2022年宁夏中考数学试卷2.docx

2022年宁夏中考数学试卷
一、选择题：本大题共8个小题，每题3分，共24分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.
1．〔3分〕以下各式计算正确的选项是〔　　〕
A．4a﹣a=3 B．a6÷a2=a3 C．〔﹣a3〕2=a6 D．a3•a2=a6
2．〔3分〕在平面直角坐标系中，点〔3，﹣2〕关于原点对称的点是〔　　〕
A．〔﹣3，2〕 B．〔﹣3，﹣2〕 C．〔3，﹣2〕 D．〔3，2〕
3．〔3分〕学校国旗护卫队成员的身高分布如下表：
身高/cm
159
160
161
162
人数
7
10
9
9
那么学校国旗护卫队成员的身高的众数和中位数分别是〔　　〕
A．160和160 B．160和160.5 C．160和161 D．161和161
4．〔3分〕某商品四天内每天每斤的进价与售价信息如下列图，那么售出这种商品每斤利润最大的是〔　　〕
A．第一天 B．第二天 C．第三天 D．第四天
5．〔3分〕关于x的一元二次方程〔a﹣1〕x2+3x﹣2=0有实数根，那么a的取值范围是〔　　〕
A． B． C．且a≠1 D．且a≠1
6．〔3分〕点 A〔﹣1，1〕，B〔1，1〕，C〔2，4〕在同一个函数图象上，这个函数图象可能是〔　　〕
A． B． C． D．
7．〔3分〕如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影局部沿虚线剪开，拼成右边的矩形．根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是〔　　〕
A．〔a﹣b〕2=a2﹣2ab+b2 B．a〔a﹣b〕=a2﹣ab
C．〔a﹣b〕2=a2﹣b2 D．a2﹣b2=〔a+b〕〔a﹣b〕
8．〔3分〕圆锥的底面半径r=3，高h=4，那么圆锥的侧面积是〔　　〕
A．12π B．15π C．24π D．30π
二、填空题〔每题3分，总分值24分，将答案填在答题纸上〕
9．〔3分〕分解因式：2a2﹣8=．
10．〔3分〕实数a在数轴上的位置如图，那么|a﹣|=．
11．〔3分〕如下列图的圆形纸板被等分成10个扇形挂在墙上，玩飞镖游戏〔每次飞镖均落在纸板上〕，那么飞镖落在阴影区域的概率是．
12．〔3分〕某种商品每件的进价为80元，标价为120元，后来由于该商品积压，将此商品打七折销售，那么该商品每件销售利润为元．
13．〔3分〕如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点A'处．假设∠1=∠2=50°，那么∠A'为．
14．〔3分〕在△ABC中，AB=6，点D是AB的中点，过点D作DE∥BC，交AC于点E，点M在DE上，且ME=DM．当AM⊥BM时，那么BC的长为．
15．〔3分〕如图，点 A，B，C均在6×6的正方形网格格点上，过A，B，C三点的外接圆除经过A，B，C三点外还能经过的格点数为．
16．〔3分〕如图是由假设干个棱长为1的小正方体组合而成的一个几何体的三视图，那么这个几何体的外表积是．
三、解答题〔本大题共6小题，共36分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.〕
17．〔6分〕解不等式组：．
18．〔6分〕解方程：﹣=1．
19．〔6分〕校园播送主持人培训班开展比赛活动，分为 A、B、C、D四个等级，对应的成绩分别是9分、8分、7分、6分，根据如图不完整的统计图解答以下问题：
〔1〕补全下面两个统计图〔不写过程〕；
〔2〕求该班学生比赛的平均成绩；
〔3〕现准备从等级A的4人〔两男两女〕中随机抽取两名主持人，请利用列表或画树状图的方法，求恰好抽到一男一女学生的概率
