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7.3 正切函数的诱导公式
填一填
正切函数的诱导公式
(1)tan(2π＋α)＝________.
(2)tan(2π－α)＝________.
(3)tan(－α)＝________.
(4)tan(π－α)＝________.
(5)tan(π＋α)＝________.
(6)tan＝________.
(7)tan＝________.
判一判
1.函数y＝tan x为奇函数、对任意x∈R都有tan(－x)＝－tan x．( )
2．tan＝tan α.( )
3．tan＝cot α.( )
4．tan ＝tan α.( )
5．tan(α－2π)＝－tan α.( )
6．tan(α－π)＝－tan α.( )
7．tan＝－cot α.( )
8．tan＝tan α.( )
想一想
怎样理解正切函数的诱导公式？
提示：(1)公式的特点与记忆
2π±α，－α，π±α的正切函数值等于α的正切函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．为了便于记忆，也可简单地说成“函数名不变，符号看象限〞．
(2)利用“化切为弦〞的方法证明正切函数的诱导公式“化切为弦〞是指利用tan α＝，α∈R，且α≠＋kπ，k∈Z，把某角的正切函数值转化为该角正弦函数值与余弦函数值的商，再根据正弦、余弦的有关结论解决问题．
例如，tan(－α)＝＝＝－tan α.
(3)诱导公式的应用
利用诱导公式可把任意角的正切函数转化为锐角三角函数．即
思考感悟：
练一练
1.tan 300°的值为( )
A. B．－
C. D．－
2．假设tan(π＋α)＝－，那么tan(3π－α)的值为( )
A. B．2
C．－ D．－2
3．a＝tan，b＝cos，c＝sin，那么a，b，c的大小关系是( )
A．b>a>c B．a>b>c
C．b>c>a D．a>c>b
4．假设角α的终边上有一点P(－4,3)，那么
＝________.
知识点一
利用诱导公式求值
1.tan＝( )
A．－ B.
C．－ D.
2．求值：sin(－1 200°)×cos 1 290°＋cos(－1 020°)×sin(－1 050°)＋tan 855°.
知识点二
利用诱导公式化简
3.化简tan(－α)＋tan(3π＋α)＝( )
A．0 B．－2tan α
C．tan α D．2tan α
4．化简：.
综合知识
诱导公式的综合应用
5.假设600°角的终边上有一点(－4，a)，那么a的值是( )
A．4 B．±4
C．－4 D.
6．比拟大小：tan 211°________tan 392°.
根底达标
一、选择题
1．角α终边上有一点P(5n,4n)(n≠0)，那么tan(180°－α)的值是( )
A．－ B．－
C．± D．±
2．tan＋tan的值为( )
A.＋1 B.－1
C.＋1 D.－1
3．sinπ·cosπ·tan的值是( )
A．－ B.
C．－ D.
4．tan的值为( )
A．1 B．－1
C. D．－
5．tan(243°－α)＝，那么tan(－927°－α)的值为( )
A. B．－
C．－3 D．±3
6．cos α＝，那么sin(3π＋α)·cos(2π－α)·tan(π－α)等于( )
A．± B．±
C. D.
7．tan(5π＋α)＝m，那么的值为( )
A. B.
C．－1 D．1
8．以下不等式中，正确的选项是( )
A．tan>tan
B．tan<tan
C．tan<tan
D．tan>tan
二、填空题
9．tan α＝，且α为第一象限角，那么sin(π＋α)＋cos(π－α)＝________.
10．假设cos(π＋α)＝－，且α∈，那么tan＝________.
11．tan＝－5，tan的值为________．
12．f(x)＝asin x＋btan x＋1满足f＝7，那么f＝________.
三、解答题
13．求值：sin(－1 200°)·tan(－30°)－cos 585°·tan(－1 665°)．
14．(1)化简：；
(2)求值：.
能力提升
15.证明：＝－cos α.
16．(1)计算：sin＋cos＋tan；
(2)化简：.
7．3 正切函数的诱导公式
一测 根底过关
填一填
(1)tan α (2)－tan α (3)－tan α
(4)－tan α (5)tan α (6)－cot α
(7)cot α
判一判
1．× 2.× 3.× 4.× 5.× 6.×
7．√ 8.×
练一练
1．B 2.A 3.A 4.－
二测 考点落实
1．解析：tan＝tan＝－tan
＝－，应选A.
