初中数学课程标准解读终稿.pptx

义义义义务务务务教教教教育育育育数数数数学学学学课课课课程程程程标标标标准准准准解解解解读读读读（2 20 01 11 1版版）走进初中数学新课标走进初中数学新课标：数学基础教育中数学基础教育中“四基四基”的的实践研究实践研究南江县实验中学南江县实验中学 曾建东曾建东 南江县实验中学南江县实验中学南江县实验中学南江县实验中学2013.04.202013.04.20交流提纲一、对新课标（2011年版）的整体把握（宏观研读）；二、数学基础教育中“四基”的实践研究（微观研读）；三、初中数学教材整体研读（华东师大版）。一、新课标（2011年版）的宏观研读实验中学实验中学实验中学实验中学义义务务教教育育数数学学课课程程标标准准（20112011年版）年版）年版）年版）前言前言课程目标课程目标课程内容课程内容实施建议实施建议课程性质课程性质课程性质课程性质课程基本理念课程基本理念课程基本理念课程基本理念课程设计思路课程设计思路课程设计思路课程设计思路核心理念核心理念核心理念核心理念课程内容课程内容课程内容课程内容教学活动教学活动教学活动教学活动学习评价学习评价学习评价学习评价信息技术信息技术信息技术信息技术知识技能知识技能知识技能知识技能数学思考数学思考数学思考数学思考问题解决问题解决问题解决问题解决情感态度情感态度情感态度情感态度总目标总目标总目标总目标学段目标学段目标学段目标学段目标数与代数数与代数数与代数数与代数图形与几何图形与几何图形与几何图形与几何统计与概率统计与概率统计与概率统计与概率综合与实践综合与实践综合与实践综合与实践 1 1、“数学定义数学定义”的修改的修改 【课标课标】（实验稿）（实验稿）数学是人们对客观世界定性数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画、逐渐抽象概括、形成方法和理论，把握和定量刻画、逐渐抽象概括、形成方法和理论，并进行广泛应用的并进行广泛应用的过程过程。【课标课标】（20112011版）版）数学是研究数量关系和空间形数学是研究数量关系和空间形式的式的科学科学。(一一)“核心理念”的修改 2 2、“核心理念核心理念”的修改的修改 课标课标（实验稿）（实验稿）人人学有价值的数学，人人学有价值的数学，人人都能获得必需的数学，人人都能获得必需的数学，不同的人在数学上得到不同的发展不同的人在数学上得到不同的发展.【课标课标】（20112011版）版）人人都能获得良好的数学教育；人人都能获得良好的数学教育；不同的人在数学上得到不同的发展不同的人在数学上得到不同的发展.总体目标总体目标总体目标总体目标总体表述总体表述总体表述总体表述知知知知识识识识技技技技能能能能数数数数学学学学思思思思考考考考问问问问题题题题解解解解决决决决情情情情感感感感态态态态度度度度学段目标学段目标学段目标学段目标第一学段第一学段第一学段第一学段第二学段第二学段第二学段第二学段第三学段第三学段第三学段第三学段（二）“课程目标”的修改u基础知识基础知识u基本技能基本技能“双基双基”u基础知识基础知识u基本技能基本技能u基本思想基本思想u基本活动经验基本活动经验“四基四基”1、明确提出“四基”2、明确提出“四能”u分析问题分析问题u解决问题解决问题“双能双能”u发现问题发现问题u提出问题提出问题u分析问题分析问题u解决问题解决问题“四能四能”3、明确提出数学学习的习惯明确提出数学学习的习惯 了解数学的价值，提高学习数学的兴趣了解数学的价值，提高学习数学的兴趣了解数学的价值，提高学习数学的兴趣了解数学的价值，提高学习数学的兴趣 ，增强，增强，增强，增强学好数学的信心，养成良好的学习习惯学好数学的信心，养成良好的学习习惯学好数学的信心，养成良好的学习习惯学好数学的信心，养成良好的学习习惯 .“认真勤奋、独立思考、合作交流、反思质疑认真勤奋、独立思考、合作交流、反思质疑认真勤奋、独立思考、合作交流、反思质疑认真勤奋、独立思考、合作交流、反思质疑 ”1 1、四个学习领域部分名称的修改，并对四个方面的内容、四个学习领域部分名称的修改，并对四个方面的内容、四个学习领域部分名称的修改，并对四个方面的内容、四个学习领域部分名称的修改，并对四个方面的内容做了明确的阐述做了明确的阐述做了明确的阐述做了明确的阐述.