2022甘肃省临夏州中考数学试卷(菁优网版).docx

2022年甘肃省临夏州中考数学〔解析版〕
一、选择题：本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的，将此选项的字母填涂在答题卡上．
1．〔2022甘肃省临夏州，1，3分〕﹣3的绝对值是〔　　〕

A．
3
B．
﹣3
C．
﹣
D．

考点：
绝对值．菁优网版权所有
分析：
计算绝对值要根据绝对值的定义求解．第一步列出绝对值的表达式；第二步根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号．
解答：
解：﹣3的绝对值是3．
应选：A．
点评：
此题主要考查了绝对值的定义，规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
2．〔2022甘肃省临夏州，2，3分〕节约是一种美德，节约是一种智慧．据不完全统计，全国每年浪费食物总量折合粮食可养活约3亿5千万人．350 000 000用科学记数法表示为〔　　〕

A．
3.5×107
B．
3.5×108
C．
3.5×109
D．
3.5×1010
考点：
科学记数法—表示较大的数．菁优网版权所有
分析：
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于350 000 000有9位，所以可以确定n=9﹣1=8．
解答：
解：350 000 000=3.5×108．
应选B．
点评：
此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．
3．〔2022甘肃省临夏州，3，3分〕如图的几何体是由一个正方体切去一个小正方体形成的，它的主视图是〔　　〕

A．

B．

C．

D．

考点：
简单组合体的三视图．菁优网版权所有
分析：
根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
解答：
解：主视图是正方形的右上角有个小正方形，
应选：D．
点评：
此题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．
4．〔2022甘肃省临夏州，4，3分〕以下计算错误的选项是〔　　〕

A．
•=
B．
+=
C．
÷=2
D．
=2
考点：
二次根式的混合运算．菁优网版权所有
分析：
利用二次根式的运算方法逐一算出结果，比较得出答案即可．
解答：
解：A、•=，计算正确；
B、+，不能合并，原题计算错误；
C、÷==2，计算正确；
D、=2，计算正确．
应选：B．
点评：
此题考查二次根式的运算方法和化简，掌握计算和化简的方法是解决问题的关键．
5．〔2022甘肃省临夏州，5，3分〕将直角三角尺的直角顶点靠在直尺上，且斜边与这根直尺平行，那么，在形成的这个图中与∠α互余的角共有〔　　〕

A．
4个
B．
3个
C．
2个
D．
1个
考点：
平行线的性质；余角和补角．菁优网版权所有
分析：
由互余的定义、平行线的性质，利用等量代换求解即可．
解答：
解：∵斜边与这根直尺平行，
∴∠α=∠2，
又∵∠1+∠2=90°，
∴∠1+∠α=90°，
又∠α+∠3=90°
∴与α互余的角为∠1和∠3．
应选C．

点评：
此题考查的是对平行线的性质的理解，目的是找出与∠α和为90°的角．
6．〔2022甘肃省临夏州，6，3分〕以下列图形中，是轴对称图形又是中心对称图形的是〔　　〕

A．

B．

C．

D．

考点：
中心对称图形；轴对称图形．菁优网版权所有
分析：
根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出．
解答：
解：A、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；
B、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；
C、此图形旋转180°后能与原图形重合，此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误；
D、∵此图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确．
应选：D．
点评：
此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键．
7．〔2022甘肃省临夏州，7，3分〕⊙O的半径是6cm，点O到同一平面内直线l的距离为5cm，那么直线l与⊙O的位置关系是〔　　〕

A．
相交
B．
相切
C．
相离
D．
无法判断
考点：
直线与圆的位置关系．菁优网版权所有
分析：
设圆的半径为r，点O到直线l的距离为d，假设d＜r，那么直线与圆相交；假设d=r，那么直线于圆相切；假设d＞r，那么直线与圆相离，从而得出答案．
解答：
解：设圆的半径为r，点O到直线l的距离为d，
∵d=5，r=6，
∴d＜r，
∴直线l与圆相交．
应选A．
点评：
此题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定．
8．〔2022甘肃省临夏州，8，3分〕用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米．假设设它的一条边长为x米，那么根据题意可列出关于x的方程为〔　　〕

