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第5讲 椭 圆
一、选择题
1．椭圆＋＝1的焦距为2，那么m的值等于
( )
A．5 B．3 C．5或3 D．8
解析 当m>4时，m－4＝1，∴m＝5；当0<m<4时，4－m＝1，∴m＝3.
答案 C
2．“2<m<6”是“方程＋＝1表示椭圆〞的
( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析 假设＋＝1表示椭圆．
那么有∴2<m<6且m≠4.
故“2<m<6”是“＋＝1表示椭圆〞的必要不充分条件．
答案 B
3．设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，那么C的离心率为
( )
A. B.
C. D.
解析 在Rt△PF2F1中，令|PF2|＝1，因为∠PF1F2＝30°，所以|PF1|＝2，|F1F2|＝.故e＝＝＝.应选D.
答案 D
4．(2022·全国Ⅰ卷)椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y2＝8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，那么|AB|＝
( )
A．3 B．6
C．9 D．12
解析 抛物线C：y2＝8x的焦点坐标为(2,0)，准线方程为x＝－2.从而椭圆E的半焦距c＝2.可设椭圆E的方程为＋＝1(a＞b＞0)，因为离心率e＝＝，所以a＝4，所以b2＝a2－c2＝12.由题意知|AB|＝＝2×＝6.应选B.
答案 B
5．(2022·江西师大附中模拟)椭圆ax2＋by2＝1(a＞0，b＞0)与直线y＝1－x交于A，B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为，那么的值为
( )
A. B.
C. D.
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
那么ax＋by＝1，ax＋by＝1，
即ax－ax＝－(by－by)，＝－1，
＝－1，∴×(－1)×＝－1，
∴＝，应选B.
答案 B
二、填空题
6．焦距是8，离心率等于0.8的椭圆的标准方程为________．
解析 由题意知解得
又b2＝a2－c2，∴b2＝9，∴b＝3.
当焦点在x轴上时，椭圆方程为＋＝1，
当焦点在y轴上时，椭圆方程为＋＝1.
答案 ＋＝1或＋＝1
7．(2022·南昌质检)椭圆＋＝1上的一点P到两焦点的距离的乘积为m，当m取最大值时，点P的坐标是________．
解析 记椭圆的两个焦点分别为F1，F2，有|PF1|＋|PF2|＝2a＝10.
那么m＝|PF1|·|PF2|≤2＝25，当且仅当|PF1|＝|PF2|＝5，即点P位于椭圆的短轴的顶点处时，m取得最大值25.
∴点P的坐标为(－3,0)或(3,0)．
答案 (－3,0)或(3,0)
8．(2022·乌鲁木齐调研)F1(－c,0)，F2(c,0)为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆上一点，且·＝c2，那么此椭圆离心率的取值范围是________．
解析 设P(x，y)，那么·＝(－c－x，－y)·(c－x，－y)＝x2－c2＋y2＝c2，①
将y2＝b2－x2代入①式解得
x2＝＝，
又x2∈[0，a2]，∴2c2≤a2≤3c2，
∴e＝∈.
答案
三、解答题
9．设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N.
(1)假设直线MN的斜率为，求C的离心率；
(2)假设直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|＝5|F1N|，求a，b.
解 (1)根据c＝及题设知M，2b2＝3ac.
将b2＝a2－c2代入2b2＝3ac，解得＝或＝－2(舍去)．故C的离心率为.
(2)由题意，知原点O为F1F2的中点，MF2∥y轴，
所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点，
故＝4，即b2＝4a.①
由|MN|＝5|F1N|，得|DF1|＝2|F1N|.
设N(x1，y1)，由题意知y1＜0，那么
即
代入C的方程，得＋＝1.②
将①及c＝代入②得＋＝1.
解得a＝7，b2＝4a＝28，
故a＝7，b＝2 .
10．(2022·宝鸡月考)点M(，)在椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)上，且椭圆的离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)假设斜率为1的直线l与椭圆C交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(－3,2)，求△PAB的面积．
解 (1)由得
解得
故椭圆C的方程为＋＝1.
