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共点力的平衡
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1．磁性车载支架(图甲)使用方便，它的原理是将一个引磁片贴在手机背面，再将引磁片对准支架的磁盘放置，手机就会被牢牢地吸附住(图乙)。下列关于手机(含引磁片，下同)的说法中正确的是( )
甲 乙
A．汽车静止时，手机共受三个力的作用
B．汽车静止时，支架对手机的作用力大小等于手机的重力大小
C．当汽车以某一加速度向前加速时，手机可能不受支架对它的摩擦力作用
D．只要汽车的加速度大小合适，无论是向前加速还是减速，手机都可能不受支架对它的摩擦力作用
B [手机处于静止状态时，受力平衡，手机共受到重力、支架的支持力、摩擦力以及磁盘的吸引力，共4个力的作用，A错误；手机处于静止状态时，支架对手机的支持力、摩擦力、吸引力的合力与手机重力等大反向，B正确；因磁盘对手机的吸引力和手机所受支持力均与引磁片垂直，汽车有向前的加速度时，一定有沿斜面向上的摩擦力，故C、D均错误。]
2.(多选)如图所示，固定斜面上有一光滑小球，与一竖直轻弹簧P和一平行斜面的轻弹簧Q连接着，小球处于静止状态，则关于小球所受力的个数可能的是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
BCD [设小球质量为m，若FP＝mg，则小球只受拉力FP和重力mg两个力作用；若FP<mg，则小球受拉力FP、重力mg、支持力FN和弹簧Q的弹力FQ四个力作用；若FP＝0，则小球要保持静止，应受FN、FQ和mg三个力作用，故小球受力个数不可能为1。A错误，B、C、D正确。]
3．(2019·福建龙岩质检)如图甲所示，在挪威的两座山峰间夹着一块岩石，吸引了大量游客前往观赏。该景观可简化成如图乙所示的模型，右壁竖直，左壁稍微倾斜。设左壁与竖直方向的夹角为θ，由于长期的风化，θ将会减小。石头与山崖间的摩擦很小，可以忽略不计。若石头质量一定，θ减小，石头始终保持静止，下列说法正确的是( )
A．山崖左壁对石头的作用力将增大
B．山崖右壁对石头的作用力不变
C．山崖对石头的作用力减小
D．石头受到的合力将增大
A [本题通过正交分解法考查共点力平衡问题。对石头受力分析，如图所示。由于石头始终保持静止，根据平衡条件可知N2cos θ＝N1，N2sin θ＝mg，θ减小，可知N1、N2都增大，故A正确，B错误；根据共点力平衡条件可知，山崖对石头的作用力始终不变，且该作用力的大小等于石头的重力，故C错误；由于石头处于静止状态，所以石头所受合力一直为零，故D错误。]
4.光滑斜面上固定着一根刚性圆弧形细杆，小球通过轻绳与细杆相连，此时轻绳处于水平方向，球心恰位于圆弧形细杆的圆心处，如图所示。将悬点A缓慢沿杆向上移动，直到轻绳处于竖直方向，在这个过程中，轻绳的拉力( )
A．逐渐增大 B．大小不变
C．先减小后增大 D．先增大后减小
C [当悬点A缓慢向上移动过程中，小球始终处于平衡状态，小球所受重力mg的大小和方向都不变，支持力的方向不变，对球进行受力分析如图所示，由图可知，拉力T先减小后增大，C项正确。]
5．(2019·菏泽期中)如图所示，质量为m的光滑球体夹在竖直墙和斜面体之间静止，斜面体质量也为m，倾角为45°，斜面体与水平地面间的动摩擦因数为μ(0.5<μ<1)，斜面体与地面间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，若增加球体的质量，且使斜面体静止不动，则可增加的最大质量为( )
A．m B．m
C.m D．m
C [对整体受力分析如图甲所示，Ff＝F1，对球体受力分析如图乙所示，则F1＝mgtan 45°，由此可知斜面体与地面间的静摩擦力Ff＝mgtan 45°，增加球体的质量，要使斜面体静止不动，则(m＋Δm)gtan 45°≤μ(2m＋Δm)g，解得Δm≤m，选项C正确。]
甲 乙
6.(2019·邢台统考)如图所示，一不可伸长的光滑轻绳，其左端固定于O点，右端跨过位于O′点的光滑定滑轮悬挂一质量为1 kg的物体，OO′段水平，长度为1.6 m。绳上套一可沿绳自由滑动的轻环，若在轻环上悬挂一钩码(图中未画出)，平衡后，物体上升0.4 m。则钩码的质量为( )
A. kg B． kg
C．1.6 kg D．1.2 kg
D [当系统重新平衡后，绳子的形状如图所示。设钩码的质量为M，物体质量为m，由几何关系知，绳子与竖直方向的夹角为53°，由于绳上的拉力与物体的重力大小相等，则根据平衡条件可得2mgcos 53°＝Mg，解得M＝1.2 kg，故D正确，A、B、C错误。]
7.(2019·河南十校联考)如图所示，质量为m的小球用一轻绳悬挂，在恒力F作用下处于静止状态，静止时悬线与竖直方向的夹角为60°。若把小球换成一质量为2m的小球，仍在恒力F作用下处于静止状态时，此时悬线与竖直方向的夹角为30°。已知重力加速度为g，则恒力F的大小为( )
A．mg B．2mg
C.mg D．2mg
A [设恒力F与竖直方向的夹角为θ，根据正弦定理可得＝，＝，联立解得F＝mg，故A正确，B、C、D错误。]