20．〔6分〕在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A〔2，3〕，B〔1，1〕，C〔5，1〕．
〔1〕把△ABC平移后，其中点 A移到点A1〔4，5〕，画出平移后得到的△A1B1C1；
〔2〕把△A1B1C1绕点A1按逆时针方向旋转90°，画出旋转后的△A2 B2C2．
21．〔6分〕在△ABC中，M是AC边上的一点，连接BM．将△ABC沿AC翻折，使点B落在点D处，当DM∥AB时，求证：四边形ABMD是菱形．
22．〔6分〕某商店分两次购进 A、B两种商品进行销售，两次购进同一种商品的进价相同，具体情况如下表所示：

购进数量〔件〕
购进所需费用〔元〕

A
B
第一次
30
40
3800
第二次
40
30
3200
〔1〕求A、B两种商品每件的进价分别是多少元
〔2〕商场决定A种商品以每件30元出售，B种商品以每件100元出售．为满足市场需求，需购进A、B两种商品共1000件，且A种商品的数量不少于B种商品数量的4倍，请你求出获利最大的进货方案，并确定最大利润．
四、解答题〔本大题共4小题，共36分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.〕
23．〔8分〕将一副三角板Rt△ABD与Rt△ACB〔其中∠ABD=90°，∠D=60°，∠ACB=90°，∠ABC=45°〕如图摆放，Rt△ABD中∠D所对直角边与Rt△ACB斜边恰好重合．以AB为直径的圆经过点C，且与AD交于点 E，分别连接EB，EC．
〔1〕求证：EC平分∠AEB；
〔2〕求的值．
24．〔8分〕直线y=kx+b与反比例函数y=〔x＞0〕的图象分别交于点 A〔m，3〕和点B〔6，n〕，与坐标轴分别交于点C和点D．
〔1〕求直线AB的解析式；
〔2〕假设点P是x轴上一动点，当△COD与△ADP相似时，求点P的坐标．
25．〔10分〕为确保广阔居民家庭根本用水需求的同时鼓励家庭节约用水，对居民家庭每户每月用水量采用分档递增收费的方式，每户每月用水量不超过根本用水量的局部享受根本价格，超出根本用水量的局部实行超价收费．为对根本用水量进行决策，随机抽查2000户居民家庭每户每月用水量的数据，整理绘制出下面的统计表：
用户每月用水量〔m3〕
32及其以下
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43及其以上
户数〔户〕
200
160
180
220
240
210
190
100
170
120
100
110
〔1〕为确保70%的居民家庭每户每月的根本用水量需求，那么每户每月的根本用水量最低应确定为多少立方米
〔2〕假设将〔1〕中确定的根本用水量及其以内的局部按每立方米1.8元交费，超过根本用水量的局部按每立方米2.5元交费．设x表示每户每月用水量〔单位：m3〕，y表示每户每月应交水费〔单位：元〕，求y与x的函数关系式；
〔3〕某户家庭每月交水费是80.9元，请按以上收费方式计算该家庭当月用水量是多少立方米
26．〔10分〕在边长为2的等边三角形ABC中，P是BC边上任意一点，过点 P分别作 PM⊥A B，PN⊥AC，M、N分别为垂足．
〔1〕求证：不管点P在BC边的何处时都有PM+PN的长恰好等于三角形ABC一边上的高；
〔2〕当BP的长为何值时，四边形AMPN的面积最大，并求出最大值．
2022年宁夏中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共8个小题，每题3分，共24分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.
