鄂尔多斯市重点中学高考仿真卷数学试题含解析.doc

2021-2022高考数学模拟试卷含解析
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知为坐标原点，角的终边经过点且，则( )
A． B． C． D．
2．已知函数，，则的极大值点为( )
A． B． C． D．
3．数列{an}是等差数列，a1＝1，公差d∈[1，2]，且a4+λa10+a16＝15，则实数λ的最大值为（　　）
A． B． C． D．
4．已知点、．若点在函数的图象上，则使得的面积为的点的个数为（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数的最小正周期为，且满足，则要得到函数的图像，可将函数的图像（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
6． “”是“，”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
7．在长方体中，，则直线与平面所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
8．是抛物线上一点，是圆关于直线的对称圆上的一点，则最小值是（ ）
A． B． C． D．
9．已知函数f(x)＝,若关于x的方程f(x)＝kx－恰有4个不相等的实数根，则实数k的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
10．若集合M＝{1，3}，N＝{1，3，5}，则满足M∪X＝N的集合X的个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
11．如图是2017年第一季度五省GDP情况图，则下列陈述中不正确的是（　　）

A．2017年第一季度GDP增速由高到低排位第5的是浙江省．
B．与去年同期相比，2017年第一季度的GDP总量实现了增长．
C．2017年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1个
D．去年同期河南省的GDP总量不超过4000亿元．
12．已知某超市2018年12个月的收入与支出数据的折线图如图所示：

根据该折线图可知，下列说法错误的是（ ）
A．该超市2018年的12个月中的7月份的收益最高
B．该超市2018年的12个月中的4月份的收益最低
C．该超市2018年1-6月份的总收益低于2018年7-12月份的总收益
D．该超市2018年7-12月份的总收益比2018年1-6月份的总收益增长了90万元
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．某商场一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中正确的是______.

①2至3月份的收入的变化率与11至12月份的收入的变化率相同；
②支出最高值与支出最低值的比是6:1；
③第三季度平均收入为50万元；
④利润最高的月份是2月份．
14．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件抽到一等品，事件抽到二等品，事件抽到三等品，且已知，， ，则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为________
15．如果函数（,且,）在区间上单调递减,那么的最大值为__________．
16．如图,已知，，为的中点，为以为直径的圆上一动点，则的最小值是_____．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知，，且.
（1）求的最小值；
（2）证明：.
18．（12分）已知函数存在一个极大值点和一个极小值点.
（1）求实数a的取值范围；
（2）若函数的极大值点和极小值点分别为和，且，求实数a的取值范围.（e是自然对数的底数）
19．（12分）如图，四棱锥E﹣ABCD的侧棱DE与四棱锥F﹣ABCD的侧棱BF都与底面ABCD垂直，，//，.

（1）证明：//平面BCE.
（2）设平面ABF与平面CDF所成的二面角为θ，求.
20．（12分）已知函数.
（1）若是函数的极值点，求的单调区间；
（2）当时，证明：
21．（12分）如图1，已知四边形BCDE为直角梯形，，，且，A为BE的中点将沿AD折到位置如图，连结PC，PB构成一个四棱锥．

