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第一章测评
(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.(2018全国卷Ⅱ)已知集合A={1,3,5,7},B={2,3,4,5},则A∩B=( )
A.{3} B.{5}
C.{3,5} D.{1,2,3,4,5,7}
解析集合A、B的公共元素为3,5,故A∩B={3,5}.
答案C
2.(2018全国卷Ⅲ)已知集合A={x|x-1≥0},B={0,1,2},则A∩B=( )
A.{0} B.{1} C.{1,2} D.{0,1,2}
解析由题意得A={x|x≥1},B={0,1,2},∴A∩B={1,2}.
答案C
3.(2018天津高考改编)设x∈R,则“x3>8”是“|x|>2”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析由x3>8,所以x>2⇒|x|>2;当|x|>2时,则x>2或x<-2,不能得到x3>8,比如x=-3.所以“x3>8”是“|x|>2”的充分不必要条件.
答案A
4.(多选)M={1,2,m2-3m-1},N={-1,3},M∩N={3},则m的值为( )
A.4 B.-1 C.-4 D.1
解析由题意知,3∈M,∴m2-3m-1=3,解得m=-1或4.
经检验m=-1或4均满足M∩N={3},
∴m的值为4或-1.
答案AB
5.(多选)已知集合A={2,3},B={x|mx-6=0},若B⊆A,则实数m等于( )
A.3或2 B.1
C.0 D.-1
解析当m=0时,方程mx-6=0无解,B=⌀,满足B⊆A;当m≠0时,B=6m,因为B⊆A,所以6m=2或6m=3,解得m=3或m=2.
答案AC
6.命题“∀x∈R,∃n∈N+,使得n≥x2”的否定形式是( )
A.∀x∈R,∃n∈N+,使得n<x2
B.∀x∈R,∀n∈N+,使得n<x2
C.∃x∈R,∃n∈N+,使得n<x2
D.∃x∈R,∀n∈N+,使得n<x2
解析由含量词命题的否定格式,可知首先改写量词,
而n≥x2的否定为n<x2.
故选D.
答案D
7.已知全集U=R,A={x|x≤0},B={x|x≥1},则集合∁U(A∪B)=( )
A.{x|x≥0} B.{x|x≤1}
C.{x|0≤x≤1} D.{x|0<x<1}
解析∵U=R,A={x|x≤0},B={x|x≥1},
∴A∪B={x|x≤0,或x≥1},
∴∁U(A∪B)={x|0<x<1}.
答案D
8.
已知M,N都是U的子集,则图中的阴影部分表示( )
A.M∪N
B.∁U(M∪N)
C.(∁UM)∩N
D.∁U(M∩N)
解析图中的阴影部分为M∪N的补集.
答案B
9.满足M⊆{a1,a2,a3,a4},且M∩{a1,a2,a3}={a1,a2}的集合M的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析集合M必须含有元素a1,a2,并且不能含有元素a3,故M={a1,a2}或{a1,a2,a4}.
答案B
10.
设全集U是实数集R,M={x|x>2或x<-2},N={x|x≥3或x<1}都是U的子集,则图中阴影部分所表示的集合是( )
A.{x|-2≤x<1} B.{x|-2≤x≤2}
C.{x|1<x≤2} D.{x|x<2}
解析∵图中阴影部分表示:x∈N且x∉M,∴x∈N∩∁UM.∴∁UM={x|-2≤x≤2},
∴N∩∁UM={x|-2≤x<1}.故选A.
答案A
11.设集合A={x|a-1<x<a+1,x∈R},B={x|1<x<5,x∈R}.若A∩B=⌀,则实数a的取值范围是( )
A.{a|0≤a≤6}
B.{a|a≤2,或a≥4}
C.{a|a≤0,或a≥6}
D.{a|2≤a≤4}
解析∵A={x|a-1<x<a+1,x∈R},∴A≠⌀.
又A∩B=⌀,
如图可知a+1≤1或a-1≥5.
故a≤0或a≥6.
答案C
12.下列选项中p是q的必要不充分条件的是( )
A.p:a+c>b+d,q:a>b且c>d
B.p:a>2,q:a>1
C.p:x=1,q:x2=x
D.p:a=1,q:(a-1)2=0
解析B选项中,由p可推出q,但是q推不出p成立,因而p为q的充分不必要条件.
C选项中,q为x=0或1,不能够推出p成立,因而p为q的充分不必要条件.
D选项中,p、q可以互推,因此p为q的充要条件.
