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第十二讲 分式及其运算
1. 掌握分式的概念，能求出分式有意义，分式值为 0、为 1 的条件。
2. 掌握分式的基本性质，并能利用分式的基本性质将分式约分
3. 会进行分式的加减、乘法、除法、乘方运算。
1. 掌握分式方程的混合运算，了解验根的含义。
2. 掌握零指数幂、负指数幂的意义。
3. 会列出分式方程解简单的应用题。
一、分式的基本概念及性质
1. 概念：一般地，如果 A，B 表示两个整式，并且 B 中含有字母，那么式子 A∕B 叫做分式（B≠0）。
①在分式中 A 称为分式的分子，B 称为分式的分母。
②对于任意一个分式，分母都不能为 0，否则分式无意义。
③分式值为 0 的条件：在分母不等于 0 的前提下，分子等于 0，则分数值为 0。
2. 分式的基本性质和变形应用
（1） 分式的基本性质:分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为 0 的整式，分式的值不变。
（2） 约分:把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分．
3. 最简分式:一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式。约分时，一般将一个分式化为最简分式。
二、分式的运算
1．分式的四则运算：
①同分母分式加减法则:同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。
②异分母分式加减法则:异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算。
③分式的乘法法则:两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母。
④分式的除法法则:两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘。
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三、分式方程
1. 概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
2. 解分式方程的基本思想：将分式方程化为一元一次方程，复杂的（可化为一元二次方程）分式方程的基本思想也一样，就是设法将分式方程“转化”为整式方程。
考点/易错点 1
分式的约分步骤:①如果分式的分子和分母都是单项式或者是几个因式乘积的形式，将它们的公因式约去。
②分式的分子和分母都是多项式，将分子和分母分别分解因式，再将公因式约去。
考点/易错点 2
解分式方程的基本方法：
（1） 去分母法：去分母法是解分式方程的一般方法，在方程两边同时乘以各分式的最简公分母，使分式方 程转化为整式方程。但要注意，可能会产生增根。所以，必须验根。
①产生增根的原因:当最简公分母等于 0 时，这种变形不符合方程的同解原理，这时得到的整式方程的解不一定是原方程的解。
②检验根的方法：将整式方程得到的解代入原方程进行检验，看方程左右两边是否相等。
为了简便，可把解得的根直接代入最简公分母中，如果不使公分母等于 0，就是原方程的根;如果使公分母等于 0，就是原方程的增根。必须舍去。
（2） 换元法：为了解决某些难度较大的代数问题，可通过添设辅助元素(或者叫辅助未知数)来解决。换元法是解分式方程的一种常用技巧，利用它可以简化求解过程.
考点/易错点 3
用换元法解分式方程的一般步骤：
①设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式；