课标课标课标课标（实验稿（实验稿（实验稿（实验稿 ）数与代数数与代数 空间与图形空间与图形 统计与概率统计与概率 实践与综合应用实践与综合应用【课标课标课标课标】（2011201120112011版）版）版）版）数与代数数与代数 图形与图形与几何几何 统计与概率统计与概率 综合与实践综合与实践(三)“设计思路”的修改数学新课程标准数学新课程标准(实验稿实验稿)(2011年版年版)代数设计框架代数设计框架统计与概率统计与概率统计与概率统计与概率空间与图形空间与图形空间与图形空间与图形图形与几何图形与几何图形与几何图形与几何函数函数方程与不等式方程与不等式数与代数数与代数数与代数数与代数数与式数与式图形与证明图形与证明数学新课程标准数学新课程标准(实验稿实验稿)几何设计框架几何设计框架统计与概率统计与概率统计与概率统计与概率数与代数数与代数数与代数数与代数图形与坐标图形与坐标图形与变换图形与变换空间与图形空间与图形空间与图形空间与图形图形的认识图形的认识数学新课程标准数学新课程标准(2011年版年版)几何设计框架几何设计框架数与代数数与代数数与代数数与代数图形的变化图形的变化图形与坐标图形与坐标图形与几何图形与几何图形与几何图形与几何图形的性质图形的性质统计与概率统计与概率统计与概率统计与概率概率概率数学新课程标准数学新课程标准(实验稿实验稿)统计概率设计要点统计概率设计要点数与代数数与代数数与代数数与代数统计与概率统计与概率统计与概率统计与概率空间与图形空间与图形空间与图形空间与图形统计统计数学新课程标准数学新课程标准(2011年版年版)统计概率设计要点统计概率设计要点数与代数数与代数数与代数数与代数事件发生事件发生的概率的概率抽样与抽样与数据分析数据分析图形与几何图形与几何图形与几何图形与几何统计与概率统计与概率统计与概率统计与概率观念观念2、明确提出“十个核心概念”的修改（6个）（10个）课程总目标课程总目标数学核心概念数学核心概念数学知识与技能数学知识与技能课程目标、知识技能与核心概念之间的关系：课程目标、知识技能与核心概念之间的关系：1.1.删减的主要内容删减的主要内容删减的主要内容删减的主要内容 能对含有较大数量的信息作出合理的解释与推断；能对含有较大数量的信息作出合理的解释与推断；能对含有较大数量的信息作出合理的解释与推断；能对含有较大数量的信息作出合理的解释与推断；了解有效数字的概念；了解有效数字的概念；了解有效数字的概念；了解有效数字的概念；能够根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式组，解决简能够根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式组，解决简能够根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式组，解决简能够根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式组，解决简单的问题；单的问题；单的问题；单的问题；与梯形有关的内容：与梯形有关的内容：与梯形有关的内容：与梯形有关的内容：探索并了解圆与圆的位置关系；探索并了解圆与圆的位置关系；探索并了解圆与圆的位置关系；探索并了解圆与圆的位置关系；关于影子、视点、视角、盲区等内容，以及对雪花曲线和莫比乌斯关于影子、视点、视角、盲区等内容，以及对雪花曲线和莫比乌斯关于影子、视点、视角、盲区等内容，以及对雪花曲线和莫比乌斯关于影子、视点、视角、盲区等内容，以及对雪花曲线和莫比乌斯带等图形的欣赏等；带等图形的欣赏等；带等图形的欣赏等；带等图形的欣赏等；关于镜面对称的要求；关于镜面对称的要求；关于镜面对称的要求；关于镜面对称的要求；极差、频数折线图等内容极差、频数折线图等内容极差、频数折线图等内容极差、频数折线图等内容18(四四)“课程内容”的修改 2.2.适当增加的内容适当增加的内容适当增加的内容适当增加的内容最简二次根式和最简分式的概念；最简二次根式和最简分式的概念；最简二次根式和最简分式的概念；最简二次根式和最简分式的概念；能用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否能用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否能用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否能用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否 相等。相等。相等。相等。