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第三章 3.1 3.1.4概率的加法公式
一、选择题
1．从1,2,3，…，9中任取两数，其中：
①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；
②至少有一个是奇数和两个都是奇数；
③至少有一个是奇数和两个都是偶数；
④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．
上述各对事件中，是对立事件的是( C )
A．① B．②④
C．③ D．①③
[解析] 两数可能“全为偶数”“一偶数一奇数”或“全是奇数”，共三种情况，利用对立事件的定义可知③正确．
2．从装有十个红球和十个白球的罐子里任取2球，下列情况中是互斥而不对立的两个事件是( B )
A．至少有一个红球；至少有一个白球
B．恰有一个红球；都是白球
C．至少有一个红球；都是白球
D．至多有一个红球；都是红球
[解析] 对于A，“至少有一个红球”可能为一个红球、一个白球，“至少有一个白球”可能为一个白球、一个红球，故两事件可能同时发生，所以不是互斥事件；对于B，“恰有一个红球”，则另一个必是白球，与“都是白球”是互斥事件，而任取2个球还有都是红球的情形，故两事件不是对立事件；对于C，“至少有一个红球”为都是红球或一红一白，与“都是白球”显然是对立事件；对于D，“至多有一个红球”为都是白球或一红一白，与“都是红球”是对立事件．
3．若把一副扑克牌中的4个K随机分给甲、乙、丙、丁四人，每人得到1张扑克牌，则事件“甲分到红桃K”与事件“乙分到梅花K”是( D )
A．对立事件 B．不可能事件
C．互斥但非对立事件 D．以上都不对
[解析] 由题意，对一次试验(即分一次牌)，有可能“甲分到红桃K”和“乙分到梅花K”同时发生．
4．从1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字中任取两个数，分别有下列事件：
①恰有一个是奇数和恰有一个是偶数；
②至少有一个是奇数和两个数都是奇数；
③至少有一个是奇数和两个数都是偶数；
④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．
其中为互斥事件的是( C )
A．① B．②④
C．③ D．①③
[解析] 所取两个数可能都是奇数，也可能都是偶数，还可能一个奇数一个偶数，故只有③中两个事件互斥．
二、填空题
5．甲、乙两人下棋，和棋的概率为，乙获胜的概率为，则甲胜的概率为 ，甲不输的概率为 .
[解析] “甲胜”是“和棋或乙胜”的对立事件，所以甲胜的概率为1－(＋)＝，“甲不输”是“乙胜”的对立事件，所以甲不输的概率为1－＝.
6．如果事件A和B是互斥事件，且事件A∪B的概率是0.8，事件A的概率是事件B的概率的3倍，则事件B的对立事件的概率为__0.8__.
[解析] 根据题意有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝4P(B)＝0.8，∴P(B)＝0.2，则事件B的对立事件的概率为1－0.2＝0.8.
三、解答题
7．某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：
赔付金额(元)
0
1 000
2 000
3 000
4 000
车辆数(辆)
500
130
100
150
120
(1)若每辆车的投保金额均为2 800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；
(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率．
[解析] (1)设A表示事件“赔付金额为3 000元”，B表示事件“赔付金额为4 000元”，以频率估计概率得
P(A)＝＝0.15，P(B)＝＝0.12.
由于投保金额为2 800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是3 000元和4 000元，所以其概率为P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.
(2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.1×1 000＝100辆，而赔付金额为4 000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24辆．
所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的频率为＝0.24.
由频率估计概率得P(C)＝0.24.
8．如果从不包括大、小王的52张扑克牌中随机抽取一张，那么取到红心(事件A)的概率是，取到方片(事件B)的概率是，问：
(1)取到红色牌(事件C)的概率是多少？
(2)取到黑色牌(事件C)的概率是多少？
[解析] (1)因为取到红心(事件A)与取到方片(事件B)不能同时发生，所以A与B是互斥事件，具有C＝A∪B，故由互斥事件的概率的加法公式得P(C)＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.
(2)因为取一张牌时，取到红色牌(事件C)与取到黑色牌(事件D)不可能同时发生，所以C与D也是互斥事件．又由于事件C与事件D必有一者发生，即C∪D为必然事件，所以C与D为对立事件，所以P(D)＝1－P(C)＝1－＝.
