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课时作业 13 三角形中的几何计算
|基础巩固|(25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．(济南历城区二中调研)已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，∠A＝60°，c＝2，且△ABC的面积为，则边b的长为( )
A．4 B．3
C．2 D．1
解析：S△ABC＝bcsinA＝，
即×b×2×＝，
所以b＝1.故选D.
答案：D
2．已知△ABC周长为20，面积为10，A＝60°，则BC边长为( )
A．5 B．6
C．7 D．8
解析：由题设a＋b＋c＝20，bcsin60°＝10，所以bc＝40.
a2＝b2＋c2－2bccos60°＝(b＋c)2－3bc＝(20－a)2－120.
所以a＝7.即BC边长为7.
答案：C
3．如图，在四边形ABCD中，已知B＝C＝120°，AB＝4，BC＝CD＝2，则该四边形的面积等于( )
A. B．5
C．6 D．7
解析：连结BD，在△BCD中，由余弦定理，得BD2＝22＋22－2×2×2·cos120°＝12，即BD＝2.
∵BC＝CD，∴∠CBD＝30°，
∴∠ABD＝90°，
即△ABD为直角三角形．
故S四边形ABCD＝S△BCD＋S△ABD＝×2×2×sin120°＋×4×2＝5.
答案：B
4．在△ABC中，三边长分别为a－2，a，a＋2，最大角的正弦值为，则这个三角形的面积为( )
A. B.
C. D.
解析：设最大角为θ，则
cosθ＝＝.
因为sinθ＝，
若θ＝60°，
则＝，无解．
若θ＝120°，
则cosθ＝－，
所以＝－，
所以a＝5，故三边分别为3,5,7.
所以S△ABC＝×3×5×＝.
故选B.
答案：B
5．在△ABC中，∠BAC＝120°，AD为∠BAC的平分线，AC＝3，AB＝6，则AD的长是( )
A．2 B．2或4
C．1或2 D．5
解析：如图，由已知条件可得∠DAC＝∠DAB＝60°.
因为AC＝3，AB＝6，S△ACD＋S△ABD＝S△ABC，
所以×3×AD×＋×6×AD×＝×3×6×，
解得AD＝2.
答案：A
二、填空题(每小题5分，共15分)
6.
如图，△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝2，点D在BC边上，∠ADC＝45°，则AD的长度等于________．
解析：在△ABC中，由余弦定理，
得cosC＝＝，
所以sinC＝.
在△ADC中，由正弦定理，
得AD＝＝＝.
答案：
7．在△ABC中，三边a，b，c与面积S的关系式为a2＋4S＝b2＋c2，则角A＝________.
解析：4S＝b2＋c2－a2＝2bccosA，
∵4·bcsinA＝2bccosA，∴tanA＝1，
又∵A∈(0°，180°)，∴A＝45°.
答案：45°
8.
如图，在△ABC中，AB＝a，AC＝b，△BCD为等边三角形，则当四边形ABDC的面积最大时，∠BAC＝________.
解析：设∠BAC＝θ，
则BC2＝a2＋b2－2abcosθ，
所以S四边形ABDC＝S△ABC＋S△BCD
＝absinθ＋BC2
＝(a2＋b2)＋absin(θ－60°)，
则当∠BAC＝θ＝150°时，S四边形ABDC取得最大值．
答案：150°
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cosB＝，b＝2.
(1)当A＝30°时，求a的值；
(2)当△ABC的面积为3时，求a＋c的值．
解析：(1)因为cosB＝>0，B∈(0°，90°)，所以sinB＝.
由正弦定理＝可得＝，
所以a＝.
(2)因为△ABC的面积S＝ac·sinB，
sinB＝，所以ac＝3，ac＝10.
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB，
即4＝a2＋c2－ac＝a2＋c2－16，
即a2＋c2＝20.
所以(a＋c)2－2ac＝20，(a＋c)2＝40.
因为a＋c>0，所以a＋c＝2.
10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，求证：－＝c.
证明：由余弦定理的推论得cosB＝，cosA＝，代入等式右边，
得右边＝c＝＝＝－＝左边，
所以－＝c.
|能力提升|(20分钟，40分)
11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S表示△ABC的面积，若acosB＋bcosA＝csinC，S＝(b2＋c2－a2)，则B的度数为( )
A．90° B．60°
C．45° D．30°
解析：因为acosB＋bcosA＝csinC，
由正弦定理可得
sinAcosB＋cosAsinB＝sin2C，
即sin(A＋B)＝sin2C，
因为sinC≠0，所以sinC＝1，
故C＝90°，
又S＝bcsinA＝(b2＋c2－a2)，
所以sinA＝＝cosA，
所以tanA＝1，
故A＝45°，所以B＝45°，故选C.
答案：C
12．在△ABC中，AB＝，点D是BC的中点，且AD＝1，∠BAD＝30°，则△ABC的面积为________．
解析：因为AB＝，AD＝1，∠BAD＝30°，
所以S△ABD＝××1×sin30°＝.
又因为D为BC的中点，所以S△ABC＝2S△ABD＝.
答案：
13．(淄博六中期末)在△ABC中，cos2A＝cos2A－cosA.
(1)求角A的大小；
(2)若a＝3，sinB＝2sinC，求S△ABC.
解析：(1)由已知得(2cos2A－1)＝cos2A－cosA，
所以cosA＝.
因为0<A<π，所以A＝.
(2)由＝可得＝＝2，
所以b＝2c.
因为cosA＝＝＝，
所以c＝，b＝2，
所以S△ABC＝bcsinA＝×2××＝.
14．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2＋c2－b2＝acsinB.
(1)求角B的大小；
(2)若b＝，且A∈，求边长c的取值范围．
解析：(1)在△ABC中，由余弦定理，
得a2＋c2－b2＝2accosB.
因为a2＋c2－b2＝acsinB，
所以2accosB＝acsinB，
所以tanB＝.
又因为0<B<π，所以B＝.
(2)因为A＋B＋C＝π，
所以C＝π－A－B＝π－A.
由正弦定理，得＝＝＝2.
所以c＝2sinC＝2sin.
因为<A<，
所以<－A<，
所以<sin<1.
所以1<c<2.
即边长c的取值范围是(1,2)．
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