设l的方程为y－2＝k(x－2)，
即kx－y＋2－2k＝0，
所以＝，解得k＝3．
所以l的方程为3x－y－4＝0．应选C．
9．如图，一个几何体的三视图的轮廓均为边长为a的正方形，那么这个几何体的体积等于(　　)
A．a3 B．a3
C．a3 D．a3
解析：选D．
由三视图，知几何体为棱长为a的正方体截去一个三棱锥得到的，如下图，它的体积为a3－×a2×a＝a3．应选D．
10．圆M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2，那么圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是(　　)
A．内切 B．相交
C．外切 D．相离
解析：选B．由题知圆M：x2＋(y－a)2＝a2，圆心(0，a)到直线x＋y＝0的距离d＝，所以2＝2，解得a＝2．圆M，圆N的圆心距|MN|＝，两圆半径之差为1，故两圆相交．
11．假设圆x2＋y2－ax＋2y＋1＝0与圆x2＋y2＝1关于直线y＝x－1对称，过点C(－a，a)的圆P与y轴相切，那么圆心P的轨迹方程为(　　)
A．y2－4x＋4y＋8＝0 B．y2＋2x－2y＋2＝0
C．y2＋4x－4y＋8＝0 D．y2－2x－y－1＝0
解析：选C．由圆x2＋y2－ax＋2y＋1＝0与圆x2＋y2＝1关于直线y＝x－1对称可知两圆半径相等且两圆圆心连线的中点在直线y＝x－1上，故可得a＝2，即点C(－2，2)，所以过点C(－2，2)且与y轴相切的圆P的圆心的轨迹方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝x2，整理即得y2＋4x－4y＋8＝0．应选C．
12．在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝1，M为AB的中点，将△ACM沿CM折起，使A，B间的距离为，那么M到平面ABC的距离为(　　)
A． B．
C．1 D．
解析：选A．由得AB＝2，AM＝MB＝MC＝1，BC＝，△AMC为等边三角形．
在△ABC中，取CM的中点D，连接AD，
那么AD⊥CM，AD交BC于点E，
那么AD＝，DE＝，CE＝．
折起后，由BC2＝AC2＋AB2，
知∠BAC＝90°，又＝＝，∠ACE＝∠BCA，
所以△ACE∽△BCA，
所以∠AEC＝∠BAC＝90°，
所以AE＝，AE⊥CE，
因为AD2＝AE2＋ED2，
所以AE⊥ED，
所以AE⊥平面BCM，
即AE是三棱锥A­ BCM的高．
设M到平面ABC的距离为h，
由等体积法得××1××h＝××××，得h＝，应选A．
二、填空题：此题共4小题，每题5分．
13．假设函数y＝ax＋8与y＝－x＋b的图象关于直线y＝x对称，那么a＋b＝________．
解析：直线y＝ax＋8关于y＝x对称的直线方程为x＝ay＋8，
所以x＝ay＋8与y＝－x＋b为同一直线，
故得，所以a＋b＝2．
答案：2
14．圆x2＋(y＋1)2＝3绕直线kx－y－1＝0旋转一周所得的几何体的外表积为________．
解析：由题意，圆心为(0，－1)，又直线kx－y－1＝0恒过点(0，－1)，所以旋转一周所得的几何体为球，球心即为圆心，球的半径即是圆的半径，
所以S＝4π()2＝12π．
答案：12π
15．过直线l：y＝x上的点P(2，2)作直线m，假设直线l，m与x轴围成的三角形的面积为2，那么直线m的方程为________．
解析：假设直线m的斜率不存在，那么直线m的方程为x＝2，其与直线l、x轴围成的三角形面积为2，符合题意．假设直线m的斜率k＝0时，那么直线m与x轴没有交点，不符合题意；假设直线m的斜率k≠0，设其方程为y－2＝k(x－2)，令y＝0，得x＝2－，依题意有×2＝2，即＝1，解得k＝，所以直线m的方程为y－2＝(x－2)，即x－2y＋2＝0．综上，知直线m的方程为x－2y＋2＝0或x＝2．
答案：x－2y＋2＝0或x＝2
16．如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1垂直于底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，那么以下表达正确的选项是__________．
①CC1与B1E是异面直线；
②AC⊥平面ABB1A1；
③AE与B1C1为异面直线，且AE⊥B1C1；
④A1C1∥平面AB1E．
解析：①中，直线CC1与B1E都在平面BCC1B1中，不是异面直线；②中，平面ABC⊥平面ABB1A1，而AC与AB不垂直，那么AC与平面ABB1A1不垂直；③中，AE与B1C1不平行也不相交，是异面直线，又由得平面ABC⊥平面BCC1B1，由△ABC为正三角形，且E为BC的中点知AE⊥BC，所以AE⊥平面BCC1B1，那么AE⊥B1C1；④中，A1C1与平面AB1E相交，故错误．
答案：③
三、解答题：解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题总分值10分)如图，在平行四边形ABCD中，边AB所在的直线方程为2x－y－2＝0，点C(2，0)．
(1)求直线CD的方程；
(2)求AB边上的高CE所在的直线方程．
解：(1)因为四边形ABCD为平行四边形，
所以AB∥CD．
所以kCD＝kAB＝2．
所以直线CD的方程为y＝2(x－2)，即2x－y－4＝0．
(2)因为CE⊥AB，
所以kCE＝－＝－．
所以直线CE的方程为y＝－(x－2)，即x＋2y－2＝0．
18．
(本小题总分值12分)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F分别是A1B，A1C的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C1．求证：