（Ⅰ）求证；
（Ⅱ）若平面．
①求二面角的大小；
②在棱PC上存在点M，满足，使得直线AM与平面PBC所成的角为，求的值．
22．（10分）己知，函数.
（1）若，解不等式；
（2）若函数，且存在使得成立，求实数的取值范围.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．C
【解析】
根据三角函数的定义，即可求出，得出，得出和，再利用二倍角的正弦公式，即可求出结果.
【详解】
根据题意，，解得，
所以，
所以，
所以.
故选：C.
【点睛】
本题考查三角函数定义的应用和二倍角的正弦公式，考查计算能力.
2．A
【解析】
求出函数的导函数，令导数为零，根据函数单调性，求得极大值点即可.
【详解】
因为，
故可得，
令，因为，
故可得或，
则在区间单调递增，
在单调递减，在单调递增，
故的极大值点为.
故选：A.
【点睛】
本题考查利用导数求函数的极值点，属基础题.
3．D
【解析】
利用等差数列通项公式推导出λ，由d∈[1，2]，能求出实数λ取最大值．
【详解】
∵数列{an}是等差数列，a1＝1，公差d∈[1，2]，且a4+λa10+a16＝15，
∴1+3d+λ（1+9d）+1+15d＝15，解得λ，
∵d∈[1，2]，λ2是减函数，
∴d＝1时，实数λ取最大值为λ．
故选D．
【点睛】
本题考查实数值的最大值的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4．C
【解析】
设出点的坐标，以为底结合的面积计算出点到直线的距离，利用点到直线的距离公式可得出关于的方程，求出方程的解，即可得出结论.
【详解】
设点的坐标为，直线的方程为，即，
设点到直线的距离为，则，解得，
另一方面，由点到直线的距离公式得，
整理得或，，解得或或.
综上，满足条件的点共有三个．
故选：C.
【点睛】
本题考查三角形面积的计算，涉及点到直线的距离公式的应用，考查运算求解能力，属于中等题．
5．C
【解析】
依题意可得，且是的一条对称轴，即可求出的值，再根据三角函数的平移规则计算可得；
【详解】
解：由已知得，是的一条对称轴，且使取得最值，则，，，，
故选：C.
【点睛】
本题考查三角函数的性质以及三角函数的变换规则，属于基础题.
6．B
【解析】
先求出满足的值，然后根据充分必要条件的定义判断．
【详解】
由得，即， ，因此“”是“，”的必要不充分条件．
故选：B．
【点睛】
本题考查充分必要条件，掌握充分必要条件的定义是解题基础．解题时可根据条件与结论中参数的取值范围进行判断．
7．C
【解析】
在长方体中， 得与平面交于，过做于，可证平面，可得为所求解的角，解，即可求出结论.
【详解】
在长方体中，平面即为平面，
过做于，平面，
平面，
平面，为与平面所成角，
在，
，
直线与平面所成角的余弦值为.
故选:C.

【点睛】
本题考查直线与平面所成的角，定义法求空间角要体现“做”“证”“算”，三步骤缺一不可，属于基础题.
8．C
【解析】
求出点关于直线的对称点的坐标，进而可得出圆关于直线的对称圆的方程，利用二次函数的基本性质求出的最小值，由此可得出，即可得解.
【详解】
如下图所示：

设点关于直线的对称点为点，
则，整理得，解得，即点，
所以，圆关于直线的对称圆的方程为，
设点，则，
当时，取最小值，因此，.
故选：C.
【点睛】
本题考查抛物线上一点到圆上一点最值的计算，同时也考查了两圆关于直线对称性的应用，考查计算能力，属于中等题.
9．D
【解析】
由已知可将问题转化为：y＝f(x)的图象和直线y＝kx－有4个交点，作出图象，由图可得：点(1,0)必须在直线y＝kx－的下方，即可求得：k＞；再求得直线y＝kx－和y＝ln x相切时，k＝；结合图象即可得解.
【详解】
若关于x的方程f(x)＝kx－恰有4个不相等的实数根，
则y＝f(x)的图象和直线y＝kx－有4个交点．作出函数y＝f(x)的图象，如图，