A．
x〔5+x〕=6
B．
x〔5﹣x〕=6
C．
x〔10﹣x〕=6
D．
x〔10﹣2x〕=6
考点：
由实际问题抽象出一元二次方程．菁优网版权所有
专题：
几何图形问题．
分析：
一边长为x米，那么另外一边长为：5﹣x，根据它的面积为5平方米，即可列出方程式．
解答：
解：一边长为x米，那么另外一边长为：5﹣x，
由题意得：x〔5﹣x〕=6，
应选：B．
点评：
此题考查了由实际问题抽相出一元二次方程，难度适中，解答此题的关键读懂题意列出方程式．
9．〔2022甘肃省临夏州，9，3分〕二次函数y=x2+bx+c，假设b+c=0，那么它的图象一定过点〔　　〕

A．
〔﹣1，﹣1〕
B．
〔1，﹣1〕
C．
〔﹣1，1〕
D．
〔1，1〕
考点：
二次函数图象与系数的关系．菁优网版权所有
分析：
此题可将b+c=0代入二次函数，变形得y=x2+b〔x﹣1〕，假设图象一定过某点，那么与b无关，令b的系数为0即可．
解答：
解：对二次函数y=x2+bx+c，将b+c=0代入可得：y=x2+b〔x﹣1〕，
那么它的图象一定过点〔1，1〕．
应选D．
点评：
此题考查了二次函数与系数的关系，在这里解定点问题，应把b当做变量，令其系数为0进行求解．
10．〔2022甘肃省临夏州，10，3分〕如图，边长为1的正方形ABCD中，点E在CB延长线上，连接ED交AB于点F，AF=x〔0.2≤x≤0.8〕，EC=y．那么在下面函数图象中，大致能反映y与x之闻函数关系的是〔　　〕

A．

B．

C．

D．

考点：
动点问题的函数图象．菁优网版权所有
分析：
通过相似三角形△EFB∽△EDC的对应边成比例列出比例式=，从而得到y与x之间函数关系式，从而推知该函数图象．
解答：
解：根据题意知，BF=1﹣x，BE=y﹣1，且△EFB∽△EDC，
那么=，即=，
所以y=〔0.2≤x≤0.8〕，该函数图象是位于第一象限的双曲线的一局部．
A、D的图象都是直线的一局部，B的图象是抛物线的一局部，C的图象是双曲线的一局部．
应选C．
点评：
此题考查了动点问题的函数图象．解题时，注意自变量x的取值范围．
二、填空题：本大题共8小题，每题4分，共32分．把答案写在答题卡中的横线上.
11．〔2022甘肃省临夏州，11，4分〕分解因式：2a2﹣4a+2=．
考点：
提公因式法与公式法的综合运用．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
先提公因式2，再利用完全平方公式分解因式即可．
解答：
解：2a2﹣4a+2，
=2〔a2﹣2a+1〕，
=2〔a﹣1〕2．
点评：
此题考查用提公因式法和公式法进行因式分解的能力，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
12．〔2022甘肃省临夏州，12，4分〕化简：=．
考点：
分式的加减法．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
先转化为同分母〔x﹣2〕的分式相加减，然后约分即可得解．
解答：
解：+
=﹣
=
=x+2．
故答案为：x+2．
点评：
此题考查了分式的加减法，把互为相反数的分母化为同分母是解题的关键．
13．〔2022甘肃省临夏州，13，4分〕等腰△ABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm，那么BC边上的高是cm．
考点：
勾股定理；等腰三角形的性质．菁优网版权所有
分析：
利用等腰三角形的“三线合一〞的性质得到BD=BC=6cm，然后在直角△ABD中，利用勾股定理求得高线AD的长度．
解答：
解：如图，AD是BC边上的高线．
∵AB=AC=10cm，BC=12cm，
∴BD=CD=6cm，
∴在直角△ABD中，由勾股定理得到：AD===〔8cm〕．
故答案是：8．