会比较线段的大小，理解线段的和、差，以及线段中点的意义会比较线段的大小，理解线段的和、差，以及线段中点的意义会比较线段的大小，理解线段的和、差，以及线段中点的意义会比较线段的大小，理解线段的和、差，以及线段中点的意义了解平行于同一条直线的两条直线平行了解平行于同一条直线的两条直线平行了解平行于同一条直线的两条直线平行了解平行于同一条直线的两条直线平行会按照边长的关系和角的大小对三角形进行分类会按照边长的关系和角的大小对三角形进行分类会按照边长的关系和角的大小对三角形进行分类会按照边长的关系和角的大小对三角形进行分类了解并证明圆内接四边形的对角互补；了解并证明圆内接四边形的对角互补；了解并证明圆内接四边形的对角互补；了解并证明圆内接四边形的对角互补；了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系尺规作图：过一点作已知直线的垂线；已知一直角边和斜边作直角尺规作图：过一点作已知直线的垂线；已知一直角边和斜边作直角尺规作图：过一点作已知直线的垂线；已知一直角边和斜边作直角尺规作图：过一点作已知直线的垂线；已知一直角边和斜边作直角 三角形；作三角形的外接圆、内切圆；作圆的内接正方形和正六三角形；作三角形的外接圆、内切圆；作圆的内接正方形和正六三角形；作三角形的外接圆、内切圆；作圆的内接正方形和正六三角形；作三角形的外接圆、内切圆；作圆的内接正方形和正六边形边形边形边形能用计算器处理较为复杂的数据；能用计算器处理较为复杂的数据；能用计算器处理较为复杂的数据；能用计算器处理较为复杂的数据；理解平均数的意义，能计算中位数、众数。理解平均数的意义，能计算中位数、众数。理解平均数的意义，能计算中位数、众数。理解平均数的意义，能计算中位数、众数。19 3 3、选学内容（标注、选学内容（标注、选学内容（标注、选学内容（标注“*”）主要有：）主要有：）主要有：）主要有：*能解简单的三元一次方程组能解简单的三元一次方程组能解简单的三元一次方程组能解简单的三元一次方程组 *知道给定不共线三点的坐标可以确定一个二次函数知道给定不共线三点的坐标可以确定一个二次函数知道给定不共线三点的坐标可以确定一个二次函数知道给定不共线三点的坐标可以确定一个二次函数 *了解一元二次方程的根与系数的关系了解一元二次方程的根与系数的关系了解一元二次方程的根与系数的关系了解一元二次方程的根与系数的关系 *了解平行线性质定理的证明了解平行线性质定理的证明了解平行线性质定理的证明了解平行线性质定理的证明 *探索并证明垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两探索并证明垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两探索并证明垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两探索并证明垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧条弧条弧条弧 *探索并证明切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线的长探索并证明切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线的长探索并证明切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线的长探索并证明切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线的长相等相等相等相等204 4.要求上有变化的内容要求上有变化的内容会用平方运算求会用平方运算求某些非负数某些非负数的平方根，的平方根，会用立方运算求会用立方运算求某些数某些数的立方根的立方根会用平方运算求会用平方运算求百以内整数百以内整数的平方根，的平方根，会用立方运算求会用立方运算求百以内整数（对应的百以内整数（对应的负整数）负整数）的立方根的立方根了解了解整式的概念，整式的概念，会会进行简单的整式加、进行简单的整式加、减运算减运算理解理解整式的概念，掌握合并同类项和整式的概念，掌握合并同类项和去括号的法则，去括号的法则，能能进行简单的整式加进行简单的整式加法和减法运算法和减法运算会解会解一元一次方程、简单的二元一次方一元一次方程、简单的二元一次方程组、可化为一元一次方程的分式方程程组、可化为一元一次方程的分式方程（方程中的分式不超过两个）（方程中的分式不超过两个）掌握掌握等式的基本性质。等式的基本性质。能解能解一元一次方程、可化为一元一一元一次方程、可化为一元一次方程的分式方程。