8.重力都为G的两个小球A和B用三段轻绳如图连接后悬挂在O点上，O、B间的绳子长度是A、B间的绳子长度的2倍，将一个拉力F作用到小球B上，使三段轻绳都伸直且O、A间和A、B间的两段绳子分别处于竖直和水平方向上，则拉力F的最小值为( )
A.G B．G
C．G D．G
A [对A球受力分析可知，因O、A间绳竖直，则A、B间绳上的拉力为0。对B球受力分析如图所示，则可知当F与O、B间绳垂直时F最小，大小为Gsin θ，其中sin θ＝＝，则F的最小值为G，故A项正确。]
9．(2019·宣城模拟)如图所示，甲、乙两个小球的质量均为m，两球间用细线连接，甲球用细线悬挂在天花板上，两根细线长度相等。现给乙球一大小为F水平向左的拉力，给甲球一水平向右的3F的拉力，平衡时细线都被拉紧。则平衡时两球的可能位置是下面的( )
A B C D
B [首先取整体为研究对象，整体受到重力、上面绳子的拉力以及向左、向右两个拉力，由于两个拉力的矢量和为F合＝3F＋(－F)＝2F，所以上边的绳子应该偏向右方，设其与竖直方向的夹角为α，则有tan α＝＝。再对下面的小球研究可知，下面的小球受到的拉力水平向左，所以下面的绳子向左偏转，设其与竖直方向的夹角为β，则有tan β＝，则α＝β。故B图正确，A、C、D图错误。]
10．(多选)(2019·太原五中模拟)如图所示，在斜面上放两个光滑球A和B，两球的质量均为m，它们的半径分别是R和r，球A左侧有一垂直于斜面的挡板，两球沿斜面排列并静止，以下说法正确的是( )
A．斜面倾角θ一定，R>r时，R越大，r越小，B对斜面的压力越小
B．斜面倾角θ一定，R＝r时，两球之间的弹力最小
C．斜面倾角θ一定时，A球对挡板的压力一定
D．半径确定时，随着斜面倾角θ逐渐增大，A受到挡板作用力先增大后减小
BC [本题考查整体法与隔离法在动态平衡中的应用。对B球受力分析，受重力mg、斜面支持力N和A球的支持力F，改变R与r时，A对B的弹力的方向是改变的，如图所示。由图可以看出，当R＝r时，支持力平行斜面向上，两球之间的弹力最小，故B正确；当R>r，R越大，r越小时，力F方向从图中的位置1逐渐向位置2、3移动，故斜面支持力N增加，根据牛顿第三定律，B对斜面的压力也增加，故A错误；对A、B整体分析，受重力、斜面支持力和挡板的支持力，根据平衡条件，A对挡板的压力NA＝2mgsin θ，则知斜面倾角θ一定时，无论半径如何，A对挡板的压力NA一定，故C正确；对C项分析可知，A对挡板的压力NA＝2mgsin θ，半径一定时，随着斜面倾角θ逐渐增大，A对挡板的压力NA增大，故D错误。]
11．(2019·聊城一模)两倾斜的平行杆上分别套着a、b两相同圆环，两环上均用细线悬吊着相同的小球，如图所示。当它们都沿杆向下滑动，各自的环与小球保持相对静止时，a的悬线与杆垂直，b的悬线沿竖直方向，下列说法正确的是( )
A．a环与杆有摩擦力
B．d球处于失重状态
C．杆对a、b环的弹力大小相等
D．细线对c、d球的弹力大小可能相等
C [对c球进行受力分析，如图所示，c球受重力和细线的拉力F，a环沿杆滑动，因此a环在垂直于杆的方向加速度和速度都为零，因a环和c球相对静止，所以c球在垂直于杆的方向加速度和速度也都为零，由力的合成可知c球的合力为mgsin α，由牛顿第二定律可得mgsin α＝ma，解得：a＝gsin α，因此c球的加速度为gsin α，将a环和c球以及细线看成一个整体，在只受重力和支持力的情况下加速度为gsin α，因此a环和杆的摩擦力为零，故A错误；对d球进行受力分析，只受重力和竖直方向的拉力，因此球d的加速度为零，b和d相对静止，因此b的加速度也为零，故d球处于平衡状态，加速度为零，不是失重状态，故B错误；细线对c球的拉力Fc＝mgcos α，对d球的拉力Fd＝mg，因此不相等，故D错误；对a和c整体受力分析有Fac＝(ma＋mc)gcos α，对b和d整体受力分析有Fbd＝(mb＋md)gcos α，因a和b为相同圆环，c和d为相同小球，所以杆对a、b环的弹力大小相等，故C正确。]
12.如图所示，质量M＝2 kg的木块A套在水平杆上，并用轻绳将木块与质量 m＝ kg的小球B相连。今用与水平方向成α＝30°角的力F＝10 N，拉着小球带动木块一起向右匀速运动，运动中M、m相对位置保持不变，g取10 m/s2。求：
(1)运动过程中轻绳与水平方向的夹角θ；
(2)木块与水平杆间的动摩擦因数μ；
(3)当α为多大时，使小球和木块一起向右匀速运动的拉力最小？
[解析] (1)对B进行受力分析，设细绳对B的拉力为T，由平衡条件可得Fcos 30°＝Tcos θ
Fsin 30°＋Tsin θ＝mg
解得T＝10 N，tan θ＝，
即θ＝30°。
(2)对A进行受力分析，由平衡条件有
Tsin θ＋Mg＝FN
Tcos θ＝μFN
解得μ＝。
(3)对A、B进行受力分析，由平衡条件有
Fsin α＋FN＝(M＋m)g，Fcos α＝μFN
解得F＝
令sin β＝，cos β＝，即tan β＝，则
F＝
＝
显然，当α＋β＝90°时，F有最小值，所以tan α＝μ＝时，即α＝arctan ，F的值最小。
[答案](1)30° (2) (3)arctan
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