点评：
此题主要考查了等腰三角形的三线合一定理和勾股定理．等腰三角形底边上的高线把等腰三角形分成两个全等的直角三角形．
14．〔2022甘肃省临夏州，14，4分〕一元二次方程〔a+1〕x2﹣ax+a2﹣1=0的一个根为0，那么a=．
考点：
一元二次方程的定义．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
根据一元二次方程的定义和一元二次方程的解的定义得到a+1≠0且a2﹣1=0，然后解不等式和方程即可得到a的值．
解答：
解：∵一元二次方程〔a+1〕x2﹣ax+a2﹣1=0的一个根为0，
∴a+1≠0且a2﹣1=0，
∴a=1．
故答案为1．
点评：
此题考查了一元二次方程的定义：含一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程叫一元二次方程，其一般式为ax2+bx+c=0〔a≠0〕．也考查了一元二次方程的解的定义．
15．〔2022甘肃省临夏州，15，4分〕△ABC中，∠A、∠B都是锐角，假设sinA=，cosB=，那么∠C=．
考点：
特殊角的三角函数值；三角形内角和定理．菁优网版权所有
分析：
先根据特殊角的三角函数值求出∠A、∠B的度数，再根据三角形内角和定理求出∠C即可作出判断．
解答：
解：∵△ABC中，∠A、∠B都是锐角sinA=，cosB=，
∴∠A=∠B=60°．
∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣60°﹣60°=60°．
故答案为：60°．
点评：
此题考查的是特殊角的三角函数值及三角形内角和定理，比较简单．
16．〔2022甘肃省临夏州，16，4分〕x、y为实数，且y=﹣+4，那么x﹣y=．
考点：
二次根式有意义的条件．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
根据一对相反数同时为二次根式的被开方数，那么被开方数为0可得x可能的值，进而得到y的值，相减即可．
解答：
解：由题意得x2﹣9=0，
解得x=±3，
∴y=4，
∴x﹣y=﹣1或﹣7．
故答案为﹣1或﹣7．
点评：
考查二次根式有意义的相关计算；得到x可能的值是解决此题的关键；用到的知识点为：一对相反数同时为二次根式的被开方数，那么被开方数为0．
17．〔2022甘肃省临夏州，17，4分〕如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白局部．当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，那么阴影局部的面积为．
考点：
中心对称；菱形的性质．菁优网版权所有
分析：
根据菱形的面积等于对角线乘积的一半求出面积，再根据中心对称的性质判断出阴影局部的面积等于菱形的面积的一半解答．
解答：
解：∵菱形的两条对角线的长分别为6和8，
∴菱形的面积=×6×8=24，
∵O是菱形两条对角线的交点，
∴阴影局部的面积=×24=12．
故答案为：12．
点评：
此题考查了中心对称，菱形的性质，熟记性质并判断出阴影局部的面积等于菱形的面积的一半是解题的关键．
18．〔2022甘肃省临夏州，18，4分〕观察以下各式：
13=12
13+23=32
13+23+33=62
13+23+33+43=102
…
猜想13+23+33+…+103=．
考点：
规律型：数字的变化类．菁优网版权所有
专题：
压轴题；规律型．
分析：
13=12
13+23=〔1+2〕2=32
13+23+33=〔1+2+3〕2=62
13+23+33+43=〔1+2+3+4〕2=102
13+23+33+…+103=〔1+2+3…+10〕2=552．
解答：
解：根据数据可分析出规律为从1开始，连续n个数的立方和=〔1+2+…+n〕2
所以13+23+33+…+103=〔1+2+3…+10〕2=552．
点评：
此题的规律为：从1开始，连续n个数的立方和=〔1+2+…+n〕2．
三、解答题〔一〕：本大题共5小题，共38分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
19．〔2022甘肃省临夏州，19，6分〕计算：〔﹣2〕3+×〔2022+π〕0﹣|﹣|+tan260°．
考点：
实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
原式第一项利用乘方的意义化简，第二项利用零指数幂法那么计算，第三项利用绝对值的代数意义化简，最后一项利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果．
解答：
解：原式=﹣8+﹣+3=﹣5．
点评：
此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法那么是解此题的关键．
20．〔2022甘肃省临夏州，20，6分〕阅读理解：
我们把称作二阶行列式，规定他的运算法那么为=ad﹣bc．如=2×5﹣3×4=﹣2．
如果有＞0，求x的解集．
考点：
解一元一次不等式．菁优网版权所有
专题：
阅读型．
分析：
首先看懂题目所给的运算法那么，再根据法那么得到2x﹣〔3﹣x〕＞0，然后去括号、移项、合并同类项，再把x的系数化为1即可．
解答：
解：由题意得2x﹣〔3﹣x〕＞0，
去括号得：2x﹣3+x＞0，
移项合并同类项得：3x＞3，
把x的系数化为1得：x＞1．
点评：
此题主要考查了一元一次不等式的解法，关键是看懂题目所给的运算法那么，根据题意列出不等式．
21．〔2022甘肃省临夏州，21，8分〕如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°．
〔1〕用尺规作图作AB边上的中垂线DE，交AC于点D，交AB于点E．〔保存作图痕迹，不要求写作法和证明〕；
〔2〕连接BD，求证：BD平分∠CBA．
考点：
作图—复杂作图；线段垂直平分线的性质．菁优网版权所有
专题：
作图题；证明题；压轴题．
分析：
〔1〕分别以A、B为圆心，以大于AB的长度为半径画弧，过两弧的交点作直线，交AC于点D，AB于点E，直线DE就是所要作的AB边上的中垂线；
〔2〕根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD=BD，再根据等边对等角的性质求出∠ABD=∠A=30°，然后求出∠CBD=30°，从而得到BD平分∠CBA．
解答：
〔1〕解：如下列图，DE就是要求作的AB边上的中垂线；