1．〔3分〕〔2022•宁夏〕以下各式计算正确的选项是〔　　〕
A．4a﹣a=3 B．a6÷a2=a3 C．〔﹣a3〕2=a6 D．a3•a2=a6
【分析】根据合并同类项，同底数幂的除法底数不变指数相减，积的乘方等于乘方的积，同底数幂的乘法底数不变指数相加，可得答案．
【解答】解：A、系数相加字母及指数不变，故A不符合题意；
B、同底数幂的除法底数不变指数相减，故B不符合题意；
C、积的乘方等于乘方的积，故C符合题意；
D、同底数幂的乘法底数不变指数相加，故D不符合题意；
应选：C．
【点评】此题考查了同底数幂的除法，熟记法那么并根据法那么计算是解题关键．
2．〔3分〕〔2022•宁夏〕在平面直角坐标系中，点〔3，﹣2〕关于原点对称的点是〔　　〕
A．〔﹣3，2〕 B．〔﹣3，﹣2〕 C．〔3，﹣2〕 D．〔3，2〕
【分析】根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答．
【解答】解：点〔3，﹣2〕关于原点对称的点的坐标是〔﹣3，2〕，
应选：A．
【点评】此题考查了关于原点对称的点的坐标，熟记关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数是解题的关键．
3．〔3分〕〔2022•宁夏〕学校国旗护卫队成员的身高分布如下表：
身高/cm
159
160
161
162
人数
7
10
9
9
那么学校国旗护卫队成员的身高的众数和中位数分别是〔　　〕
A．160和160 B．160和160.5 C．160和161 D．161和161
【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数据；找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数〔或两个数的平均数〕为中位数．
【解答】解：数据160出现了10次，次数最多，众数是：160cm；
排序后位于中间位置的是161cm，中位数是：161cm．
应选C．
【点评】此题为统计题，考查众数与中位数的意义．将一组数据从小到大〔或从大到小〕重新排列后，最中间的那个数〔或最中间两个数的平均数〕，叫做这组数据的中位数．如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．
4．〔3分〕〔2022•宁夏〕某商品四天内每天每斤的进价与售价信息如下列图，那么售出这种商品每斤利润最大的是〔　　〕
A．第一天 B．第二天 C．第三天 D．第四天
【分析】根据图象中的信息即可得到结论．
【解答】解：由图象中的信息可知，
利润=售价﹣进价，利润最大的天数是第二天，
应选B．
【点评】此题考查了折线统计图，有理数大小的比较，正确的把握图象中的信息，理解利润=售价﹣进价是解题的关键．
5．〔3分〕〔2022•宁夏〕关于x的一元二次方程〔a﹣1〕x2+3x﹣2=0有实数根，那么a的取值范围是〔　　〕
A． B． C．且a≠1 D．且a≠1
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到a≠1且△=32﹣4〔a﹣1〕•〔﹣2〕≥0，然后求出两个不等式解集的公共局部即可．
【解答】解：根据题意得a≠1且△=32﹣4〔a﹣1〕•〔﹣2〕≥0，
解得a≥﹣且a≠1．
应选D．
【点评】此题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
6．〔3分〕〔2022•宁夏〕点 A〔﹣1，1〕，B〔1，1〕，C〔2，4〕在同一个函数图象上，这个函数图象可能是〔　　〕
A． B． C． D．
【分析】由点 A〔﹣1，1〕，B〔1，1〕，C〔2，4〕在同一个函数图象上，可得A与B关于y轴对称，当x＞0时，y随x的增大而增大，继而求得答案．
【解答】解：∵A〔﹣1，1〕，B〔1，1〕，
∴A与B关于y轴对称，故C，D错误；
∵B〔1，1〕，C〔2，4〕，当x＞0时，y随x的增大而增大，
而B〔1，1〕在直线y=x上，C〔2，4〕不在直线y=x上，所以图象不会是直线，故A错误；故B正确．
应选B．
【点评】此题考查了函数的图象．注意掌握排除法在选择题中的应用是解此题的关键．