答案A
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.若U={1,2,3,4,5,6,7,8},A={1,2,3},B={5,6,7},则∁UA= ,(∁UA)∩(∁UB)= .
解析∁UA={4,5,6,7,8},(∁UA)∩(∁UB)={4,5,6,7,8}∩{1,2,3,4,8}={4,8}.
答案{4,5,6,7,8} {4,8}
14.设全集I={1,3,5,7,9},集合A={1,|a-5|,9},∁IA={5,7},则a的值为 .
解析∵∁IA={5,7},∴A={1,3,9}.
∴|a-5|=3,解得a=2或8.
答案2或8
15.命题“∃x∈R,x2-x+1=0”的否定是 .
答案∀x∈R,x2-x+1≠0
16.已知全集U={0,1,2,3},A={x∈U|x2+mx=0},若∁UA={1,2},则实数m= .
解析∵∁UA={1,2},∴A={0,3},
∴0,3是关于x的方程x2+mx=0的两个根,
∴m=-3.
答案-3
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)求证:关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0.
证明充分性:若a+b+c=0,所以b=-a-c,
所以ax2+bx+c=0化为ax2-(a+c)x+c=0,
所以(ax-c)(x-1)=0,所以当x=1时,ax2+bx+c=0,
所以方程ax2+bx+c=0有一个根为1.
必要性:若方程ax2+bx+c=0有一个根为1,
所以x=1满足方程ax2+bx+c=0,所以a+b+c=0.
综上可知,关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0.
18.(12分)已知集合A={x|2≤x<7},B={x|3<x<10},C={x|x<a}.
(1)求A∪B,(∁RA)∩B.
(2)若A∩C≠⌀,求a的取值范围.
解(1)因为A={x|2≤x<7},B={x|3<x<10},
所以A∪B={x|2≤x<10}.
因为A={x|2≤x<7},所以∁RA={x|x<2或x≥7},
则(∁RA)∩B={x|7≤x<10}.
(2)因为A={x|2≤x<7},C={x|x<a},且A∩C≠⌀,所以a>2,所以a的取值范围是{a|a>2}.
19.(12分)已知全集U={x|x<10,x∈N+},且(∁UA)∩B={1,9},(∁UA)∩(∁UB)={6,8},A∩B={2,4},求集合A和B.
解依题意U={1,2,3,4,5,6,7,8,9},作出维恩图,如图所示,易知A={2,3,4,5,7},B={1,2,4,9}.
20.(12分)已知集合A={x|x2-5x+6=0},B={x|mx+1=0},且A∪B=A,求由实数m的值组成的集合.
解A={x|x2-5x+6=0}={2,3},A∪B=A,
∴B⊆A.
①当m=0时,B=⌀,B⊆A;
②当m≠0时,由mx+1=0,得x=-1m.
∵B⊆A,∴-1m∈A.
∴-1m=2或-1m=3,得m=-12或m=-13.
∴满足题意的m的集合为0,-12,-13.
21.(12分)已知集合A={x|a<x<3a},其中a>0,B={x|2<x≤3},
(1)若a=1,求A∩B.
(2)若“x∈∁RA”是“x∈B”的必要不充分条件,求实数a的取值范围.
解(1)由于a=1,A={x|1<x<3},B={x|2<x≤3},所以A∩B={x|2<x<3}.
(2)因为A={x|a<x<3a},所以∁RA={x|x≤a或x≥3a},
因为“x∈∁RA”是“x∈B”的必要不充分条件,
所以B⫋∁RA,所以3≤a或3a≤2,
即0<a≤23或a≥3,
所以实数a的取值范围是0,23∪[3,+∞).
22.(12分)已知集合A={x∈R|ax2-3x+2=0,a∈R}.
(1)若A是空集,求a的取值范围;
(2)若A中只有一个元素,求a的值,并把这个元素写出来;
(3)若A中至多有一个元素,求a的取值范围.
解集合A是方程ax2-3x+2=0在实数范围内的解组成的集合.
(1)A是空集,即方程ax2-3x+2=0无解,得a≠0,Δ=(-3)2-8a<0,
∴a>98,
即实数a的取值范围是98,+∞.
(2)当a=0时,方程只有一解,方程的解为x=23;
当a≠0,且Δ=0,即a=98时,方程有两个相等的实数根,A中只有一个元素43,
∴当a=0或a=98时,A中只有一个元素,分别是23或43.
(3)A中至多有一个元素,包括A是空集和A中只有一个元素两种情况,根据(1),(2)的结果,得a=0或a≥98,即a的取值范围是aa=0,或a≥98.
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