次方程的分式方程。掌握掌握代入消元法和加减消元法，代入消元法和加减消元法，能能解解二元一次方程组二元一次方程组能根据一次函数的图像求二元一次方程能根据一次函数的图像求二元一次方程组的近似解组的近似解体会一次函数与二元一次方程、二元体会一次函数与二元一次方程、二元一次方程组的关系。一次方程组的关系。会会根据公式确定图像的顶点、开口方向根据公式确定图像的顶点、开口方向和对称轴（公式不要求记忆和推导），和对称轴（公式不要求记忆和推导），并能解决简单实际问题。并能解决简单实际问题。会用配方法将数字系数的二次函数的会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为表达式化为 的形式，的形式，并并能能由此得到二次函数图像的顶点坐由此得到二次函数图像的顶点坐标，说出图像的开口方向，画出图像标，说出图像的开口方向，画出图像的对称轴，并能解决简单实际问题。的对称轴，并能解决简单实际问题。六条基本事实六条基本事实一条直线截两条平行直线所得一条直线截两条平行直线所得的同位角相等的同位角相等两条直线被第三条直线所截，两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线如果同位角相等，那么两直线平行平行若两个三角形两边及其夹角若两个三角形两边及其夹角（两角及其夹边，或三边）分（两角及其夹边，或三边）分别相等，则这两个三角形全等别相等，则这两个三角形全等的全等的全等全等三角形的对应边、对应角全等三角形的对应边、对应角分别相等分别相等 九条基本事实九条基本事实两点确定一条直线。两点确定一条直线。两点之间线段最短。两点之间线段最短。过一点有且只有一条直线与这条直线垂直过一点有且只有一条直线与这条直线垂直两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行那么两直线平行过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行两边及其夹角分别相等的两个三角形全等两边及其夹角分别相等的两个三角形全等两角及其夹边分别相等的两个三角形全等两角及其夹边分别相等的两个三角形全等三边分别相等的两个三角形全等三边分别相等的两个三角形全等两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例比例 了解了解补角、余角、对顶角，知补角、余角、对顶角，知道等角的余角相等、等角的补道等角的余角相等、等角的补角相等、对顶角相等角相等、对顶角相等 理解理解对顶角、余角、补角等概念，探索并对顶角、余角、补角等概念，探索并掌握掌握对对顶角相等、同角（等角）的余角相等，同角（等顶角相等、同角（等角）的余角相等，同角（等角）的补角相等的性质角）的补角相等的性质 了解尺规作图的步骤，对于尺了解尺规作图的步骤，对于尺规作图题，规作图题，会写已知、求作和会写已知、求作和作法作法（不要求证明）（不要求证明）在尺规作图中，了解作图的道理，保留作图的痕在尺规作图中，了解作图的道理，保留作图的痕迹，迹，不要求写出作法不要求写出作法 灵活运用不同的方式确定物体灵活运用不同的方式确定物体的位置的位置 在平面上，能用方位角和距离刻画两个物体的相在平面上，能用方位角和距离刻画两个物体的相对位置对位置 能在同一直角坐标系中，感受能在同一直角坐标系中，感受图形变换后点的坐标的变化图形变换后点的坐标的变化坐标与图形运动：坐标与图形运动：在直角坐标系中，以坐标轴为对称轴，能写出一在直角坐标系中，以坐标轴为对称轴，能写出一个已知顶点坐标的多边形的对称图形的顶点坐标，个已知顶点坐标的多边形的对称图形的顶点坐标，并知道对应顶点坐标之间的关系。并知道对应顶点坐标之间的关系。通过丰富的实例，感受抽样的通过丰富的实例，感受抽样的必要性，能指出总体、个体、必要性，能指出总体、个体、样本，体会不同的抽样可能样本，体会不同的抽样可能得到不同的结果得到不同的结果 体会抽样的必要性，通过案例了解体会抽样的必要性，通过案例了解简单随机抽样简单随机抽样 在具体情境中理解并会计算在具体情境中理解并会计算加权平均数；根据具体问题，加权平均数；根据具体问题，能选择合适的统计量表示数能选择合适的统计量表示数据的集中程度据的集中程度 理解平均数的意义，能计算中位数、理解平均数的意义，能计算中位数、众数、加权平均数，了解它们是数众数、加权平均数，了解它们是数据集中趋势的描述据集中趋势的描述 