7．〔3分〕〔2022•宁夏〕如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影局部沿虚线剪开，拼成右边的矩形．根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是〔　　〕
A．〔a﹣b〕2=a2﹣2ab+b2 B．a〔a﹣b〕=a2﹣ab
C．〔a﹣b〕2=a2﹣b2 D．a2﹣b2=〔a+b〕〔a﹣b〕
【分析】利用正方形的面积公式和矩形的面积公式分别表示出阴影局部的面积，然后根据面积相等列出等式即可．
【解答】解：第一个图形阴影局部的面积是a2﹣b2，
第二个图形的面积是〔a+b〕〔a﹣b〕．
那么a2﹣b2=〔a+b〕〔a﹣b〕．
应选D．
【点评】此题考查了平方差公式的几何背景，正确用两种方法表示阴影局部的面积是关键．
8．〔3分〕〔2022•宁夏〕圆锥的底面半径r=3，高h=4，那么圆锥的侧面积是〔　　〕
A．12π B．15π C．24π D．30π
【分析】先求圆锥的母线，再根据公式求侧面积．
【解答】解：由勾股定理得：母线l===5，
∴S侧=•2πr•l=πrl=π×3×5=15π．
应选B．
【点评】此题考查了圆锥的计算，熟练掌握圆锥的母线和侧面积公式是关键．
二、填空题〔每题3分，总分值24分，将答案填在答题纸上〕
9．〔3分〕〔2022•宁夏〕分解因式：2a2﹣8=　2〔a+2〕〔a﹣2〕　．
【分析】先提取公因式2，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】解：2a2﹣8
=2〔a2﹣4〕，
=2〔a+2〕〔a﹣2〕．
故答案为：2〔a+2〕〔a﹣2〕．
【点评】此题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
10．〔3分〕〔2022•宁夏〕实数a在数轴上的位置如图，那么|a﹣|=﹣a　．
【分析】根据数轴上点的位置判断出a﹣的正负，利用绝对值的代数意义化简即可得到结果．
【解答】解：∵a＜0，
∴a﹣＜0，
那么原式=﹣a，
故答案为：﹣a
【点评】此题考查了实数与数轴，弄清绝对值里边式子的正负是解此题的关键．
11．〔3分〕〔2022•宁夏〕如下列图的圆形纸板被等分成10个扇形挂在墙上，玩飞镖游戏〔每次飞镖均落在纸板上〕，那么飞镖落在阴影区域的概率是．
【分析】直接利用阴影局部÷总面积=飞镖落在阴影区域的概率，即可得出答案．
【解答】解：由题意可得：阴影局部有4个小扇形，总的有10个小扇形，
故飞镖落在阴影区域的概率是：=．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了几何概率，正确利用概率公式分析是解题关键．
12．〔3分〕〔2022•宁夏〕某种商品每件的进价为80元，标价为120元，后来由于该商品积压，将此商品打七折销售，那么该商品每件销售利润为　4　元．
【分析】设该商品每件销售利润为x元，根据进价+利润=售价列出方程，求解即可．
【解答】解：设该商品每件销售利润为x元，根据题意，得
80+x=120×0.7，
解得x=4．
答：该商品每件销售利润为4元．
故答案为4．
【点评】此题考查一元一次方程的应用，正确理解题意找到等量关系是解题的关键．
13．〔3分〕〔2022•宁夏〕如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点A'处．假设∠1=∠2=50°，那么∠A'为　105°　．
【分析】由平行四边形的性质和折叠的性质，得出∠ADB=∠BDG=∠DBG，由三角形的外角性质求出∠BDG=∠DBG=∠1=25°，再由三角形内角和定理求出∠A，即可得到结果．
【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBG，
由折叠可得∠ADB=∠BDG，
∴∠DBG=∠BDG，
又∵∠1=∠BDG+∠DBG=50°，
∴∠ADB=∠BDG=25°，
又∵∠2=50°，
∴△ABD中，∠A=105°，
∴∠A'=∠A=105°，
故答案为：105°．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理的综合应用，熟练掌握平行四边形的性质，求出∠ADB的度数是解决问题的关键．