故点(1,0)在直线y＝kx－的下方．
∴k×1－＞0，解得k＞.
当直线y＝kx－和y＝ln x相切时，设切点横坐标为m，
则k＝＝，∴m＝.
此时，k＝＝，f(x)的图象和直线y＝kx－有3个交点，不满足条件，
故所求k的取值范围是，
故选D..
【点睛】
本题主要考查了函数与方程思想及转化能力，还考查了导数的几何意义及计算能力、观察能力，属于难题．
10．D
【解析】
可以是共4个，选D.
11．C
【解析】
利用图表中的数据进行分析即可求解.
【详解】
对于A选项：2017年第一季度5省的GDP增速由高到低排位分别是：江苏、辽宁、山东、河南、浙江，故A正确；
对于B选项：与去年同期相比，2017年第一季度5省的GDP均有不同的增长，所以其总量也实现了增长，故B正确；
对于C选项：2017年第一季度GDP总量由高到低排位分别是：江苏、山东、浙江、河南、辽宁，2017年第一季度5省的GDP增速由高到低排位分别是：江苏、辽宁、山东、河南、浙江，均居同一位的省有2个，故C错误；
对于D选项：去年同期河南省的GDP总量，故D正确.
故选：C.
【点睛】
本题考查了图表分析，学生的分析能力，推理能力，属于基础题.
12．D
【解析】
用收入减去支出，求得每月收益，然后对选项逐一分析，由此判断出说法错误的选项.
【详解】
用收入减去支出，求得每月收益（万元），如下表所示：
月份
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
收益
20
30
20
10
30
30
60
40
30
30
50
30
所以月收益最高，A选项说法正确；月收益最低，B选项说法正确；月总收益万元，月总收益万元，所以前个月收益低于后六个月收益，C选项说法正确，后个月收益比前个月收益增长万元，所以D选项说法错误.故选D.
【点睛】
本小题主要考查图表分析，考查收益的计算方法，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．①②③
【解析】
通过图片信息直接观察，计算，找出答案即可．
【详解】
对于①，2至月份的收入的变化率为20，11至12月份的变化率为20，故相同，正确．
对于②，支出最高值是2月份60万元，支出最低值是5月份的10万元，故支出最高值与支出最低值的比是6：1，正确．
对于③，第三季度的7，8，9月每个月的收入分别为40万元，50万元，60万元，故第三季度的平均收入为50万元，正确．
对于④，利润最高的月份是3月份和10月份都是30万元，高于2月份的利润是80﹣60＝20万元，错误．
故答案为①②③．
【点睛】
本题考查利用图象信息，分析归纳得出正确结论，属于基础题目．
14．0.35
【解析】
根据对立事件的概率和为1，结合题意，即可求出结果来．
【详解】
解：由题意知本题是一个对立事件的概率，
抽到的不是一等品的对立事件是抽到一等品，
，
抽到不是一等品的概率是，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了求互斥事件与对立事件的概率的应用问题，属于基础题．
15．18
【解析】
根据函数单调性的性质,分一次函数和一元二次函数的对称性和单调区间的关系建立不等式,利用基本不等式求解即可.
【详解】
解:①当时, ,
在区间上单调递减,
则,即,
则.
②当时, ,
函数开口向上,对称轴为,
因为在区间上单调递减,
则,
因为,则,
整理得,
又因为,
则.所以
即,
所以
当且仅当时等号成立.
综上所述,的最大值为18.
故答案为:18
【点睛】
本题主要考查一次函数与二次函数的单调性和均值不等式.利用均值不等式求解要注意”一定,二正,三相等”.
16．
【解析】
建立合适的直角坐标系,求出相关点的坐标,进而可得的坐标表示,利用平面向量数量积的坐标表示求出的表达式,求出其最小值即可.
【详解】
建立直角坐标系如图所示：

