2023版高考数学一轮复习核心素养测评五十四圆的方程理北师大版.doc

核心素养测评五十四 圆的方程
(25分钟　50分)
一、选择题(每小题5分,共35分)
1.方程x2+y2+4mx-2y+5m=0表示圆的充要条件是 (　　)
A.<m<1 B.m<或m>1
C.m< D.m>1
【解析】选B.由D2+E2-4F=16m2+4-20m>0,解得:m>1或m<.
2.(2020·太原模拟)两条直线y=x+2a,y=2x+a的交点P在圆(x-1)2+(y-1)2=4的内部,则实数a的取值范围是 (　　)
A.　　　 B.∪(1,+∞)
C.　 D.∪[1,+∞)
【解析】选A.联立解得P(a,3a),
因为点P在圆内,所以(a-1)2+(3a-1)2<4,
所以-<a<1.
3.以点(2,-1)为圆心且与直线3x-4y+5=0相切的圆的方程为 (　　)
A.(x-2)2+(y+1)2=3
B.(x+2)2+(y-1)2=3
C.(x-2)2+(y+1)2=9
D.(x+2)2+(y-1)2=9
【解析】选C.因为圆心(2,-1)到直线3x-4y+5=0的距离d==3,所以圆的半径为3,即圆的方程为(x-2)2+(y+1)2=9.
4.经过三点A(-1,0),B(3,0),C(1,2)的圆的面积S= (　　)
A.π　　　B.2π　　　C.3π　　　D.4π
【解析】选D.设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,将A(-1,0),B(3,0),C(1,2)的坐标代入圆的方程可得解得所以圆的方程为(x-1)2+y2=4,所以圆的半径r=2,所以S=4π.
5.(2019·广州模拟)已知圆C:x2+y2-4x+3=0,则圆C关于直线y=-x-4的对称圆的方程是 (　　)
A.(x+4)2+(y+6)2=1
B.(x+6)2+(y+4)2=1
C.(x+5)2+(y+7)2=1
D.(x+7)2+(y+5)2=1
【解析】选A.根据题意,设要求圆的圆心为C′,其坐标为(a,b),
圆C:x2+y2-4x+3=0,即(x-2)2+y2=1,
故其圆心为(2,0),半径r=1,
C与C′关于直线y=-x-4对称,
则有
解得
则要求圆的圆心为(-4,-6),半径r′=1,
其方程为(x+4)2+(y+6)2=1.
6.一个圆经过点(0,1),(0,-1)和(2,0),且圆心在x轴的正半轴上,则该圆的标准方程为 (　　)
A.+y2= B.+y2=
C.+y2= D.+y2=
【解析】选C.由题意可得圆经过点(0,1),(0,-1)和(2,0),设圆的方程为(x-a)2+y2=r2(a>0),则,解得a=,r2=,则该圆的标准方程为+y2=.
7.若实数x,y满足x2+y2-2x-2y+1=0,则的取值范围为 (　　)
A.[0,] B.[,+∞)
C.(-∞,] D.[-,0)
【解析】选B.令=t,即tx-y-2t+4=0,表示一条直线(不含(2,4)点);又因为方程x2+y2-2x-2y+1=0可化为(x-1)2+(y-1)2=1,表示圆心为(1,1),半径为1的圆;
由题意知直线与圆有公共点,
所以圆心(1,1)到直线tx-y-2t+4=0的距离
d=≤1,
所以t≥,即的取值范围为[,+∞).
二、填空题(每小题5分,共15分)
8.圆心在直线y=-4x上,且与直线x+y-1=0相切于点P(3,-2)的圆的标准方程为________________. 
【解析】因为圆心在直线y=-4x上,
设圆心C为(a,-4a),
圆与直线x+y-1=0相切于点P(3,-2),
则kPC==1,
所以a=1.
即圆心为(1,-4).
r=|CP|==2,
所以圆的标准方程为(x-1)2+(y+4)2=8.
答案:(x-1)2+(y+4)2=8
9.若圆x2+y2+2x-2y+F=0的半径为1,则F=________________. 
【解析】根据圆的半径计算公式列方程,解方程求得F的值.
圆的半径为==1,
解得F=1.
答案:1
10.若a∈,则方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示的圆的个数为________________.  
【解析】方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆的条件为a2+4a2-4(2a2+a-1)>0,即3a2+4a-4<0,解得-2<a<.又a∈,所以仅当a=0时,方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0,即x2+y2=1表示圆.
答案:1个
(15分钟　35分)
1.(5分)已知直线ax+y-1=0与圆C:(x-1)2+(y+a)2=1相交于A,B两点,且△ABC为等腰直角三角形,则实数a的值为(　　)
A.或-1 B.-1
C.1或-1 D.1
【解析】选C.因为△ABC是等腰直角三角形,所以圆心C(1,-a)到直线ax+y-1=0的距离等于
r·sin 45°=,再利用点到直线的距离公式可得=,所以a=±1.
2.(5分)如图,在等腰△ABC中,已知|AB|=|AC|,B(-1,0),AC边的中点为D(2,0),则点C的轨迹所包围的图形的面积为________________. 
【解析】由已知|AB|=2|AD|,设点A(x,y),
则(x+1)2+y2=4[(x-2)2+y2],
所以点A的轨迹方程为(x-3)2+y2=4(y≠0),
设C(x′,y′),由AC边的中点为D(2,0)知A(4-x′,-y′),
所以C的轨迹方程为(4-x′-3)2+(-y′)2=4,
即(x-1)2+y2=4(y≠0),
所以点C的轨迹所包围的图形面积为4π.
答案:4π
3.(5分)当方程x2+y2+kx+2y+k2=0所表示的圆的面积取最大值时,直线y=(k-1)x+2的倾斜角α=________________. 
【解析】由题意知,圆的半径r=
=≤1,当半径r取最大值时,圆的面积最大,此时k=0,r=1,所以直线方程为y=-x+2,则有tan α=-1,又α∈[0,π),故α=.
答案:
4.(10分)一圆经过A(4,2),B(-1,3)两点,且在两坐标轴上的四个截距的和为2,求此圆的方程.
【解析】设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0).
令y=0,得x2+Dx+F=0,所以x1+x2=-D.
令x=0,得y2+Ey+F=0,所以y1+y2=-E.
由题意知-D-E=2,即D+E+2=0.①
又因为圆过点A,B,所以16+4+4D+2E+F=0.②
1+9-D+3E+F=0.③
解①②③组成的方程组得D=-2,E=0,F=-12.故所求圆的方程为x2+y2-2x-12=0.
5.(10分)在平面直角坐标系xOy中,已知圆心在第二象限,半径为2的圆C与直线y=x相切于坐标原点O.
(1)求圆C的方程.
(2)试探求C上是否存在异于原点的点Q,使Q到定点F(4,0) 的距离等于线段OF的长?若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
【解析】(1)设圆C的圆心为C(a,b),
则圆C的方程为(x-a)2+(y-b)2=8.
因为直线y=x与圆C相切于原点O,
所以O点在圆C上,且OC垂直于直线y=x,
于是有解得或
由于点C(a,b)在第二象限,故a<0,b>0,所以圆C的方程为(x+2)2+(y-2)2=8.
(2)假设存在点Q符合要求,设Q(x,y),
则有解得x=或x=0(舍去).所以存在点Q,使Q到定点F(4,0)的距离等于线段OF的长.