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3．1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
考试标准
课标要点
学考要求
高考要求
二倍角的正弦、余弦、正切公式
c
c
倍角公式的应用
b
b
知识导图
学法指导
1.二倍角公式就是上一节所讲的和(差)角公式的特殊情形(α＝β)．
2．本节所讲的二倍角具有相对性，注意体会公式的本质．
3．公式要记忆准确，并会灵活运用其变形公式.
1.二倍角公式
记法
公式
推导
S2α
sin 2α＝2sin_αcos_α
S(α＋β)S2α
C2α
cos 2α＝cos2α－sin2α
C(α＋β)C2α
cos 2α＝1－2sin2α
cos 2α＝2cos2α－1
利用cos2α＋sin2α＝1
消去sin2α或cos2α
T2α
tan 2α＝
T(α＋β)T2α
细解“倍角公式”
(1)要注意公式运用的前提是所含各三角函数有意义．
(2)倍角公式中的“倍角”是相对的，对于两个角的比值等于2的情况都成立，如6α是3α的2倍，3α是的2倍……这里蕴含着换元思想．这就是说，“倍”是相对而言的，是描述两个数量之间的关系的．
(3)注意倍角公式的灵活运用，要会正用、逆用、变形用．
2．二倍角公式的变形
(1)升幂公式：1＋cos 2α＝2cos2α；
1－cos 2α＝2sin2α.
(2)降幂公式：cos2α＝；
sin2α＝.
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角．( )
(2)存在角α，使得sin 2α＝2sin α成立．( )
(3)对于任意的角α，cos 2α＝2cos α都不成立．( )
答案：(1)× (2)√ (3)×
2. sin 15°cos 15°的值等于( )
A. B.
C. D.
解析：原式＝×2sin 15°cos 15°＝×sin 30°＝.
答案：B
3．计算1－2sin222.5°的结果等于( )
A. B.
C. D.
解析：1－2sin222.5°＝cos 45°＝.
答案：B
4．已知α为第三象限角，cos α＝－，则tan 2α＝________.
解析：因为α为第三象限角，cos α＝－，
所以sin α＝－＝－，
tan α＝，tan 2α＝＝＝－.
答案：－
类型一 二倍角的正用、逆用
例1 (1)若sin α＝，则cos 2α＝( )
A.
B.
C．－
D．－
(2)计算：cos 20°cos 40°cos 80°＝________；
(3)计算：＝________.
【解析】 (1)cos 2α＝1－2 sin2α＝1－2×2＝.
(2)原式＝
＝
＝＝＝.
(3)原式＝＝＝2.
【答案】 (1)B (2) (3)2
(1)cos 2α＝1－2sin2α.
(2)构造二倍角的正弦公式，分子视为1，分子分母同时乘以2sin 20 °.
(3)运用二倍角的正切化简求值．
方法归纳
应用二倍角公式化简(求值)的策略
(1)化简求值关注四个方向：分别从“角”“函数名”“幂”“形”着手分析，消除差异．
(2)公式逆用：主要形式有2sin αcos α＝sin 2α，sin αcos α＝sin 2α，cos α＝，cos2α－sin2α＝cos 2α，＝tan 2α.
跟踪训练1 求下列各式的值．
(1)sincos；
(2)1－2sin2750°；
(3)；
(4)coscos.
【解析】 (1)原式＝＝＝.
(2)原式＝cos(2×750°)＝cos 1 500°
＝cos(4×360°＋60°)
＝cos 60°＝.
(3)原式＝tan(2×150°)＝tan 300°＝tan(360°－60°)
＝－tan 60°＝－.
(4)原式＝
＝＝＝＝.
利用二倍角公式求值，注意二倍角是相对的，例如是的二倍，π是的二倍．
类型二 给值求值
例2 (1)已知α∈，sin α＝，则sin 2α＝__________，cos 2α＝____________，tan 2α＝____________；
(2)已知sin＝，0<x<，求cos 2x的值．
【解析】 (1)因为α∈，sin α＝，
所以cos α＝－，
所以sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－，
cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×2＝，
tan 2α＝＝－，故填－，，－.
(2)因为x∈，所以－x∈，
又因为sin＝，所以cos＝，
所以cos 2x＝sin＝2sincos
＝2××＝.
【答案】 (1)－，，－ (2)见解析
(1)由sinα求cosα，再利用二倍角公式求值．
(2)由sin，求cos.利用二倍角求sin，再利用诱导公式求值．
方法归纳
三角函数求值问题的一般思路
(1)一是对题设条件变形，将题设条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢；另一种是对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论．
(2)注意几种公式的灵活应用，如：
①sin 2x＝cos＝cos＝2cos2－x－1＝1－2sin2；
②cos 2x＝sin＝sin
＝2sincos.
跟踪训练2 本例(2)条件不变，求sin2x的值．
解析：由sin＝，
所以cos x－sin x＝，
所以cos2x－sin xcos x＋sin2x＝，
所以sin xcos x＝，所以sin 2x＝.
先化简sin，再平方可得sin2x.
类型三 简单的化简证明
例3 (1)已知＝，则tan α＋等于( )
A.－8
B．8
C.