(2)设直线l的方程为y＝x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为D(x0，y0)．
由消去y，整理得4x2＋6mx＋3m2－12＝0，
那么x0＝＝－m，y0＝x0＋m＝m，
即D.
因为AB是等腰三角形PAB的底边，所以PD⊥AB，
即PD的斜率k＝＝－1，解得m＝2.
此时x1＋x2＝－3，x1x2＝0，
那么|AB|＝|x1－x2|＝·＝3，
又点P到直线l：x－y＋2＝0的距离为d＝，
所以△PAB的面积为S＝|AB|·d＝.
11．(2022·高安模拟)椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，假设F关于直线x＋y＝0的对称点A是椭圆C上的点，那么椭圆C的离心率为
( )
A. B.
C. D.－1
解析 设F(－c,0)关于直线x＋y＝0的对称点A(m，n)，
那么∴m＝，n＝c，
代入椭圆方程可得＋＝1，并把b2＝a2－c2代入，
化简可得e4－8e2＋4＝0，解得e2＝4±2，又0＜e＜1，∴e＝－1，应选D.
答案 D
12．(2022·海沧实验中学模拟)直线l：y＝kx＋2过椭圆＋＝1(a＞b＞0)的上顶点B和左焦点F，且被圆x2＋y2＝4截得的弦长为L，假设L≥，那么椭圆离心率e的取值范围是
( )
A. B.
C. D.
解析 依题意，知b＝2，kc＝2.
设圆心到直线l的距离为d，那么L＝2≥，
解得d2≤.又因为d＝，所以≤，
解得k2≥.
于是e2＝＝＝，所以0＜e2≤，解得0＜e≤.应选B.
答案 B
13．椭圆＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上一动点，假设∠F1PF2为钝角，那么点P的横坐标的取值范围是________．
解析 设椭圆上一点P的坐标为(x，y)，
那么＝(x＋，y)，＝(x－，y)．
∵∠F1PF2为钝角，∴·<0，
即x2－3＋y2<0，①
∵y2＝1－，代入①得x2－3＋1－<0，
即x2<2，∴x2<.
解得－<x<，∴x∈.
答案
14．(2022·西安质监)椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝6，直线y＝kx与椭圆交于A，B两点．
(1)假设△AF1F2的周长为16，求椭圆的标准方程；
(2)假设k＝，且A，B，F1，F2四点共圆，求椭圆离心率e的值；
(3)在(2)的条件下，设P(x0，y0)为椭圆上一点，且直线PA的斜率k1∈(－2，－1)，试求直线PB的斜率k2的取值范围．
解 (1)由题意得c＝3，根据2a＋2c＝16，得a＝5.
结合a2＝b2＋c2，解得a2＝25，b2＝16.
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)法一 由得x2－a2b2＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
所以x1＋x2＝0，x1x2＝，
由AB，F1F2互相平分且共圆，易知，AF2⊥BF2，
因为＝(x1－3，y1)，＝(x2－3，y2)，
所以·＝(x1－3)(x2－3)＋y1y2＝x1x2＋9＝0.即x1x2＝－8，所以有＝－8，
结合b2＋9＝a2，解得a2＝12，∴e＝.
法二 设A(x1，y1)，又AB，F1F2互相平分且共圆，所以AB，F1F2是圆的直径，所以x＋y＝9，
又由椭圆及直线方程综合可得
由前两个方程解得x＝8，y＝1，
将其代入第三个方程并结合b2＝a2－c2＝a2－9，
解得a2＝12，故e＝.
(3)由(2)的结论知，椭圆方程为＋＝1，
由题可设A(x1，y1)，B(－x1，－y1)，k1＝，k2＝，所以k1k2＝，
又＝＝－.
即k2＝－，
由－2＜k1＜－1可知，＜k2＜.
故直线PB的斜率k2的取值范围是.
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