B级 素养提升
一、选择题
1．一个战士在一次射击中，命中环数大于8，大于5，小于4，小于6这四个事件中，互斥事件有( B )
A．2对 B．4对
C．6对 D．3对
[解析] 按照互斥事件的定义，两个事件不可能同时发生，所以命中环数大于8与命中环数小于4是互斥事件；命中环数大于8与命中环数小于6是互斥事件；命中环数大于5与命中环数小于4是互斥事件．命中环数大于5与命中环数小于6也是互斥事件，故选B．
2．在第3,6,16路车的一个停靠站(假定这个车站只能停靠一辆公交车)，有一位乘客需要在5分钟之内赶到厂里，他可乘3路或6路车，已知3路车、6路车在5分钟之内到此站的概率分别为0.20和0.60，则此乘客在5分钟内能乘到所需要的车的概率是( C )
A．0.20 B．0.60
C．0.80 D．0.12
[解析] 由题意知他乘3路和乘6路是互斥事件，故5分钟内能乘到所需要的车的概率是0.20＋0.60＝0.80.
3．某家庭电话，有人时打进的电话响第一声时被接的概率为，响第二声时被接的概率为，响第三声时被接的概率为，响第四声时被接的概率为，则电话在响前四声内被接的概率为( B )
A． B．
C． D．
[解析] 电话在响前四声内被接的概率为P＝＋＋＋＝.
4．对一批产品的长度(单位：mm)进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20,25)上为一等品，在区间[15,20)和[25,30)上为二等品，在区间[10,15)和[30,35]上为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取1件，则其为二等品的概率是( D )
A．0.09 B．0.20
C．0.25 D．0.45
[解析] 由图可知，抽得一等品的概率为0.3，抽得三等品的概率为0.25，则抽得二等品的概率为1－0.3－0.25＝0.45.
二、填空题
5．口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是__0.3__.
[解析] P＝1－0.42－0.28＝0.3.
6．中国乒乓球队甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为，乙夺得冠军的概率为，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为 .
[解析] 设事件A为“甲夺得冠军”，事件B为“乙夺得冠军”，则P(A)＝，P(B)＝，因为事件A和事件B是互斥事件，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.
三、解答题
7．在某一时期内，一条河流某处的最高水位在各个范围内的概率如下：
年最高水位(单位：m)
[8,10)
[10,12)
[12,14)
[14,16)
[16,18)
概率
0.1
0.28
0.38
0.16
0.08
计算在同一时期内，河流这一处的年最高水位在下列范围内的概率：
(1)[10,16)(m)；(2)[8,12)(m)；(3)[14,18)(m)．
[解析] 记河流年最高水位在“[8,10)”为事件A，“[10,12)”为事件B，“[12,14)”为事件C，“[14,16)”为事件D，“[16,18)”为事件E，则A、B、C、D、E为互斥事件，由互斥事件的概率的加法公式，得
(1)最高水位在[10,16)的概率为
P(B∪C∪D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.28＋0.38＋0.16＝0.82.
(2)最高水位在[8,12)的概率为
P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.1＋0.28＝0.38.
(3)最高水位在[14,18]的概率为
P(D∪E)＝P(D)＋P(E)＝0.16＋0.08＝0.24.
C级 能力拔高
1．根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险的概率为0.3，设各车主至多购买一种保险.
(1)求该地1位车主购买甲、乙两种保险中的1种的概率；
(2)求该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率．
[解析] 记A表示事件：该地的1位车主购买甲种保险；
B表示事件：该地的1位车主购买乙种保险；
C表示事件：该地的1位车主购买甲、乙两种保险中的1种；
D表示事件：该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买；
(1)P(A)＝0.5，P(B)＝0.3，C＝A＋B，
P(C)＝P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.8.
(2)D＝，P(D)＝1－P(C)＝1－0.8＝0.2.
2．围棋是一种策略性两人棋类游戏，已知围棋盒子中有多粒黑子和多粒白子，从中随机取出2粒，都是黑子的概率是，都是白子的概率是.
(1)求从中任意取出2粒恰好是同一色的概率；
(2)求从中任意取出2粒恰好是不同色的概率．
[解析] (1)设“从中任意取出2粒都是黑子”为事件A，“从中任意取出2粒都是白子”为事件B，“任意取出2粒恰好是同一色”为事件C，则C＝A∪B，事件A与B互斥，则
P(C)＝P(A)＋P(B)＝＋＝，
即任意取出2粒恰好是同一色的概率是.
(2)设“从中任意取出2粒恰好是不同色”为事件D，则事件D与事件C是对立事件．
由(1)，知P(C)＝，
所以任意取出2粒恰好是不同色的概率P(D)＝1－P(C)＝1－＝.
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