〔2〕证明：∵DE是AB边上的中垂线，∠A=30°，
∴AD=BD，
∴∠ABD=∠A=30°，
∵∠C=90°，
∴∠ABC=90°﹣∠A=90°﹣30°=60°，
∴∠CBD=∠ABC﹣∠ABD=60°﹣30°=30°，
∴∠ABD=∠CBD，
∴BD平分∠CBA．

点评：
此题考查了线段垂直平分线的作法以及线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，难度不大，需熟练掌握．
22．〔2022甘肃省临夏州，22，8分〕为倡导“低碳生活〞，人们常选择以自行车作为代步工具、图〔1〕所示的是一辆自行车的实物图．图〔2〕是这辆自行车的局部几何示意图，其中车架档AC与CD的长分别为45cm和60cm，且它们互相垂直，座杆CE的长为20cm．点A、C、E在同一条只显示，且∠CAB=75°．〔参考数据：sin75°=0.966，cos75°=0.259，tan75°=3.732〕
〔1〕求车架档AD的长；
〔2〕求车座点E到车架档AB的距离〔结果精确到1cm〕．
考点：
解直角三角形的应用．菁优网版权所有
分析：
〔1〕在Rt△ACD中利用勾股定理求AD即可．
〔2〕过点E作EF⊥AB，在RT△EFA中，利用三角函数求EF=AEsin75°，即可得到答案．
解答：
解：〔1〕∵在Rt△ACD中，AC=45cm，DC=60cm
∴AD==75〔cm〕，
∴车架档AD的长是75cm；

〔2〕过点E作EF⊥AB，垂足为F，
∵AE=AC+CE=〔45+20〕cm，
∴EF=AEsin75°=〔45+20〕sin75°≈62.7835≈63〔cm〕，
∴车座点E到车架档AB的距离约是63cm．

点评：
此题主要考查了勾股定理与三角函数的应用，关键把实际问题转化为数学问题加以计算．
23．〔2022甘肃省临夏州，23，10分〕如图，在直角坐标系xOy中，直线y=mx与双曲线相交于A〔﹣1，a〕、B两点，BC⊥x轴，垂足为C，△AOC的面积是1．
〔1〕求m、n的值；
〔2〕求直线AC的解析式．
考点：
反比例函数与一次函数的交点问题．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
〔1〕由题意，根据对称性得到B的横坐标为1，确定出C的坐标，根据三角形AOC的面积求出A的纵坐标，确定出A坐标，将A坐标代入一次函数与反比例函数解析式，即可求出m与n的值；
〔2〕设直线AC解析式为y=kx+b，将A与C坐标代入求出k与b的值，即可确定出直线AC的解析式．
解答：
解：〔1〕∵直y=mx与双曲线y=相交于A〔﹣1，a〕、B两点，
∴B点横坐标为1，即C〔1，0〕，
∵△AOC的面积为1，
∴A〔﹣1，2〕，
将A〔﹣1，2〕代入y=mx，y=可得m=﹣2，n=﹣2；

〔2〕设直线AC的解析式为y=kx+b，
∵y=kx+b经过点A〔﹣1，2〕、C〔1，0〕
∴，
解得k=﹣1，b=1，
∴直线AC的解析式为y=﹣x+1．

点评：
此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：反比例函数的图象与性质，待定系数法确定函数解析式，熟练掌握待定系数法是解此题的关键．
四、解答题〔二〕：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
24．〔2022甘肃省临夏州，24，8分〕在一个不透明的布袋里装有4个标号为1、2、3、4的小球，它们的材质、形状、大小完全相同，小凯从布袋里随机取出一个小球，记下数字为x，小敏从剩下的3个小球中随机取出一个小球，记下数字为y，这样确定了点P的坐标〔x，y〕．
〔1〕请你运用画树状图或列表的方法，写出点P所有可能的坐标；
〔2〕求点〔x，y〕在函数y=﹣x+5图象上的概率．
考点：
列表法与树状图法；一次函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
分析：
〔1〕首先根据题意画出表格，即可得到P的所以坐标；
〔2〕然后由表格求得所有等可能的结果与数字x、y满足y=﹣x+5的情况，再利用概率公式求解即可求得答案
解答：
解：列表得：
y
x
〔x，y〕
1
2
3
4
1