探索如何表示一组数据的离探索如何表示一组数据的离散程度，会计算极差和方差，散程度，会计算极差和方差，并会用它们表示数据的离散并会用它们表示数据的离散程度程度 体会刻画数据离中程度的意义，会体会刻画数据离中程度的意义，会计算简单数据的方差计算简单数据的方差 (1)(1)数学基础教育中的数学基础教育中的数学基础教育中的数学基础教育中的“双基双基双基双基”是指：数学的基本是指：数学的基本是指：数学的基本是指：数学的基本概念概念概念概念、基本、基本、基本、基本公式公式公式公式、基本、基本、基本、基本运算运算运算运算、基本、基本、基本、基本性质性质性质性质、基本、基本、基本、基本法则法则法则法则、基本、基本、基本、基本程程程程式式式式、基本、基本、基本、基本定理定理定理定理、基本、基本、基本、基本作图作图作图作图、基本、基本、基本、基本推理推理推理推理、基本、基本、基本、基本语言语言语言语言、基本、基本、基本、基本方法方法方法方法、基本基本基本基本操作操作操作操作、基本、基本、基本、基本技巧技巧技巧技巧，等等。，等等。，等等。，等等。(2)“(2)“双基双基双基双基”为什么要发展为为什么要发展为为什么要发展为为什么要发展为“四基四基四基四基”？一是与三维目标一是与三维目标一是与三维目标一是与三维目标“知识与技能、过程与方法知识与技能、过程与方法知识与技能、过程与方法知识与技能、过程与方法”和和和和“情感态度与价值观情感态度与价值观情感态度与价值观情感态度与价值观”的要求；的要求；的要求；的要求；二是仅有二是仅有二是仅有二是仅有“双基双基双基双基”教学常常是教学常常是教学常常是教学常常是“以本为本以本为本以本为本以本为本”，“以人为本以人为本以人为本以人为本”的教育理念凸显不够；的教育理念凸显不够；的教育理念凸显不够；的教育理念凸显不够；三是仅有三是仅有三是仅有三是仅有“双基双基双基双基”难以培养创新性人才。难以培养创新性人才。难以培养创新性人才。难以培养创新性人才。24二、数学基础教育中“四基”的实践研究（微观研读）（一）数学基础教育中的“双基”。(二二二二)数学的基本思想与方法数学的基本思想与方法数学的基本思想与方法数学的基本思想与方法 （1 1）数学的基本思想主要有数学的基本思想主要有数学的基本思想主要有数学的基本思想主要有:数学数学数学数学抽象抽象抽象抽象的思想、数学的思想、数学的思想、数学的思想、数学推理推理推理推理的思想、数学的思想、数学的思想、数学的思想、数学模型模型模型模型的思想、数学的思想、数学的思想、数学的思想、数学审美审美审美审美的思想。的思想。的思想。的思想。（数学家华罗庚先数学家华罗庚先生说生说“数无形时不直观，形无数时难入微数无形时不直观，形无数时难入微”。）。）由上述数学的由上述数学的由上述数学的由上述数学的“基本思想基本思想基本思想基本思想”演变、派生、发展出来的数学演变、派生、发展出来的数学演变、派生、发展出来的数学演变、派生、发展出来的数学思想还有很多。思想还有很多。思想还有很多。思想还有很多。如由如由如由如由“数学抽象的思想数学抽象的思想数学抽象的思想数学抽象的思想”派生出来的可以有：派生出来的可以有：派生出来的可以有：派生出来的可以有：分类的思分类的思分类的思分类的思想，集合的思想，想，集合的思想，想，集合的思想，想，集合的思想，“变中有不变变中有不变变中有不变变中有不变”的思想，的思想，的思想，的思想，等等。等等。等等。等等。如由如由如由如由“数学推理的思想数学推理的思想数学推理的思想数学推理的思想”派生出来的可以有：派生出来的可以有：派生出来的可以有：派生出来的可以有：归纳的思想，归纳的思想，归纳的思想，归纳的思想，演绎的思想，公理化思想，数形结合的思想，转换化归的思想，联想演绎的思想，公理化思想，数形结合的思想，转换化归的思想，联想演绎的思想，公理化思想，数形结合的思想，转换化归的思想，联想演绎的思想，公理化思想，数形结合的思想，转换化归的思想，联想类比的思想，逐步逼近的思想，类比的思想，逐步逼近的思想，类比的思想，逐步逼近的思想，类比的思想，逐步逼近的思想，等等。等等。等等。等等。如由如由如由如由“数学建模的思想数学建模的思想数学建模的思想数学建模的思想”派生出来的可以有：派生出来的可以有：派生出来的可以有：派生出来的可以有：函数的思函数的思函数的思函数的思想，方程的思想，随机的思想，统计的思想，想，方程的思想，随机的思想，统计的思想，想，方程的思想，随机的思想，统计的思想，想，方程的思想，随机的思想，统计的思想，等等。等等。等等。等等。