D．－
(2)求证：cos2(A＋B)－sin2(A－B)＝cos 2Acos 2B.
【解析】 (1)＝＝cos α－sin α＝⇒(cos α－sin α)2＝⇒sin αcos α＝－，所以tan α＋＝＋＝＝－8.
(2)左边＝－
＝
＝(cos 2Acos 2B－sin 2Asin 2B＋cos 2Acos 2B＋sin 2Asin 2B)
＝cos 2Acos 2B＝右边，所以等式成立．
【答案】 (1)A (2)见解析
(1)利用二倍角的余弦、两角和的正弦展开，再由切化弦化简求值．
(2)可考虑从左向右证的思路：先把左边降幂扩角，再用余弦的和、差公式转化为右边形式．
方法归纳
三角函数式的化简与证明
(1)化简三角函数式的要求：①能求出值的尽量求出；②使三角函数的种类与项数尽量少；③次数尽量低．
(2)证明三角恒等式的方法：①从复杂的一边入手，证明一边等于另一边；②比较法，左边－右边＝0，左边/右边＝1；③分析法，从要证明的等式出发，一步步寻找等式成立的条件．
跟踪训练3 化简：
(1) ，其中α∈；
(2)－，其中θ∈(0，π)．
解析：(1)∵α∈，∴cos α>0，∈，
∴cos<0.
故原式＝＝＝＝＝－cos.
(2)原式＝
－
＝ －
＝－.
①当θ∈时，∈，cos≥sin，此时原式＝sin＋cos－cos＋sin＝2sin.
②当θ∈时，∈，cos<sin，此时原式＝sin＋cos－sin＋cos＝2cos.
利用二倍角公式及变形公式化简，同时注意角的范围．
3.1.3
[基础巩固](25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．已知sin α＝，cos α＝，则sin 2α等于( )
A. B.
C. D.
解析：sin 2α＝2sin αcos α＝.
答案：D
2．已知cos α＝－，则cos 2α等于( )
A. B．－
C. D．－
解析：cos 2α＝2cos2α－1＝－.
答案：B
3．已知sin α＝3cos α，那么tan 2α的值为( )
A．2 B．－2
C. D．－
解析：因为sin α＝3cos α，所以tan α＝3，所以tan 2α＝＝＝－.
答案：D
4．已知tan θ＝，则cos2θ＋sin 2θ的值为( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：cos2θ＋sin 2θ＝＝＝＝.故选B.
答案：B
5．已知α∈(0，π)，且sin α＋cos α＝，则cos 2α的值为( )
A．± B.
C．－ D．－
解析：因为sin α＋cos α＝，α∈(0，π)，
所以1＋2sin αcos α＝，
所以sin 2α＝－，且sin α>0，cos α<0，
所以cos α－sin α＝－＝－，
所以cos 2α＝(cos α－sin α)(cos α＋sin α)＝－.故选C.
答案：C
二、填空题(每小题5分，共15分)
6.等于________．
解析：原式＝＝＝.
答案：
7．已知sin＋cos＝，那么sin θ＝________，cos 2θ＝________.
解析：∵sin＋cos＝，
∴2＝，
即1＋2sincos＝，∴sin θ＝，
∴cos 2θ＝1－2sin2θ＝1－2×2＝.
答案：
8．已知sin＝，则cos＝________.
解析：cos＝cos＝2cos2－1＝2sin2－1＝－.
答案：－
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．求下列各式的值．
(1)2cos2－1；
(2)；
(3)coscos；
(4)coscoscos.
解析：(1)2cos2－1＝cos＝cos＝.
(2)＝＝tan 60°＝.
(3)coscos＝cossin＝sin＝.
(4)coscoscos
＝cos··
＝
＝
＝＝＝－.
10．化简：(1)－；
(2).
解析：(1)原式＝
＝＝tan2θ
(2)原式＝
＝
＝＝
＝1
[能力提升](20分钟，40分)
11．已知sin 2α＝，则cos2＝( )
A. B.
C. D.
解析：∵sin 2α＝，∴cos2＝＝＝＝.
答案：A
12．已知α为第二象限角，且sin α＝，求＝________.
解析：原式＝＝.
∵α为第二象限角，且sin α＝，
∴sin α＋cos α≠0，cos α＝－，
∴原式＝＝－.
答案：－
13．证明：＝tan θ.
证明：证法一 左边＝
＝
＝＝
＝＝tan θ＝右边．
∴原式成立．
证法二：左边＝
＝＝
＝tan θ＝右边．
∴原式成立．
证法三：左边＝
＝
＝
＝
＝＝tan θ＝右边．
∴原式成立．
14．已知α，β为锐角，tan α＝，cos(α＋β)＝－.
(1)求cos 2α的值；
(2)求tan(α－β)的值．
解析：(1)因为tan α＝，tan α＝，所以sin α＝cos α.
因为sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝，
因此，cos 2α＝2cos2 α－1＝－.
(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)．
又因为cos(α＋β)＝－，所以sin(α＋β)＝＝，
因此tan(α＋β)＝－2.
因此tan α＝，所以tan 2α＝＝－，
因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝＝－.
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