答案：A
2．解析：原式＝－sin(120°＋3×360°)×cos(210°＋3×360°)＋cos(300°＋2×360°)×[－sin(330°＋2×360°)]＋tan(135°＋2×360°)
＝－sin 120°×cos 210°－cos 300°×sin 330°＋tan 135°
＝－sin(180°－60°)×cos(180°＋30°)－cos(360°－60°)×sin(360°－30°)＋tan(180°－45°)
＝sin 60°×cos 30°＋cos 60°×sin 30°－tan 45°
＝×＋×－1
＝0.
3．解析：原式＝－tan α＋tan α＝0.
答案：A
4．解析：
＝
＝＝－tan α.
5．解析：由题意，得tan 600°＝，
那么a＝－4·tan 600°＝－4tan(540°＋60°)＝－4tan 60°＝－4.
答案：C
6．解析：tan 211°＝tan(180°＋31°)＝tan 31°.
tan 392°＝tan(360°＋32°)＝tan 32°，
因为tan 31°＜tan 32°
所以tan 211°＜tan 392°.
答案：＜
三测 学业达标
1．解析：∵角α终边上有一点P(5n,4n)，
∴tan α＝.
∴tan(180°－α)＝－tan α＝－.
答案：A
2．解析：tan＋tan＝tan＋tan
＝tan＋tan＝＋1.
答案：A
3．解析：sinπ·cosπ·tan＝
sincostan
＝－sin·tan
＝－··(－)＝－.
答案：A
4．解析：练习公式tan(－α)＝－tan α，
tan＝－tan
＝－tan
＝－tan ＝－1.应选B.
答案：B
5．解析：tan(243°－α)＝tan(180°＋63°－α)
＝tan(63°－α)
＝，
而(27°＋α)＋(63°－α)＝90°，
所以tan(27°＋α)＝3，
所以tan(－927°－α)＝－tan(927°＋α)
＝－tan(5×180°＋27°＋α)
＝－tan(27°＋α)
＝－3.
答案：C
6．解析：原式＝sin(π＋α)·cos(－α)·tan(π－α)＝(－sin α)·cos α·(－tan α)＝sin2α，由cos α＝，得sin2α＝1－cos2α＝.
答案：D
7．解析：因为tan(5π＋α)＝tan α＝m，所以原式＝＝＝＝.
答案：A
8．解析：tan＝tan<tan，故A不正确；tan＝tan<tan，故B不正确；tan＝tan，tan＝tan，∵>，∴tan>tan，∴tan>tan，故C不正确；tan＝tan＝tan＝－tan，tan＝tan＝tan＝－tan.又tan>tan，
∴tan<tan，应选D.
答案：D
9．解析：因为tan α＝，α为第一象限角，所以sin α＝，cos α＝，所以sin(π＋α)＋cos(π－α)＝－sin α－cos α＝－.
答案：－
10．解析：因为cos(π＋α)＝－，
所以cos α＝，因为α∈，
所以sin α＝－＝－，
所以tan＝tan
＝tan＝
＝＝＝＝.
答案：
11．解析：tan＝－tan
＝－tan＝－5，
∴tan＝5.
答案：5
12．解析：依题意得f＝asin＋btan＋1＝7，所以asin＋btan＝6，所以f＝asinπ＋btanπ＋1
＝asin＋btan＋1
＝－asin－btan＋1
＝－＋1
＝－6＋1＝－5.
答案：－5
13．解析：sin(－1 200°)·tan(－30°)－cos 585°·tan(－1 665°)
＝－sin 1 200°·－cos(720°－135°)·tan(－9×180°－45°)
＝sin(1 080°＋120°)－cos 135°·tan(－45°)
＝－×(－1)＝.
14．解析：(1)原式
＝
＝
＝－cos α.
(2)原式＝
＝＝＝2－.
15．证明：因为左边
＝
＝
＝－cos α＝右边，所以等式成立．
16．解析：(1)sin＋cos＋tan
＝sin＋cos＋tan
＝sin＋cos＋tan
＝－sin＋cos＋tan＝－＋＋1＝0.
(2)
＝＝1.
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