〔1，2〕
〔1，3〕
〔1，4〕
2
〔2，1〕

〔2，3〕
〔2，4〕
3
〔3，1〕
〔3，2〕

〔3，4〕
4
〔4，1〕
〔4，2〕
〔4，3〕

〔1〕点P所有可能的坐标有：〔1，2〕，〔1，3〕，〔1，4〕，〔2，1〕，〔2，3〕，〔2，4〕，〔3，1〕，〔3，2〕，〔3，4〕，〔4，1〕，〔4，2〕，〔4，3〕共12种；

〔2〕∵共有12种等可能的结果，其中在函数y=﹣x+5图象上的有4种，
即：〔1，4〕，〔2，3〕，〔3，2〕，〔4，1〕
∴点P〔x，y〕在函数y=﹣x+5图象上的概率为：P=．
点评：
此题考查的是用列表法或树状图法求概率与不等式的性质．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．
25．〔2022甘肃省临夏州，25，10分〕某校课外小组为了解同学们对学校“阳光跑操〞活动的喜欢程度，抽取局部学生进行调查，被调查的每个学生按A〔非常喜欢〕、B〔比较喜欢〕、C〔一般〕、D〔不喜欢〕四个等级对活动评价，图1和图2是该小组采集数据后绘制的两幅统计图，经确认扇形统计图是正确的，而条形统计图尚有一处错误且并不完整．请你根据统计图提供的信息．解答以下问题：
〔1〕此次调查的学生人数为　200　；
〔2〕条形统计图中存在错误的选项是　C　〔填A、B、C、D中的一个〕，并在图中加以改正；
〔3〕在图2中补画条形统计图中不完整的局部；
〔4〕如果该校有600名学生，那么对此活动“非常喜欢〞和“比较喜欢〞的学生共有多少人
考点：
条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．菁优网版权所有
分析：
〔1〕根据A、B的人数和所占的百分比求出抽取的学生人数，并判断出条形统计图A、B长方形是正确的；
〔2〕根据〔1〕的计算判断出C的条形高度错误，用调查的学生人数乘以C所占的百分比计算即可得解；
〔3〕求出D的人数，然后补全统计图即可；
〔4〕用总人数乘以A、B所占的百分比计算即可得解．
解答：
解：〔1〕∵40÷20%=200，
80÷40%=200，
∴此次调查的学生人数为200；

〔2〕由〔1〕可知C条形高度错误，
应为：200×〔1﹣20%﹣40%﹣15%〕=200×25%=50，
即C的条形高度改为50；
故答案为：200；C；

〔3〕D的人数为：200×15%=30；

〔4〕600×〔20%+40%〕=360〔人〕，
答：该校对此活动“非常喜欢〞和“比较喜欢〞的学生有360人．

点评：
此题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个工程的数据；扇形统计图直接反映局部占总体的百分比大小．
26．〔2022甘肃省临夏州，26，10分〕D、E分别是不等边三角形ABC〔即AB≠BC≠AC〕的边AB、AC的中点．O是△ABC所在平面上的动点，连接OB、OC，点G、F分别是OB、OC的中点，顺次连接点D、G、F、E．
〔1〕如图，当点O在△ABC的内部时，求证：四边形DGFE是平行四边形；
〔2〕假设四边形DGFE是菱形，那么OA与BC应满足怎样的数量关系〔直接写出答案，不需要说明理由．〕
考点：
三角形中位线定理；平行四边形的判定；菱形的判定．菁优网版权所有
分析：
〔1〕根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DE∥BC且DE=BC，GF∥BC且GF=BC，从而得到DE∥GF，DE=GF，再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可；
〔2〕根据邻边相等的平行四边形是菱形解答．
解答：
〔1〕证明：∵D、E分别是AB、AC边的中点，
∴DE∥BC，且DE=BC，
同理，GF∥BC，且GF=BC，
∴DE∥GF且DE=GF，
∴四边形DEFG是平行四边形；