②解所得到的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值；
③把辅助未知数的值代回原设中，求出原未知数的值；
④检验做答。
【例 1】给定下面一列分式：𝑥3 ，﹣ 𝑥5 ， 𝑥7 ，﹣ 𝑥9，…，（其中 x 0）
𝑦 𝑦2
𝑦3
𝑦4 ≠
（1） 把任意一个分式除以前面一个分式，你发现了什么规律？
（2） 根据你发现的规律，试写出给定的那列分式中的第 7 个分式．
𝑦
𝑦
𝑥5
𝑥3
𝑥2
𝑥7
𝑥5
𝑥2 x2
【答案】解：（1）﹣𝑦2÷ 𝑦 =﹣ 𝑦 ；
（﹣ 2）=﹣ 𝑦 …规律是任意一个分式除以前面一个分式恒等于- y ；
3÷
x
15
（2）第 7 个分式应该是- ．
y7
x
2
【解析】依据题意，把任意一个分式除以前面一个分式，得到- ，则可以根据这个规律写出后续的分式。
y
【例 2】若 a
2007，b
2008，试不用将分数化小数的方法比较 a、b 的大小．观察 a、b 的特征，以及你比
=2008 =2009
较大小的过程，直接写出你发现的一个一般结论．
【答案】解：若 m、n 是任意正整数，且 m＞n，则𝑛 ＜ 𝑛+1 ．
𝑚 𝑚+1
若 m、n 是任意正实数，且 m＞n，则𝑛 ＜ 𝑛+1 ．
𝑚 𝑚+1
若 m、n、r 是任意正整数，且 m＞n；或 m、n 是任意正整数，r 是任意正实数，且 m＞n，则 𝑛 ＜ 𝑛+𝑟．
𝑚 𝑚+𝑟
若 m、n 是任意正实数，r 是任意正整数，且 m＞n；或 m、n、r 是任意正实数，且 m＞n，则 𝑛 ＜ 𝑛+𝑟．
𝑚 𝑚+𝑟
【解析】可推断出如果分式的分子和分母都加一个任意的正数后，得到的新的分式比原来的大．
【例 33+13
3+1
53+23
5+2
3】“约去”指数：如 3
3 = 3+2， 3
3 = 5+3，…
3 +2 5 +3
你见过这样的约分吗？面对这荒谬的约分，一笑之后，再认真检验，发现其结果竟然正确！这是什么原因？
𝑎3+𝑏3
𝑎+𝑏
仔细观察式子，我们可作如下猜想：
3 = 𝑎+（𝑎﹣𝑏
，试说明此猜想的正确性．（供参考：
x3+y3=（x+y）（x2﹣xy+y2））
𝑎3+（𝑎﹣𝑏） ）
证明：∵
【答案】 𝑎3+𝑏3
𝑎3+（𝑎﹣𝑏）
（𝑎+𝑏）（𝑎2﹣𝑎𝑏+𝑏2）
3=（𝑎+𝑎﹣𝑏）（𝑎2﹣𝑎2+𝑎𝑏+𝑎2﹣2𝑎𝑏+𝑏2
𝑎+𝑏
= ，
） 𝑎+𝑎﹣𝑏
∴
𝑎3+𝑏3
= 𝑎+𝑏
3
𝑎+（𝑎﹣𝑏
正确．
𝑎3+（𝑎﹣𝑏） ）
【解析】 3 3 2 2
𝑎3+𝑏3
𝑎+𝑏
根据 x +y =（x+y）（x ﹣xy+y ），证明
𝑎3+（𝑎﹣𝑏）
3 = 𝑎+（𝑎﹣𝑏
成立。
）
ç b c ÷ ç ÷ ç ÷a c a b
【例 4】已知 a+b+c=0，求a æ 1 + 1 ö + b æ 1 + 1 ö + c æ 1 + 1 ö 的值．
è ø è ø è ø
【答案】﹣3．
【答案】解：原式= a + a + b + b + c + c = a + c + a + b + b + c
b c c a a b b c a
-b -c
∵a+b+c=0，则 a+b=﹣c，a+c=﹣b，b+c=﹣a，∴原式= +
-a
+ = -3 ．
b c a
-3
【例 5】计算： æ 1 ö +|3﹣π|+10．
ç ÷
è ø
【答案】2
+π﹣2．
【解析】解：原式= (
2 )3 +π﹣3+1=2
+π﹣3+1=2
+π﹣2．
【例 6】甲、乙两容器内都盛有酒精，甲有 v1 千克，乙有 v2 千克．甲中纯酒精与水（重量）之比为 m1：n1， 乙中纯酒精与水之比为 m2：n2，问将两者混合后所得液体中纯酒精与水之比是多少？
【答案】解：∵甲有 v1 千克，甲中纯酒精与水（重量）之比为 m1：n1，
∴甲中的纯酒精的重量为 v1× 𝑚1