14．〔3分〕〔2022•宁夏〕在△ABC中，AB=6，点D是AB的中点，过点D作DE∥BC，交AC于点E，点M在DE上，且ME=DM．当AM⊥BM时，那么BC的长为　8　．
【分析】根据直角三角形的性质求出DM，根据题意求出DE，根据三角形中位线定理计算即可．
【解答】解：∵AM⊥BM，点D是AB的中点，
∴DM=AB=3，
∵ME=DM，
∴ME=1，
∴DE=DM+ME=4，
∵D是AB的中点，DE∥BC，
∴BC=2DE=8，
故答案为：8．
【点评】此题考查的是三角形的中位线定理的应用，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
15．〔3分〕〔2022•宁夏〕如图，点 A，B，C均在6×6的正方形网格格点上，过A，B，C三点的外接圆除经过A，B，C三点外还能经过的格点数为　5　．
【分析】根据圆确实定先做出过A，B，C三点的外接圆，从而得出答案．
【解答】解：如图，分别作AB、BC的中垂线，两直线的交点为O，
以O为圆心、OA为半径作圆，那么⊙O即为过A，B，C三点的外接圆，
由图可知，⊙O还经过点D、E、F、G、H这5个格点，
故答案为：5．
【点评】此题主要考查圆确实定，熟练掌握圆上各点到圆心的距离相等得出其外接圆是解题的关键．
16．〔3分〕〔2022•宁夏〕如图是由假设干个棱长为1的小正方体组合而成的一个几何体的三视图，那么这个几何体的外表积是　22　．
【分析】利用主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，进而判断图形形状，即可得出小正方体的个数．
【解答】解：综合三视图，我们可以得出，这个几何模型的底层有3+1=4个小正方体，第二层有1个小正方体，
因此搭成这个几何体模型所用的小正方体的个数是4+1=5个．
∴这个几何体的外表积是5×6﹣8=22，
故答案为22．
【点评】此题考查了学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也表达了对空间想象能力方面的考查．掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章〞是解题的关键．
三、解答题〔本大题共6小题，共36分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.〕
17．〔6分〕〔2022•宁夏〕解不等式组：．
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共局部即可．
【解答】解：，
由①得：x≤8，
由②得：x＞﹣3，
那么不等式组的解集为﹣3＜x≤8．
【点评】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握运算法那么是解此题的关键．
18．〔6分〕〔2022•宁夏〕解方程：﹣=1．
【分析】根据分式方程的解法即可求出答案．
【解答】解：〔x+3〕2﹣4〔x﹣3〕=〔x﹣3〕〔x+3〕
x2+6x+9﹣4x+12=x2﹣9，
x=﹣15，
令x=﹣15代入〔x﹣3〕〔x+3〕≠0，
∴原分式方程的解为：x=﹣15，
【点评】此题考查分式的方程的解法，解题的关键是熟练运用分式方程的解法，此题属于根底题型．
19．〔6分〕〔2022•宁夏〕校园播送主持人培训班开展比赛活动，分为 A、B、C、D四个等级，对应的成绩分别是9分、8分、7分、6分，根据如图不完整的统计图解答以下问题：
〔1〕补全下面两个统计图〔不写过程〕；
〔2〕求该班学生比赛的平均成绩；
〔3〕现准备从等级A的4人〔两男两女〕中随机抽取两名主持人，请利用列表或画树状图的方法，求恰好抽到一男一女学生的概率
【分析】〔1〕首先用A等级的学生人数除以A等级的人数所占的百分比，求出总人数；然后用总人数减去A、B、D三个等级的人数，求出C等级的人数，补全条形图；用C等级的人数除以总人数，得出C等级的人数所占的百分比，补全扇形图；
〔2〕用加权平均数的计算公式求解即可；
〔3〕假设A等级的4名学生中有2名男生2名女生，现从中任意选取2名参加学校培训班，应用列表法的方法，求出恰好选到1名男生和1名女生的概率是多少即可．
【解答】解：〔1〕4÷10%=40〔人〕，
