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数列(9)
一、选择题(此题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的)
1．[2022·河北衡水中学摸底]数列{an}，假设数列{3n－1an}的前n项和Tn＝×6n－，那么a5的值为( )
A. B.
C．16 D．32
答案：C
解析：通解 ∵Tn＝×6n－，∴n≥2时，3n－1an＝Tn－Tn－1＝×6n－×6n－1＝6n－1，即an＝2n－1(n≥2)，∴a5＝16，应选C.
优解 ∵Tn＝×6n－，∴34a5＝T5－T4＝－＝64，∴a5＝24＝16，应选C.
2．[2022·重庆一中期末]数列{an}满足a1＝1，前n项和为Sn，且Sn＝2an(n≥2，n∈N*)，那么{an}(n≥2)的通项公式为an＝( )
A．2n－1 B．2n－2
C．2n＋1－3 D．3－2n
答案：B
解析：∵Sn＝2an(n≥2，n∈N*)，∴n≥3时，an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，即an＝2an－1(n≥3)，易得a2＝1，∴an＝2n－2(n≥2)，应选B.
3．[2022·天津一中月考]在各项均为正数的数列{an}中，a1＝2，a－2an＋1an－3a＝0，Sn为{an}的前n项和，假设Sn＝242，那么n＝( )
A．5 B．6
C．7 D．8
答案：A
解析：由a－2an＋1an－3a＝0，得(an＋1－3an)(an＋1＋an)＝0，即an＋1＝3an或an＋1＝－an，又{an}各项均为正数，所以an＋1＝3an.因为a1＝2，an＋1＝3an，所以数列{an}是首项为2，公比为3的等比数列，那么由Sn＝＝242，解得n＝5，应选A.
4．[2022·湖北武汉局部重点中学联考]数列{an}的通项公式是an＝(－1)n·(3n－1)，那么a1＋a2＋…＋a10＝( )
A．15 B．12
C．－12 D．－15
答案：A
解析：依题意，得a1＋a2＋…＋a10＝(a1＋a3＋…＋a9)＋(a2＋a4＋…＋a10)＝－(2＋8＋…＋26)＋(5＋11＋…＋29)＝－×5＋×5＝－70＋85＝15.应选A.
5．[2022·湖北武汉武昌实验中学月考]两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题．他们在沙滩上画出点或用小石子表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如下列图中实心点的个数依次为5,9,14,20，…，这样的一组数被称为梯形数，记此数列为{an}，那么( )
A．an＋1＋an＝n＋2 B．an＋1－an＝n＋2
C．an＋1＋an＝n＋3 D．an＋1－an＝n＋3
答案：D
解析：由可得a2－a1＝4，a3－a2＝5，a4－a3＝6，…，由此可以得到an＋1－an＝n＋3.应选D.
6．[2022·湖北武汉一中月考]数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n，那么( )
A．an＝n＋ B．an＝
C．an＝2n－ D．an＝
答案：A
解析：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－＝n＋；当n＝1时，a1＝S1＝×12＋1＝，符合上式．所以an＝n＋(n∈N*)．应选A.
7．[2022·甘肃酒泉五校联考]设等比数列{an}的前n项和为Sn，假设a4，a3，a5成等差数列，且Sk＝33，Sk＋1＝－63，其中k∈N*，那么k的值为( )
A．4 B．5
C．6 D．7
答案：B
解析：设等比数列{an}的公比为q，由a4，a3，a5成等差数列，得2a3＝a4＋a5，即2a1q2＝a1q3＋a1q4.易知a1≠0，q≠0，所以q2＋q－2＝0，解得q＝1或q＝－2.当q＝1时，与Sk＝33，Sk＋1＝－63矛盾，舍去，所以q＝－2.又Sk＝＝33，Sk＋1＝＝－63，所以k＝5.应选B.
8．[2022·山西河津二中月考]数列{an}为，＋，＋＋，＋＋＋，…，假设bn＝，那么数列{bn}的前n项和Sn为( )
A. B.
C. D.
答案：A
解析：∵an＝＝，∴bn＝＝4，∴Sn＝4＝.应选A.
9．[2022·辽宁沈阳二中月考]数列{an}的通项公式为an＝且bn＝an＋an＋1，那么b1＋b2＋…＋b200＝( )
A．－400 B．400
C．－200 D．200
答案：C
解析：∵an＝且bn＝an＋an＋1，∴n为奇数时，bn＝－n2＋(n＋1)2＝2n＋1，n为偶数时，bn＝n2－(n＋1)2＝－2n－1，∴b1＋b2＋…＋b200＝(b1＋b3＋…＋b199)＋(b2＋b4＋…＋b200)＝＋＝－200.应选C.
10．[2022·天津局部地区第三次联考]f(x)＝＋sin，数列{an}满足an＝f(0)＋f＋f＋…＋f＋f(1)，那么a2 019＝( )
A．1 009 B．1 010
C．2 019 D．2 020
答案：B
解析：因为f(x)＝＋sin，所以f(x)＋f(1－x)＝＋sin＋＋sin＝1＋sin－sin＝1.又数列{an}满足an＝f(0)＋f＋f＋…＋f＋f(1)，所以a2 019＝f(0)＋f＋f＋…＋f＋f(1)＝1 010×1＝1 010.应选B.
11．[2022·河北邢台月考]在数列{an}中，a1＝1，an＝·an－1(n∈N*，n≥2)，记Sn为数列的前n项和，假设Sn＝，那么n＝( )
A．25 B．49
C．50 D．26
答案：B
解析：设＝bn，∵an＝an－1(n≥2)，∴＝·，∴bn＝bn－1，b1＝1，∴bn＝＝2，∴Sn＝，∴＝，∴n＝49.应选B.
12．[2022·甘肃酒泉五校联考]在递减的等差数列{an}中，a1a3＝a－4，假设a1＝13，那么数列的前n项和Sn的最大值为( )
A. B.
C. D.
答案：D
解析：设等差数列{an}的公差为d，那么d<0，由a1a3＝a－4，a1＝13，得13(13＋2d)＝(13＋d)2－4，解得d＝－2或d＝2(舍去)，所以an＝13－2(n－1)＝15－2n.因为＝＝，所以Sn＝≤＝.应选D.
二、填空题(此题共4小题，每题5分，共20分)
13．[2022·湖北宜昌两校联考]数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝2n＋1－1，那么数列{an}的通项公式为____________．
答案：an＝
解析：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1－1－(2n－1)＝2n；当n＝1时，a1＝S1＝22－1＝3，不符合上式．所以an＝
14．[2022·吉林省实验中学模拟]设数列{an}的通项公式为an＝n·2n－1(n∈N*)，那么{an}的前5项和为____________．
答案：129
解析：∵an＝n·2n－1(n∈N*)，∴数列{an}的前5项和为1＋4＋12＋32＋80＝129.
15．[2022·湖北武汉十六中月考]数列{an}满足：a1，，，…，是首项为2，公比为2的等比数列，那么数列的前n项和为____________．
答案：
解析：∵a1，，，…，是首项为2，公比为2的等比数列，∴an＝2×22×23×…×2n＝2，∴＝＝2，∴数列的前n项和为.
16．[2022·山东济南四校联考]数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋an＝2n＋1，那么数列{an}的通项公式为____________．
答案：an＝
解析：依题意知，a1＋a2＋a3＋…＋an＝2n＋1，当n≥2时，a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝2n－1，两式相减，得an＝2，即an＝2n＋1(n≥2)；当n＝1时，a1＝2×1＋1，即a1＝6，不符合上式．所以an＝
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