(1)EF∥平面ABC；
(2)平面A1FD⊥平面BB1C1C．
证明：(1)因为E，F分别是A1B，A1C的中点，
所以EF∥BC．
又EF⊄平面ABC，BC⊂平面ABC，
所以EF∥平面ABC．
(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，
因为BB1⊥平面A1B1C1，所以BB1⊥A1D．
又A1D⊥B1C1，所以A1D⊥平面BB1C1C．
又A1D⊂平面A1FD，
所以平面A1FD⊥平面BB1C1C．
19．(本小题总分值12分)圆C的圆心在直线l1：2x－y＋1＝0上，与直线3x－4y＋9＝0相切，且截直线l2：4x－3y＋3＝0所得的弦长为2，求圆C的方程．
解：设圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
那么
即
即化简，得4a2＋25＝25(a－1)2．
解得a＝0或a＝．
因此或
故所求圆C的方程为x2＋(y－1)2＝1或＋＝．
20．(本小题总分值12分)如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图2．
(1)求证：DE∥平面A1CB；
(2)求证：A1F⊥BE；
(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由．
解：(1)证明：因为D，E分别为AC，AB的中点，
所以DE∥BC．
又因为DE⊄平面A1CB，
所以DE∥平面A1CB．
(2)证明：由得AC⊥BC且DE∥BC，
所以DE⊥AC．
所以DE⊥A1D，DE⊥CD．
又A1D∩CD＝D，
所以DE⊥平面A1DC．
而A1F⊂平面A1DC，
所以DE⊥A1F．
又因为A1F⊥CD，CD∩DE＝D，
所以A1F⊥平面BCDE．
所以A1F⊥BE．
(3)线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ．
理由如下：
如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，连接PQ，PD，QE，DQ，那么PQ∥BC．
又因为DE∥BC，
所以DE∥PQ．
所以平面DEQ即为平面DEQP．
由上述可知，DE⊥平面A1DC，
所以DE⊥A1C．
又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，
所以A1C⊥DP．
又DP∩DE＝D，
所以A1C⊥平面DEQP．
即A1C⊥平面DEQ．
故线段A1B上存在点Q，使得A1C⊥平面DEQ．
21．(本小题总分值12分)圆C过点A(1，2)和B(1，10)，且与直线x－2y－1＝0相切．
(1)求圆C的方程；
(2)设P为圆C上的任意一点，定点Q(－3，－6)，当点P在圆C上运动时，求线段PQ中点M的轨迹方程．
解：(1)圆心显然在线段AB的垂直平分线y＝6上，
设圆心为(a，6)，半径为r，那么圆C的标准方程为(x－a)2＋(y－6)2＝r2，
由点B在圆上得
(1－a)2＋(10－6)2＝r2，
又圆C与直线x－2y－1＝0相切，
那么r＝．
于是(a－1)2＋16＝，
解得a＝3，r＝2，或a＝－7，r＝4．
所以圆C的标准方程为(x－3)2＋(y－6)2＝20或(x＋7)2＋(y－6)2＝80．
(2)设M点坐标为(x，y)，
P点坐标为(x0，y0)，
由M为PQ的中点，那么
即
又点P(x0，y0)在圆C上，
假设圆C的方程为(x－3)2＋(y－6)2＝20，
有(x0－3)2＋(y0－6)2＝20，
那么(2x＋3－3)2＋(2y＋6－6)2＝20，
整理得x2＋y2＝5，
此时点M的轨迹方程为x2＋y2＝5．
假设圆C的方程为(x＋7)2＋(y－6)2＝80，
有(x0＋7)2＋(y0－6)2＝80，
那么(2x＋3＋7)2＋(2y＋6－6)2＝80，
整理得(x＋5)2＋y2＝20，
此时点M的轨迹方程为(x＋5)2＋y2＝20．
综上所述，点M的轨迹方程为
x2＋y2＝5或(x＋5)2＋y2＝20．
22．
(本小题总分值12分)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB＝4，BC＝3，AD＝5，∠DAB＝∠ABC＝90°，E是CD的中点．
(1)证明：CD⊥平面PAE；
(2)假设直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥P-ABCD的体积．
解：(1)证明：
如下图，连接AC．由AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°得AC＝5．又AD＝5，E是CD的中点，所以CD⊥AE，因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD，而PA，AE是平面PAE内的两条相交直线，所以CD⊥平面PAE．
(2)过点B作BG∥CD，分别与AE，AD相交于点F，G，连接PF．
由上述CD⊥平面PAE知，BG⊥平面PAE．于是∠BPF为直线PB与平面PAE所成的角，且BG⊥AF，BG⊥PF．
由PA⊥平面ABCD知，∠PBA为直线PB与平面ABCD所成的角．
由题意∠PBA＝∠BPF，
因为sin∠PBA＝，sin∠BPF＝，
所以PA＝BF．
由∠DAB＝∠ABC＝90°知，AD∥BC，又BG∥CD，所以四边形BCDG是平行四边形，故GD＝BC＝3．
于是AG＝2．
在Rt△BAG中，AB＝4，AG＝2，BG⊥AF，所以
BG＝＝2，BF＝＝＝．
于是PA＝BF＝．
又梯形ABCD的面积为S＝×(5＋3)×4＝16，所以四棱锥P­ABCD的体积为
V＝×S×PA＝×16×＝．