C等级的人数40﹣4﹣16﹣8=12〔人〕，
C等级的人数所占的百分比12÷40=30%．
两个统计图补充如下：
〔2〕9×10%+8×40%+7×30%+6×20%=7.4〔分〕；
〔3〕列表为：

男1
男2
女1
女2
男1
﹣﹣
男2男1
女1男1
女2男1
男2
男1男2
﹣﹣
女1男2
女2男2
女1
男1女1
男2女1
﹣﹣
女2女1
女2
男1女2
男2女2
女1女2
﹣﹣
由上表可知，从4名学生中任意选取2名学生共有12种等可能结果，其中恰好选到1名男生和1名女生的结果有8种，
所以恰好选到1名男生和1名女生的概率P==．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．也考查了扇形统计图、条形统计图的应用以及加权平均数．
20．〔6分〕〔2022•宁夏〕在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A〔2，3〕，B〔1，1〕，C〔5，1〕．
〔1〕把△ABC平移后，其中点 A移到点A1〔4，5〕，画出平移后得到的△A1B1C1；
〔2〕把△A1B1C1绕点A1按逆时针方向旋转90°，画出旋转后的△A2 B2C2．
【分析】〔1〕根据图形平移的性质画出平移后的△A1B1C1即可；
〔2〕根据图形旋转的性质画出旋转后的△A2 B2C2即可．
【解答】解：〔1〕如图，△A1B1C1即为所求；
〔2〕如图，△A2 B2C2即为所求．
【点评】此题考查的是作图﹣旋转变换，熟知图形旋转不变性的性质是解答此题的关键．
21．〔6分〕〔2022•宁夏〕在△ABC中，M是AC边上的一点，连接BM．将△ABC沿AC翻折，使点B落在点D处，当DM∥AB时，求证：四边形ABMD是菱形．
【分析】只要证明AB=BM=MD=DA，即可解决问题．
【解答】证明：∵AB∥DM，
∴∠BAM=∠AMD，
∵△ADC是由△ABC翻折得到，
∴∠CAB=∠CAD，AB=AD，BM=DM，
∴∠DAM=∠AMD，
∴DA=DM=AB=BM，
∴四边形ABMD是菱形．
【点评】此题考查翻折变换、等腰三角形的判定和性质．平行线的性质等知识，解题的关键是证明△ADM是等腰三角形．
22．〔6分〕〔2022•宁夏〕某商店分两次购进 A、B两种商品进行销售，两次购进同一种商品的进价相同，具体情况如下表所示：

购进数量〔件〕
购进所需费用〔元〕

A
B
第一次
30
40
3800
第二次
40
30
3200
〔1〕求A、B两种商品每件的进价分别是多少元
〔2〕商场决定A种商品以每件30元出售，B种商品以每件100元出售．为满足市场需求，需购进A、B两种商品共1000件，且A种商品的数量不少于B种商品数量的4倍，请你求出获利最大的进货方案，并确定最大利润．
【分析】〔1〕设A种商品每件的进价为x元，B种商品每件的进价为y元，根据两次进货情况表，可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
〔2〕设购进B种商品m件，获得的利润为w元，那么购进A种商品〔1000﹣m〕件，根据总利润=单件利润×购进数量，即可得出w与m之间的函数关系式，由A种商品的数量不少于B种商品数量的4倍，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再根据一次函数的性质即可解决最值问题．
【解答】解：〔1〕设A种商品每件的进价为x元，B种商品每件的进价为y元，
根据题意得：，
解得：．
答：A种商品每件的进价为20元，B种商品每件的进价为80元．
〔2〕设购进B种商品m件，获得的利润为w元，那么购进A种商品〔1000﹣m〕件，
根据题意得：w=〔30﹣20〕〔1000﹣m〕+〔100﹣80〕m=10m+10000．
∵A种商品的数量不少于B种商品数量的4倍，
∴1000﹣m≥4m，
解得：m≤200．
∵在w=10m+10000中，k=10＞0，
∴w的值随m的增大而增大，
∴当m=200时，w取最大值，最大值为10×200+10000=12000，
∴当购进A种商品800件、B种商品200件时，销售利润最大，最大利润为12000元．