如由如由如由如由“数学审美的思想数学审美的思想数学审美的思想数学审美的思想”派生出来的可以有：派生出来的可以有：派生出来的可以有：派生出来的可以有：变换（对称）变换（对称）变换（对称）变换（对称）的思想，简洁的思想，统一的思想，的思想，简洁的思想，统一的思想，的思想，简洁的思想，统一的思想，的思想，简洁的思想，统一的思想，等等。等等。等等。等等。25 （2）数学方法：数学方法：数学方法：数学方法：在用数学思想解决具在用数学思想解决具在用数学思想解决具在用数学思想解决具体问题时，对某一类问题反复推敲，会逐渐形成某一类程体问题时，对某一类问题反复推敲，会逐渐形成某一类程体问题时，对某一类问题反复推敲，会逐渐形成某一类程体问题时，对某一类问题反复推敲，会逐渐形成某一类程序化的操作，就构成了序化的操作，就构成了序化的操作，就构成了序化的操作，就构成了“数学方法数学方法数学方法数学方法”。数学方法也是具有。数学方法也是具有。数学方法也是具有。数学方法也是具有层次的。层次的。层次的。层次的。处于较高层次的，如有：处于较高层次的，如有：处于较高层次的，如有：处于较高层次的，如有：逻辑推理的方法，合情推理的方逻辑推理的方法，合情推理的方逻辑推理的方法，合情推理的方逻辑推理的方法，合情推理的方法，变量替换的方法，等价变形的方法，法，变量替换的方法，等价变形的方法，法，变量替换的方法，等价变形的方法，法，变量替换的方法，等价变形的方法，等等。等等。等等。等等。处于较低一些层次的数学方法，如有：处于较低一些层次的数学方法，如有：处于较低一些层次的数学方法，如有：处于较低一些层次的数学方法，如有：分析法，综合法，分析法，综合法，分析法，综合法，分析法，综合法，穷举法，反证法，抽样法，构造法，待定系数法，数学归穷举法，反证法，抽样法，构造法，待定系数法，数学归穷举法，反证法，抽样法，构造法，待定系数法，数学归穷举法，反证法，抽样法，构造法，待定系数法，数学归纳法，递推法，消元法，降幂法，换元法，坐标法，配方纳法，递推法，消元法，降幂法，换元法，坐标法，配方纳法，递推法，消元法，降幂法，换元法，坐标法，配方纳法，递推法，消元法，降幂法，换元法，坐标法，配方法，列表法，图像法，法，列表法，图像法，法，列表法，图像法，法，列表法，图像法，等等。等等。等等。等等。26 （3）数学思想与数学方法的区数学思想与数学方法的区数学思想与数学方法的区数学思想与数学方法的区别。别。别。别。“数学思想数学思想数学思想数学思想”往往是往往是往往是往往是观念的、全面的、普遍观念的、全面的、普遍观念的、全面的、普遍观念的、全面的、普遍的、深刻的、一般的、内在的、概括的的、深刻的、一般的、内在的、概括的的、深刻的、一般的、内在的、概括的的、深刻的、一般的、内在的、概括的；而而而而“数学方法数学方法数学方法数学方法”往往是往往是往往是往往是操作的、局部的、特殊操作的、局部的、特殊操作的、局部的、特殊操作的、局部的、特殊的、表象的、具体的、程序的、技巧的的、表象的、具体的、程序的、技巧的的、表象的、具体的、程序的、技巧的的、表象的、具体的、程序的、技巧的。数学思想常常通过数学方法去体现；数学方数学思想常常通过数学方法去体现；数学方数学思想常常通过数学方法去体现；数学方数学思想常常通过数学方法去体现；数学方法又常常反映了某种数学思想。法又常常反映了某种数学思想。法又常常反映了某种数学思想。法又常常反映了某种数学思想。数学思想是数学教学的数学思想是数学教学的数学思想是数学教学的数学思想是数学教学的核心和精髓核心和精髓核心和精髓核心和精髓，教师在，教师在，教师在，教师在讲授数学方法时应该努力反映和体现数学思想，让学生体讲授数学方法时应该努力反映和体现数学思想，让学生体讲授数学方法时应该努力反映和体现数学思想，让学生体讲授数学方法时应该努力反映和体现数学思想，让学生体会和领悟数学思想，提高学生的数学素养。会和领悟数学思想，提高学生的数学素养。会和领悟数学思想，提高学生的数学素养。会和领悟数学思想，提高学生的数学素养。27 例例1 小明的父母出去散小明的父母出去散步，从家走了步，从家走了20分钟到一个离家分钟到一个离家900米的报亭，母亲随即按原速返米的报亭，母亲随即按原速返回。父亲在报亭看了回。父亲在报亭看了10分钟报纸分钟报纸后，用后，用15分钟返回家。下面的图分钟返回家。下面的图形中哪一个表示父亲离家后的时形中哪一个表示父亲离家后的时间与距离之间的关系？哪一个图间与距离之间的关系？哪一个图形是表示母亲的行走过程？形是表示母亲的行走过程？28数形结合的思想数形结合的思想数形结合的思想数形结合的思想（4）教学中如何渗透数学思想方法 典型例题中蕴含的数学思想 例例2 如图，设计两个不同问题情境，使情如图，设计两个不同问题情境，使情境中出现的一对变量，满足图示的函数关系。