= 𝑣1𝑚1 ；甲中的水的重量为 v1× 𝑛1
= 𝑣1𝑛1 ；
𝑚1+𝑛1
𝑚1+𝑛1
𝑚1+𝑛1
𝑚1+𝑛1
同理可得乙中的纯酒精的重量为 𝑣2𝑚2 ，水的重量为 𝑣2𝑛2 ，
𝑚2+𝑛2 𝑚2+𝑛2
∴ 两 者 混 合 后 所 得 液 体 中 纯 酒 精 与 水 之 比 为 ：（ 𝑣1𝑚1
𝑚1+𝑛1
+ 𝑣2𝑚2
𝑚2+𝑛2
） ÷ （ 𝑣1𝑛1
𝑚1+𝑛1
+ 𝑣2𝑛2 ）
𝑚2+𝑛2
=𝑣1𝑚1𝑚2+𝑣1𝑚1𝑛2+𝑣2𝑚1𝑚2+𝑣2𝑚2𝑛1．
𝑣1𝑚2𝑛1+𝑣1𝑛1𝑛2+𝑣2𝑚1𝑛2+𝑣2𝑛1𝑛2
【解析】分别求得甲容器中的纯酒精和水，乙容器中的纯酒精和水，让纯酒精相加后除以水的和即为将两者混合后所得液体中纯酒精与水之比．
1. 在学习第 9 章第 1 节“分式”时，小明和小丽都遇到了“当 x 取何值时， 𝑥+2 有意义”
𝑥2﹣4
小明的做法是：先化简 𝑥+2
= 𝑥+2 = 1 ，要使 1 有意义，必须 x﹣2≠0，即 x≠2；
𝑥2﹣4
（𝑥﹣2）（𝑥+2）
𝑥﹣2
𝑥﹣2
小丽的做法是：要使 𝑥+2 有意义，只须 x2﹣4≠0，即 x2≠4，所以 x1≠﹣2，x2≠2．
𝑥2﹣4
如果你与小明和小丽是同一个学习小组，请你发表一下自己的意见．
2. 下列分式，当 x 取何值时有意义．
（1）2𝑥+1； （2） 3+𝑥2 ．
3𝑥+2
2𝑥﹣3
2𝑥+𝑎
3. 已知分式𝑥﹣𝑏 ，当 x=2 时，分式的值为零；当 x=﹣2 时，分式没有意义．求 a+b 的值．
4. 已知x=﹣1时，分式(x﹣b)/(x+a)无意义，x=4时分式的值为零，则a+b= ．
5. 仔细阅读下面例，解答问题：
例：当 x 取何值时，分式
𝑥﹣1
的值为正？
2𝑥﹣1
解：依题意，得
𝑥﹣1
＞0
2𝑥﹣1
2𝑥﹣1＞0 2𝑥﹣1＜0
则有（1）
1﹣𝑥＞𝑜
或（2）
1﹣𝑥＜0
2
解不等式组（1）得：1＜x＜1；解不等式组（2）得：不等式组无解
2
∴不等式的解集是：1＜x＜1
∴当＜x＜1 时，分式的值为正
问题：仿照以上方法解答问题：当 x 取何值时，分式的值为负？
1．（1）x 取何值时，分式 ∣𝑥∣﹣3 的值为零？无意义？
𝑥2﹣6𝑥+9
（𝑚﹣1）（𝑚﹣3）
（2）当 m 等于什么时，分式
𝑚2﹣3𝑚+2 的值为零．
2. 若分式 2𝑥+4 的值恒为负值，试求 x 的取值范围．
𝑥2+3𝑥+2
4﹣1𝑎3+𝑎2
3. 不改变分式的值，把分式3 4 中的分子、分母的各项系数化为整数，并使次数最高项系数为正数．
1𝑎2﹣𝑎+1
2 3
4. 已知分式 𝑚+𝑛 的值是 a，如果用 m，n 的相反数代入这个分式所得的值是 b，问 a 与 b 的关系是否能确
1﹣𝑚𝑛
定？若能确定，求出它们的关系，若不能确定，请说明理由．
5 1 1
𝑥+2𝑥𝑦+𝑦
．已知𝑥+𝑦=3，求
的值．
2𝑥﹣3𝑥𝑦+2𝑦
𝑏2 𝑏5 𝑏8 𝑏11
6. 一组按规律排列的式子：﹣ ， ，﹣ ， ，…（ab≠0），（n 为正整数）分别写出第 5 个、第 8
𝑎 𝑎2 𝑎3 𝑎4
个、第 n 个式子？
7. 阅读下列解题过程，然后解题：
题目：已知 𝑥
= 𝑦 = 𝑧 （a、b、c 互不相等），求 x+y+z 的值．
𝑎﹣𝑏
𝑏﹣𝑐 𝑐﹣𝑎
解：设 𝑥
= 𝑦 = 𝑧 = 𝑘，则 x=k（a﹣b），y=k（b﹣c），z=k（c﹣a），
𝑎﹣𝑏
𝑏﹣𝑐 𝑐﹣𝑎
∴x+y+z=k（a﹣b+b﹣c+c﹣a）=k•0=0，∴x+y+z=0． 依照上述方法解答下列问题：
𝑦+𝑧
𝑧+𝑥
𝑥+𝑦
𝑥+𝑦﹣𝑧
已知：
8
𝑥 =
𝑛﹣13
𝑦 =
𝑧 ，其中 x+y+z≠0，求𝑥+𝑦+𝑧 的值．
．若使5𝑛+6 为可约分数，则自然数 n 的最小值应是多少？
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