【点评】此题考查了一次函数的应用、二元一次方程组的应用以及解一元一次不等式，解题的关键是：〔1〕找准等量关系，列出二元一次方程组；〔2〕根据数量关系，找出w与m之间的函数关系式．
四、解答题〔本大题共4小题，共36分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.〕
23．〔8分〕〔2022•宁夏〕将一副三角板Rt△ABD与Rt△ACB〔其中∠ABD=90°，∠D=60°，∠ACB=90°，∠ABC=45°〕如图摆放，Rt△ABD中∠D所对直角边与Rt△ACB斜边恰好重合．以AB为直径的圆经过点C，且与AD交于点 E，分别连接EB，EC．
〔1〕求证：EC平分∠AEB；
〔2〕求的值．
【分析】〔1〕由Rt△ACB中∠ABC=45°，得出∠BAC=∠ABC=45°，根据圆周角定理得出∠AEC=∠ABC，∠BEC=∠BAC，等量代换得出∠AEC=∠BEC，即EC平分∠AEB；
〔2〕方法1、设AB与CE交于点M．根据角平分线的性质得出=．易求∠BAD=30°，由直径所对的圆周角是直角得出∠AEB=90°，解直角△ABE得到AE=BE，那么==．作AF⊥CE于F，BG⊥CE于G．证明△AFM∽△BGM，根据相似三角形对应边成比例得出==，进而求出===．
方法2、易求∠BAD=30°，由直径所对的圆周角是直角得出∠AEB=90°，解直角△ABE得到AE=BE，那么==，再用角平分线定理判断出CP=CQ，即可得出结论．
【解答】〔1〕证明：∵Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠ABC=45°，
∴∠BAC=∠ABC=45°，
∵∠AEC=∠ABC，∠BEC=∠BAC，
∴∠AEC=∠BEC，
即EC平分∠AEB；
〔2〕解：如图，设AB与CE交于点M．
∵EC平分∠AEB，
∴=．
在Rt△ABD中，∠ABD=90°，∠D=60°，
∴∠BAD=30°，
∵以AB为直径的圆经过点E，
∴∠AEB=90°，
∴tan∠BAE==，
∴AE=BE，
∴==．
作AF⊥CE于F，BG⊥CE于G．
在△AFM与△BGM中，
∵∠AFM=∠BGM=90°，∠AMF=∠BMG，
∴△AFM∽△BGM，
∴==，
∴===．
方法2、如图1，
在Rt△ABD中，∠ABD=90°，∠D=60°，
∴∠BAD=30°，
∵以AB为直径的圆经过点E，
∴∠AEB=90°，
∴tan∠BAE==，
∴AE=BE，
过点C作CP⊥AE于P，过点C作CQ⊥EB交延长线于Q，
由〔1〕知，EC是∠AEB的角平分线，
∴CP=CQ，
∴===．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，锐角三角函数定义，通过作辅助线得出==是解题的关键．
24．〔8分〕〔2022•宁夏〕直线y=kx+b与反比例函数y=〔x＞0〕的图象分别交于点 A〔m，3〕和点B〔6，n〕，与坐标轴分别交于点C和点D．
〔1〕求直线AB的解析式；
〔2〕假设点P是x轴上一动点，当△COD与△ADP相似时，求点P的坐标．
【分析】〔1〕首先确定A、B两点坐标，再利用待定系数法即可解决问题；
〔2〕分两种情形讨论求解即可．
【解答】解：〔1〕∵y=kx+b与反比例函数y=〔x＞0〕的图象分别交于点 A〔m，3〕和点B〔6，n〕，
∴m=2，n=1，
∴A〔2，3〕，B〔6，1〕，
那么有，
解得，
∴直线AB的解析式为y=﹣x+4
〔2〕如图①当PA⊥OD时，∵PA∥OC，
∴△ADP∽△CDO，
此时p〔2，0〕．
②当AP′⊥CD时，易知△P′DA∽△CDO，
∵直线AB的解析式为y=﹣x+4，
∴直线P′A的解析式为y=2x﹣1，
令y=0，解得x=，
∴P′〔，0〕，
综上所述，满足条件的点P坐标为〔2，0〕或〔，0〕．
【点评】此题考查反比例函数综合题、一次函数的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法确定函数解析式，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
25．〔10分〕〔2022•宁夏〕为确保广阔居民家庭根本用水需求的同时鼓励家庭节约用水，对居民家庭每户每月用水量采用分档递增收费的方式，每户每月用水量不超过根本用水量的局部享受根本价格，超出根本用水量的局部实行超价收费．为对根本用水量进行决策，随机抽查2000户居民家庭每户每月用水量的数据，整理绘制出下面的统计表：
