2023版高考数学总复习第三章三角函数解三角形23解三角形应用举例课时作业文.doc

课时作业23　解三角形应用举例
一、选择题
1．(2023·武汉三中月考)
如图，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°方向上，灯塔B在观察站南偏东60°方向上，那么灯塔A在灯塔B的(　　)
A．北偏东10°方向上
B．北偏西10°方向上
C．南偏东80°方向上
D．南偏西80°方向上
解析：由条件及题图可知，∠A＝∠ABC＝40°，因为∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B南偏西80°方向上．
答案：D
2．如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，假设飞机的高度为海拔18 km，速度为1 000 km/h，飞行员先看到山顶的俯角为30°，经过1 min后又看到山顶的俯角为75°，那么山顶的海拔高度为(精确到0.1 km)(　　)
A．11.4 km　B．6.6 km
C．6.5 km D．5.6 km
解析：∵AB＝1 000×1 000×＝m，
∴BC＝·sin30°＝m.
∴航线离山顶h＝×sin75°≈11.4 km.
∴山高为18－11.4＝6.6 km.
答案：B
3．某船开始看见灯塔在南偏东30°方向，后来船沿南偏东60°的方向航行15 km后，看见灯塔在正西方向，那么这时船与灯塔的距离是(　　)
A．5 km B．10 km
C．5 km D．5 km
解析：
作出示意图(如图)，点A为该船开始的位置，点B为灯塔的位置，点C为该船后来的位置，所以在△ABC中，有∠BAC＝60°－30°＝30°，B＝120°，AC＝15，
由正弦定理，得＝，
即BC＝＝5，即这时船与灯塔的距离是5 km.
答案：C
4．在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝120°，AB＝4，BC＝CD＝2，那么该四边形的面积等于(　　)
A．7 B．6
C．5 D.
解析：
如图，取AB中点G，连接DG，那么DG∥BC，∠AGD＝120°.
分别过B，C作DG的垂线，可求得BE＝CF＝，DG＝4，
所以四边形面积S＝S△AGD＋S四边形GBCD＝AG×DG×sin120°＋×(DG＋BC)×BE＝5.
答案：C
5．如图，在离地面高400 m的热气球上，观测到山顶C处的仰角为15°，山脚A处的俯角为45°，∠BAC＝60°，那么山的高度BC为(　　)
A．700 m B．640 m
C．600 m D．560 m
解析：根据题意，可得在Rt△AMD中，
∠MAD＝45°，MD＝400，
所以AM＝＝400.
因为△MAC中，∠AMC＝45°＋15°＝60°，
∠MAC＝180°－45°－60°＝75°，
所以∠MCA＝180°－∠AMC－∠MAC＝45°，
由正弦定理，得AC＝＝＝400，
在Rt△ABC中，BC＝ACsin∠BAC＝400×＝600(m)．
答案：C
二、填空题
6．(2023·福州毕业班检测)在距离塔底分别为80 m,160 m,240 m的同一水平面上的A，B，C处，依次测得塔顶的仰角分别为α，β，γ.假设α＋β＋γ＝90°，那么塔高为________ m.
解析：此题考查三角恒等变换．设塔高为h m，那么tanα＝，tanβ＝，tanγ＝.又由α＋β＋γ＝90°，得tan(α＋β)＝tan(90°－γ)＝，那么＝，解得h＝80.
此题的突破点是利用两角和的正切公式建立方程．
答案：80
7．如图，一栋建筑物的高为(30－10) m，在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD.在它们之间的地面点M(B，M，D三点共线)处测得楼顶A，塔顶C的仰角分别为15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，那么通信塔CD的高为________ m.
解析：在Rt△ABM中，AM＝＝＝＝＝20.
易知∠MAC＝30°＋15°＝45°，又∠AMC＝180°－15°－60°＝105°，从而∠ACM＝30°.
在△AMC中，由正弦定理得＝，解得MC＝40.
在Rt△CMD中，CD＝MC×sin60°＝60，故通信塔CD的高为60 m.
答案：60
8．(2023·惠州市第三次调研考试)
如下图，在一个坡度一定的山坡AC的顶上有一高度为25 m的建筑物CD，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ，在山坡的A处测得∠DAC＝15°，沿山坡前进50 m到达B处，又测得∠DBC＝45°，根据以上数据可得cosθ＝________.
解析：由∠DAC＝15°，∠DBC＝45°可得∠BDA＝30°，∠DBA＝135°，∠BDC＝90°－(15°＋θ)－30°＝45°－θ，由内角和定理可得∠DCB＝180°－(45°－θ)－45°＝90°＋θ，根据正弦定理可得＝，即DB＝100sin15°＝100×sin(45°－30°)＝25(－1)，又＝，即＝，得到cosθ＝－1.
答案：－1
三、解答题
9．(2023·河南六市联考，17)如图，在一条海防警戒线上的点A，B，C处各有一个水声检测点，B，C到A的距离分别为20千米和50千米，某时刻B收到来自静止目标P的一个声波信号，8秒后A，C同时接收到该声波信号，声波在水中的传播速度是1.5千米/秒．
(1)设A到P的距离为x千米，用x表示B，C到P的距离，并求出x的值；
(2)求P到海防警戒线AC的距离．
解析：(1)依题意，有PA＝PC＝x，PB＝x－1.5×8＝x－12.
在△PAB中，AB＝20，
cos∠PAB＝
＝＝，
同理，在△PAC中，AC＝50，cos∠PAC＝＝＝.
∵cos∠PAB＝cos∠PAC，∴＝，
解得x＝31.
(2)作PD⊥AC于D，在△ADP中，
由cos∠PAD＝，
得sin∠PAD＝＝，
∴PD＝PAsin∠PAD＝31×＝4.
故静止目标P到海防警戒线AC的距离为4千米．
10.
在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向，相距12 n mile的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10 n mile的速度沿南偏东75°方向前进，假设红方侦察艇以每小时14 n mile的速度，沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇．假设要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值．
解析：如图，设红方侦察艇经过x小时后在C处追上蓝方的小艇，
那么AC＝14x，BC＝10x，∠ABC＝120°.
根据余弦定理得(14x)2＝122＋(10x)2－240xcos120°，
解得x＝2.
故AC＝28，BC＝20.
根据正弦定理得＝，
解得sinα＝＝.
所以红方侦察艇所需要的时间为2小时，角α的正弦值为.
[能力挑战]
11．(2023·黑龙江哈尔滨六中开学考试)“德是〞号飞船返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员救出，地面指挥中心在返回舱预计到达的区域安排了同一条直线上的三个救援中心(记为B，C，D)．当返回舱在距地面1万米的P点时(假定以后垂直下落，并在A点着陆)，C救援中心测得飞船位于其南偏东60°方向，仰角为60°，B救援中心测得飞船位于其南偏西30°方向，仰角为30°，D救援中心测得着陆点A位于其正东方向．
(1)求B、C两救援中心间的距离；
(2)求D救援中心与着陆点A间的距离．
解析：(1)由题意知PA⊥AC，PA⊥AB，那么△PAC，△PAB均为直角三角形
在Rt△PAC中，PA＝1，∠PCA＝60°，解得AC＝，
在Rt△PAB中，PA＝1，∠PBA＝30°，解得AB＝，
又∠CAB＝90°，BC＝＝万米．
(2)sin∠ACD＝sin∠ACB＝，cos∠ACD＝－，
又∠CAD＝30°，所以sin∠ADC＝sin(30°＋∠ACD)＝，
在△ADC中，由正弦定理，＝，
AD＝＝万米．