结合境中出现的一对变量，满足图示的函数关系。结合图象，讲出这对变量的变化过程的实际意义。图象，讲出这对变量的变化过程的实际意义。29数形结合的思想数形结合的思想 例例3 3：每两个人握每两个人握1次手，那么次手，那么3个人共握个人共握几次手？几次手？4个人呢？个人呢？n个人个人呢？呢？人数次数规律211331 2461 2 3 n1 2 3 （n 1）O OA An n数形结合的思想数形结合的思想O OA A1 1A A2 2A A3 3A A2 2A A3 3也可以把也可以把“人人”抽象成抽象成“点点”，“两人握两人握1 1次次手手”抽象成抽象成“两点之间连接一条线段两点之间连接一条线段”，那那么借助图形的直观就能简明地解决问题。如么借助图形的直观就能简明地解决问题。如图，对于图，对于n n点中的任何一个点，它与其它的点中的任何一个点，它与其它的（n-1n-1）个点共可连接（）个点共可连接（n n-1-1）条线段，因而）条线段，因而n n个点共可连接个点共可连接n n（n n-1-1）条线段。因为两点）条线段。因为两点之间有且只有一条线段（线段之间有且只有一条线段（线段ABAB与线段与线段BABA是是同一条线段），所以共可连接同一条线段），所以共可连接 1/2 1/2 n n（n n-1-1）条线段。）条线段。函数的思想函数的思想 例4:某书定价8元。如果一次购买10本以上，超过10本部分打8折。分析并表示购书数量与付款金额之间的函数关系。说明 这是一个分段函数，函数的三种表示法均适用于这个例子。一般来说，列表法适用于变量取值是离散的情况；分段函数应当画图，并且关注分段点处函数的变化情况。可以分组讨论三种方法，然后让学生分析比较。32数学推理的思想数学推理的思想 例例5 5：探索并了解：过圆外一点所画的圆的两条切探索并了解：过圆外一点所画的圆的两条切线的长相等线的长相等 说明说明 通过探索和了解此结论的证明，帮助学生体通过探索和了解此结论的证明，帮助学生体验发现结论到验证结论的过程。验发现结论到验证结论的过程。教学中可以参考安排如下的过程：教学中可以参考安排如下的过程：（1 1）发现结论。发现结论。在透明纸上画出在透明纸上画出如图，设如图，设PAPA ，PBPB 是是O O的两条切线，的两条切线，A A，B B是切点。让学生操作：是切点。让学生操作：沿直线沿直线OPOP将图将图形对折形对折，启发学生思考，或者，启发学生思考，或者PAPA =PB PB，APO APO=BPO BPO。这是通过实例发现图形性质这是通过实例发现图形性质的过程。启发学生由特殊到一般，的过程。启发学生由特殊到一般，通过合情推理推测出切线长定理的通过合情推理推测出切线长定理的结论。结论。组织学生交流。学生可以发现：组织学生交流。学生可以发现：33（2 2）证明结论的正确性）证明结论的正确性。如图。如图19-219-2，连接，连接OAOA和和OBOB。因为。因为PAPA和和PBPB是是O O的切线，则的切线，则 PAO PAO=PBO PBO=90=90 ，即，即POAPOA 和和POBPOB均为均为直角三角形。又因为直角三角形。又因为OA OA=OBOB和和OP OP=OP OP，则，则POA POA 与与 POBPOB 全等。全等。于是有于是有 PAPA =PB PB ，APO APO=BPO BPO。这是通过演绎推理证明图形性质的过程。这是通过演绎推理证明图形性质的过程。由此可见，由此可见，合情推理与演绎推理是相辅相成的两种推合情推理与演绎推理是相辅相成的两种推理形式理形式，都是研究图形性质的有效工具。，都是研究图形性质的有效工具。上述证明过程没有采用形式化的上述证明过程没有采用形式化的三段论，但有利于初学者把握证明的三段论，但有利于初学者把握证明的条理和说理的逻辑。条理和说理的逻辑。34典型课例中渗透数学思想典型课例中渗透数学思想对称的思想符号表示的方法数学推理的思想“变中有不变”的思想35课例1.垂 直（七年级上册）（七年级上册）（七年级上册）（七年级上册）对称的思想示范：两条直线相交，交角逐渐变大的过程。示范：两条直线相交，交角逐渐变大的过程。两条直线相交，交角变大为两条直线相交，交角变大为9090时，时，出现对称的出现对称的情况，情况，并且并且4 4个角都是个角都是9090。这时称为两条直线。这时称为两条直线垂直。垂直。两条直线垂直，一定是两条直线垂直，一定是“互相互相”垂直。垂直。