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三角形中的几何计算
A级 基础巩固
一、选择题
1．在△ABC中，若a<b<c，且c2<a2＋b2，则△ABC为( B )
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．不存在
[解析] ∵a<b<c，且c2<a2＋b2，∴∠C为锐角．
又∵∠C为最大角．故选B．
2．已知三角形ABC的面积为，且b＝2，c＝2，则角A等于( D )
A．30° B．30°或150°
C．60° D．60°或120°
[解析] ∵S△ABC＝，∴bcsinA＝.
即×2×2×sinA＝，∴sinA＝.
∴A＝60°或120°.
3．在△ABC中，A＝，AB＝2，S△ABC＝，则BC的长为( C )
A． B．7
C． D．3
[解析] ∵S△ABC＝AB·AC·sinA＝×2×AC×＝，∴AC＝1.
则BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcosA＝22＋12－2×2×1×＝3，
∴BC＝，故选C．
4．已知锐角三角形ABC中，||＝4，||＝1，△ABC的面积为，则·的值为( A )
A．2 B．－2
C．4 D．－4
[解析] 由题意，得S△ABC＝||·||·sinA＝×4×1×sinA＝，
∴sinA＝，又∵A∈(0，)，
∴cosA＝.
∴·＝||·||·cosA＝4×1×＝2.
5．在△ABC中，lga－lgb＝lgsinB＝－lg，∠B为锐角，则∠A的值是( A )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
[解析] 由题意得＝sinB＝，又∵∠B为锐角，
∴B＝45°，又＝＝，sinA＝sinB×＝，
∴∠A＝30°.
6．在△ABC中，周长为7.5 cm，且sinA﹕sinB﹕sinC＝4﹕5﹕6，下列结论：
①a﹕b﹕c＝4﹕5﹕6
②a﹕b﹕c＝2﹕﹕
③a＝2 cm，b＝2.5 cm，c＝3 cm
④A﹕B﹕C＝4﹕5﹕6
其中成立的个数是( C )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
[解析] 由正弦定理知a﹕b﹕c＝4﹕5﹕6，故①对，②错，④错；结合a＋b＋c＝7.5，知a＝2，b＝2.5，c＝3，∴③对，∴选C．
二、填空题
7．有一三角形的两边长分别为3 cm,5 cm，其夹角α的余弦值是方程5x2－7x－6＝0的根，则此三角形的面积是6cm2.
[解析] 解方程 5x2－7x－6＝0，得x＝2或x＝－，
∵|cosα|≤1，∴cosα＝－，sinα＝.
故S△＝×3×5×＝6(cm2)．
8．如图，△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝2，点D在BC边上，∠ADC＝45°，则AD的长度等于.
[解析] 在△ABC中，由余弦定理得：
cosC＝＝＝，
∴∠C＝30°.
在△ADC中由正弦定理，得：＝，
∴＝.故AD＝.
三、解答题
9．四边形ABCD的内角A与C互补，AB＝1，BC＝3, CD＝DA＝2.
(1)求C和BD；
(2)求四边形ABCD的面积．
[解析] (1)由题设及余弦定理得
BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcosC
＝13－12cosC． ①
BD2＝AB2＋DA2－2AB·DAcosA
＝5＋4cosC． ②
由①，②得cosC＝，故C＝60°，BD＝.
(2)四边形ABCD的面积
S＝AB·DAsinA＋BC·CDsinC
＝(×1×2＋×3×2)sin60°＝2.
10．已知a、b、c分别为△ABC内角A、B、C的对边，sin2B＝2sin Asin C．
(1)若a＝b，求cos B；
(2)设B＝90°，且a＝，求△ABC的面积．
[解析] (1)由题设及正弦定理，得b2＝2ac.
又a＝b，可得b＝2c，a＝2c.
由余弦定理，得cos B＝＝.
(2)由(1)知b2＝2ac.
因为B＝90°，由勾股定理，得a2＋c2＝b2.
故a2＋c2＝2ac，得c＝a＝.
所以△ABC的面积为××＝1.
B级 素养提升
一、选择题
1．已知锐角三角形的边长分别为1,3，a，则a的取值范围是( B )
A．(8,10) B．(2，)
C．(2，10) D．(，8)
[解析] 若a是最大边，则，∴3≤a<.
若3是最大边，则，
∴3>a>2，∴2<a<.
2．在△ABC中，若sinA﹕sinB﹕sinC＝k﹕(k＋1)﹕2k，则k的取值范围是( D )
A．(2，＋∞) B．(－∞，0)
C．(－，0) D．(，＋∞)
[解析] 由正弦定理知a﹕b﹕c＝sinA﹕sinB﹕sinC＝k﹕(k＋1)﹕2k，又因为三角形两边之和大于第三边，
∴，所以k>，故选D．
3．在△ABC中，∠A＝60°，b＝1，△ABC的面积为，则为( B )
A． B．
C． D．2
[解析] 由bcsinA＝得c＝4.
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝13，故a＝.
所以＝＝，选B．
4．在△ABC中，已知a＝x，b＝2，B＝60°，如果△ABC有两解，则x的取值范围是( C )
A．x>2 B．x<2
C．2<x< D．2<x≤
[解析] 欲使△ABC有两解，须asin60°<b<a.
即x<2<x，∴2<x<.
二、填空题
5．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且BC边上的高为a，则＋取得最大值时，内角A的值为.
[解析] 在△ABC中，由题意得：
×a×a＝×bcsinA⇒a2＝bcsinA．
由余弦定理得：
a2＝bcsinA＝b2＋c2－2bccosA．
所以sinA＋2cosA＝＋，
即＋＝(sinA＋cosA)＝sin(A＋)，
所以当A＝时，＋取得最大值．
故答案为.
6．(2018·全国卷Ⅰ文，16)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bsinC＋csinB＝4asinBsinC，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为 .
[解析] 根据正弦定理有：
sinBsinC＋sinCsinB＝4sinAsinBsinC，
所以2sinBsinC＝4sinAsinBsinC，
因为B，C∈(0，π)，
所以sinB≠0，sinC≠0，
所以sinA＝.因为b2＋c2－a2＝8，
所以cosA＝＝＝，
所以bc＝，所以S＝bcsinA＝.
三、解答题
7．如图，在平面四边形ABCD中，AD＝1，CD＝2，AC＝.
(1)求cos∠CAD的值；
(2)若cos∠BAD＝－，sin∠CBA＝，求BC的长．
[解析] (1)由△DAC关于∠CAD的余弦定理可得
cos∠CAD＝＝＝，
所以cos∠CAD＝.
(2)因为∠BAD为四边形内角，所以sin∠BAD>0且sin∠CAD>0，则由正余弦的关系可得
sin∠BAD＝＝且sin∠CAD＝＝，
再有正弦的和差角公式可得
sin∠BAC＝sin(∠BAD－∠CAD)
＝sin∠BADcos∠CAD－sin∠CADcos∠BAD
＝×－×(－)＝＋＝，
再由△ABC的正弦定理可得
＝⇒BC＝×＝3.
8．在△ABC中，C－A＝，sinB＝.
(1)求sinA的值；
(2)设AC＝，求△ABC的面积．
[解析] (1)由C－A＝和A＋B＋C＝π，
得2A＝－B,0<A<.∴cos2A＝sinB，
即1－2sin2A＝，∴sinA＝.
(2)由(1)得cosA＝.又由正弦定理，得＝，
∴BC＝＝＝3.
∵C－A＝，∴C＝＋A，
∴sinC＝sin(＋A)＝cosA＝，
∴S△ABC＝AC·BC·sinC＝××3×＝3.
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