〔2〕解：当OA=BC时，平行四边形DEFG是菱形．
点评：
此题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，平行四边形的判定，菱形的判定以及平行四边形与菱形的关系，熟记的定理和性质是解题的关键．
27．〔2022甘肃省临夏州，27，10分〕如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作半圆⊙O交AC与点D，点E为BC的中点，连接DE．
〔1〕求证：DE是半圆⊙O的切线．
〔2〕假设∠BAC=30°，DE=2，求AD的长．
考点：
切线的判定．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
〔1〕连接OD，OE，由AB为圆的直径得到三角形BCD为直角三角形，再由E为斜边BC的中点，得到DE=BE=DC，再由OB=OD，OE为公共边，利用SSS得到三角形OBE与三角形ODE全等，由全等三角形的对应角相等得到DE与OD垂直，即可得证；
〔2〕在直角三角形ABC中，由∠BAC=30°，得到BC为AC的一半，根据BC=2DE求出BC的长，确定出AC的长，再由∠C=60°，DE=EC得到三角形EDC为等边三角形，可得出DC的长，由AC﹣CD即可求出AD的长．
解答：
〔1〕证明：连接OD，OE，
∵AB为圆O的直径，
∴∠ADB=∠BDC=90°，
在Rt△BDC中，E为斜边BC的中点，
∴DE=BE，
在△OBE和△ODE中，
，
∴△OBE≌△ODE〔SSS〕，
∴∠ODE=∠ABC=90°，
那么DE为圆O的切线；

〔2〕在Rt△ABC中，∠BAC=30°，
∴BC=AC，
∵BC=2DE=4，
∴AC=8，
又∵∠C=60°，DE=DC，
∴△DEC为等边三角形，即DC=DE=2，
那么AD=AC﹣DC=6．

点评：
此题考查了切线的判定，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握切线的判定方法是解此题的关键．
28．〔2022甘肃省临夏州，28，12分〕如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线是由抛物线y=x2﹣3向右平移一个单位后得到的，它与y轴负半轴交于点A，点B在该抛物线上，且横坐标为3．
〔1〕求点M、A、B坐标；
〔2〕联结AB、AM、BM，求∠ABM的正切值；
〔3〕点P是顶点为M的抛物线上一点，且位于对称轴的右侧，设PO与x正半轴的夹角为α，当α=∠ABM时，求P点坐标．
考点：
二次函数综合题．菁优网版权所有
专题：
压轴题．
分析：
〔1〕根据向右平移横坐标加写出平移后的抛物线解析式，然后写出顶点M的坐标，令x=0求出A点的坐标，把x=3代入函数解析式求出点B的坐标；
〔2〕过点B作BE⊥AO于E，过点M作MF⊥AO于M，然后求出∠EAB=∠EBA=45°，同理求出∠FAM=∠FMA=45°，然后求出△ABE和△AMF相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出，再求出∠BAM=90°，然后根据锐角的正切等于对边比邻边列式即可得解；
〔3〕过点P作PH⊥x轴于H，分点P在x轴的上方和下方两种情况利用α的正切值列出方程求解即可．
解答：
解：〔1〕抛物线y=x2﹣3向右平移一个单位后得到的函数解析式为y=〔x﹣1〕2﹣3，
顶点M〔1，﹣3〕，
令x=0，那么y=〔0﹣1〕2﹣3=﹣2，
点A〔0，﹣2〕，
x=3时，y=〔3﹣1〕2﹣3=4﹣3=1，
点B〔3，1〕；

〔2〕过点B作BE⊥AO于E，过点M作MF⊥AO于M，
∵EB=EA=3，
∴∠EAB=∠EBA=45°，
同理可求∠FAM=∠FMA=45°，
∴△ABE∽△AMF，
∴==，
又∵∠BAM=180°﹣45°×2=90°，
∴tan∠ABM==；

〔3〕过点P作PH⊥x轴于H，
∵y=〔x﹣1〕2﹣3=x2﹣2x﹣2，
∴设点P〔x，x2﹣2x﹣2〕，
①点P在x轴的上方时，=，
整理得，3x2﹣7x﹣6=0，
解得x1=﹣〔舍去〕，x2=3，
∴点P的坐标为〔3，1〕；
②点P在x轴下方时，=，
整理得，3x2﹣5x﹣6=0，
解得x1=〔舍去〕，x2=，
x=时，x2﹣2x﹣2=﹣×=﹣，
∴点P的坐标为〔，﹣〕，
综上所述，点P的坐标为〔3，1〕或〔，﹣〕．

点评：
此题是二次函数的综合题型，主要利用了二次函数图象与几何变换，抛物线与坐标轴的交点的求法，相似三角形的判定与性质，锐角三角形函数，难点在于作辅助线并分情况讨论．