36符号表示的方法记为记为 AB AB CD;CD;或者或者 a a b b形象，简洁形象，简洁符号符号 的读法的读法回忆上节课回忆上节课“平行平行”中的符号中的符号 采用适当的符号来表述，在数学中是常见的。采用适当的符号来表述，在数学中是常见的。37数学推理的思想在实践上，一定要知道相交的在实践上，一定要知道相交的4 4个角都是直角，个角都是直角，才能判断才能判断“两条直线垂直两条直线垂直”吗？吗？那么，从相交的那么，从相交的4 4个角中有一个是直角，如何推个角中有一个是直角，如何推出其他三个角也是直角？出其他三个角也是直角？对顶角相等；平角减直角对顶角相等；平角减直角 =直角直角数学中的结论，不能仅仅是数学中的结论，不能仅仅是“看出来的看出来的”，必须，必须是是“证出来的证出来的”，这是数学的游戏规则。，这是数学的游戏规则。38“变中有不变”的思想“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。”画出画出画出画出“直线外一点与直线上各点连接的多条线段，与垂线段比较直线外一点与直线上各点连接的多条线段，与垂线段比较直线外一点与直线上各点连接的多条线段，与垂线段比较直线外一点与直线上各点连接的多条线段，与垂线段比较长度。长度。长度。长度。”各个线段在变化，但是各个线段在变化，但是各个线段在变化，但是各个线段在变化，但是“变中有不变变中有不变变中有不变变中有不变”的是，总是垂线的是，总是垂线的是，总是垂线的是，总是垂线段最短。这是段最短。这是段最短。这是段最短。这是“看出来的看出来的看出来的看出来的”，能否，能否，能否，能否“证出来证出来证出来证出来”？“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。”如何证明？如何证明？如何证明？如何证明？三角形大角对大边；三角形大角对大边；三角形大角对大边；三角形大角对大边；直角大于锐角。直角大于锐角。直角大于锐角。直角大于锐角。39课例2.二元一次方程组的图像解法（八年级）（八年级）有限与无限的思想数形结合的思想一一对应的思想方程的思想40有限与无限的思想你会解二元一次方程你会解二元一次方程 x y+5=0 x y+5=0 吗？吗？列表，给出列表，给出“解集合解集合”（由许多（由许多“有序数对有序数对”组成）组成）这种这种“不定方程不定方程”一般都有无穷多解。一般都有无穷多解。41x10110100y45615105数形结合的思想你能在直角坐标系中标出以上述你能在直角坐标系中标出以上述方程的解方程的解为坐标的为坐标的点吗？点吗？这些点的集合构成什么图形？这些点的集合构成什么图形？联系已经学过的一次函数的图像，是联系已经学过的一次函数的图像，是直线直线。数形结合数形结合，我们可以把求出该直线称为上述方程的，我们可以把求出该直线称为上述方程的图像解法图像解法。数形结合数形结合，我们能否想象出二元一次方程，我们能否想象出二元一次方程组组的的图像图像解法？解法？两条直线两条直线交点交点的的坐标坐标是该方程组的解。是该方程组的解。（形（形数）数）42一一对应的思想二元一次方程的解对应着一条直线二元一次方程的解对应着一条直线有一个二元一次方程，就有一条直线有一个二元一次方程，就有一条直线不同的二元一次方程，就有不同的直线不同的二元一次方程，就有不同的直线这就是说，二元一次方程与直线这就是说，二元一次方程与直线一一对应一一对应。43解方程的思想 凡是讨论解方程的内容，都需要讨论以下三点：凡是讨论解方程的内容，都需要讨论以下三点：凡是讨论解方程的内容，都需要讨论以下三点：凡是讨论解方程的内容，都需要讨论以下三点：该方程有没有解？该方程有没有解？该方程有没有解？该方程有没有解？如果有解，有多少解？如果有解，有多少解？如果有解，有多少解？如果有解，有多少解？解的表示形式如何？解的表示形式如何？解的表示形式如何？解的表示形式如何？每次课上遇到解方程的内容，都重复说这三句话，每次课上遇到解方程的内容，都重复说这三句话，每次课上遇到解方程的内容，都重复说这三句话，每次课上遇到解方程的内容，都重复说这三句话，潜移默潜移默潜移默潜移默化地，学生对于化地，学生对于化地，学生对于化地，学生对于“解方程解方程解方程解方程”的素养，就慢慢培养出来了。的素养，就慢慢培养出来了。的素养，就慢慢培养出来了。的素养，就慢慢培养出来了。今天讨论的二元一次方程组，今天讨论的二元一次方程组，今天讨论的二元一次方程组，今天讨论的二元一次方程组，无解、有唯一解、有无穷无解、有唯一解、有无穷无解、有唯一解、有无穷无解、有唯一解、有无穷多解的情况，在多解的情况，在多解的情况，在多解的