用户每月用水量〔m3〕
32及其以下
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43及其以上
户数〔户〕
200
160
180
220
240
210
190
100
170
120
100
110
〔1〕为确保70%的居民家庭每户每月的根本用水量需求，那么每户每月的根本用水量最低应确定为多少立方米
〔2〕假设将〔1〕中确定的根本用水量及其以内的局部按每立方米1.8元交费，超过根本用水量的局部按每立方米2.5元交费．设x表示每户每月用水量〔单位：m3〕，y表示每户每月应交水费〔单位：元〕，求y与x的函数关系式；
〔3〕某户家庭每月交水费是80.9元，请按以上收费方式计算该家庭当月用水量是多少立方米
【分析】〔1〕根据统计表可得出月均用水量不超过38立方米的居民户数占2000户的70%，由此即可得出结论；
〔2〕分0≤x≤38及x＞38两种情况，找出y与x的函数关系式；
〔3〕求出当x=38时的y值，与80.9比较后可得出该家庭当月用水量超出38立方米，令y=2.5x﹣26.6=80.9求出x值即可．
【解答】解：〔1〕200+160+180+220+240+210+190=1400〔户〕，
2000×70%=1400〔户〕，
∴根本用水量最低应确定为多38m3．
答：为确保70%的居民家庭每户每月的根本用水量需求，那么每户每月的根本用水量最低应确定为38立方米．
〔2〕设x表示每户每月用水量〔单位：m3〕，y表示每户每月应交水费〔单位：元〕，
当0≤x≤38时，y=1.8x；
当x＞38时，y=1.8×38+2.5〔x﹣38〕=2.5x﹣26.6．
综上所述：y与x的函数关系式为y=．
〔3〕∵1.8×38=68.4〔元〕，68.4＜80.9，
∴该家庭当月用水量超出38立方米．
当y=2.5x﹣26.6=80.9时，x=43．
答：该家庭当月用水量是43立方米．
【点评】此题考查了一次函数的应用、一次函数图象上点的坐标特征以及统计表，解题的关键是：〔1〕根据统计表数据找出月均用水量不超过38立方米的居民户数占2000户的70%；〔2〕分0≤x≤38及x＞38两种情况，找出y与x的函数关系式；〔3〕令y=2.5x﹣26.6=80.9求出x值．
26．〔10分〕〔2022•宁夏〕在边长为2的等边三角形ABC中，P是BC边上任意一点，过点 P分别作 PM⊥A B，PN⊥AC，M、N分别为垂足．
〔1〕求证：不管点P在BC边的何处时都有PM+PN的长恰好等于三角形ABC一边上的高；
〔2〕当BP的长为何值时，四边形AMPN的面积最大，并求出最大值．
【分析】〔1〕连接AP，过C作CD⊥AB于D，根据等边三角形的性质得到AB=AC，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论；
〔2〕设BP=x，那么CP=2﹣x，由△ABC是等边三角形，得到∠B=∠C=60°，解直角三角形得到BM=x，PM=x，CN=〔2﹣x〕，PN=〔2﹣x〕，根据二次函数的性质即可得到结论．
【解答】解：〔1〕连接AP，过C作CD⊥AB于D，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，
∵S△ABC=S△ABP+S△ACP，
∴AB•CD=AB•PM+AC•PN，
∴PM+PN=CD，
即不管点P在BC边的何处时都有PM+PN的长恰好等于三角形ABC一边上的高；
〔2〕设BP=x，那么CP=2﹣x，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，
∵PM⊥AB，PN⊥AC，
∴BM=x，PM=x，CN=〔2﹣x〕，PN=〔2﹣x〕，
∴四边形AMPN的面积=×〔2﹣x〕•x+[2﹣〔2﹣x〕]•〔2﹣x〕=﹣x2+x+=﹣〔x﹣1〕2+，
∴当BP=1时，四边形AMPN的面积最大，最大值是．
【点评】此题考查了等边三角形的性质，三角形面积的计算，二次函数的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．