则点,,,
设点,
所以,
由平面向量数量积的坐标表示可得,

,其中,
因为,
所以的最小值为.
故答案为:
【点睛】
本题考查平面向量数量积的坐标表示和利用辅助角公式求最值;考查数形结合思想和转化与化归能力、运算求解能力;建立直角坐标系,把表示为关于角的三角函数,利用辅助角公式求最值是求解本题的关键;属于中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）（2）证明见解析
【解析】
（1）利用基本不等式即可求得最小值；
（2）关键是配凑系数，进而利用基本不等式得证．
【详解】
（1），当且仅当“”时取等号，
故的最小值为；
（2），
当且仅当时取等号，此时．
故．
【点睛】
本题主要考查基本不等式的运用，属于基础题．
18．（1）；（2）.
【解析】
（1）首先对函数求导，根据函数存在一个极大值点和一个极小值点求出a的取值范围；
（2）首先求出的值，再根据求出实数a的取值范围.
【详解】
（1）函数的定义域为是，
，
若有两个极值点，则方程一定有两个不等的正根，
设为和，且，
所以解得，
此时，
当时，，
当时，，
当时，，
故是极大值点，是极小值点，
故实数a的取值范围是；
（2）由（1）知，，，
则，
，
，
由，得，即，
令，考虑到，
所以可化为，
而，
所以在上为增函数，
由，得，
故实数a的取值范围是.
【点睛】
本题主要考查了利用导数研究函数的极值点和单调性，利用函数单调性证明不等式，属于难题.
19．（1）证明见解析（2）
【解析】
（1）根据线面垂直的性质定理，可得DE//BF，然后根据勾股定理计算可得BF＝DE，最后利用线面平行的判定定理，可得结果.
（2）利用建系的方法，可得平面ABF的一个法向量为，平面CDF的法向量为，然后利用向量的夹角公式以及平方关系，可得结果.
【详解】
（1）因为DE⊥平面ABCD，所以DEAD，
因为AD＝4，AE＝5，DE＝3，同理BF＝3，
又DE⊥平面ABCD，BF⊥平面ABCD，
所以DE//BF，又BF＝DE，
所以平行四边形BEDF，故DF//BE，
因为BE平面BCE，DF平面BCE
所以DF//平面BCE；
（2）建立如图空间直角坐标系，

则D（0，0，0），A（4，0，0），
C（0，4，0），F（4，3，﹣3），
，
设平面CDF的法向量为，
由，令x＝3，得，
易知平面ABF的一个法向量为，
所以，
故.
【点睛】
本题考查线面平行的判定以及利用建系方法解决面面角问题，属基础题.
20．（1）递减区间为（-1，0），递增区间为（2）见解析
【解析】
（1）根据函数解析式，先求得导函数，由是函数的极值点可求得参数.求得函数定义域，并根据导函数的符号即可判断单调区间.
（2）当时，.代入函数解析式放缩为，代入证明的不等式可化为，构造函数，并求得，由函数单调性及零点存在定理可知存在唯一的，使得成立，因而求得函数的最小值，由对数式变形化简可证明，即成立，原不等式得证.
【详解】
（1）函数
可求得，则
解得
所以，定义域为
，
在单调递增，而，
∴当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
此时是函数的极小值点，
的递减区间为，递增区间为
（2）证明：当时，
，
因此要证当时，，
只需证明，
即
令，
则，
在是单调递增，
而，
∴存在唯一的，使得，
当，单调递减，当，单调递增，
因此当时，函数取得最小值，
，
，
故，
从而，即，结论成立.
【点睛】
本题考查了由函数极值求参数，并根据导数判断函数的单调区间，利用导数证明不等式恒成立，构造函数法的综合应用，属于难题.
21．Ⅰ详见解析；Ⅱ①，②或．
【解析】
Ⅰ可以通过已知证明出平面PAB，这样就可以证明出；
Ⅱ以点A为坐标原点，分别以AB，AD，AP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，可以求出相应点的坐标，求出平面PBC的法向量为、平面PCD的法向量，利用空间向量的数量积，求出二面角的大小；
求出平面PBC的法向量，利用线面角的公式求出的值.
【详解】
证明：Ⅰ在图1中，，，

为平行四边形，，
，，
当沿AD折起时，，，即，，
又，平面PAB，
又平面PAB，．
解：Ⅱ以点A为坐标原点，分别以AB，AD，AP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，由于平面ABCD
则0，，0，，1，，0，，1，
1，，1，，0，，
设平面PBC的法向量为y，，
则，取，得0，，
设平面PCD的法向量b，，
则，取，得1，，
设二面角的大小为，可知为钝角，
则，．
二面角的大小为．
设AM与面PBC所成角为，
0，，1，，，，
平面PBC的法向量0，，
直线AM与平面PBC所成的角为，
，
解得或．
【点睛】本题考查了利用线面垂直证明线线垂直，考查了利用向量数量积，求二面角的大小以及通过线面角公式求定比分点问题.
22．（1）；（2）
【解析】
（1）零点分段解不等式即可（2）等价于，由，得不等式即可求解
【详解】
（1）当时，，
当时，由，解得；
当时，由，解得；
当时，由，解得.
综上可知，原不等式的解集为.
（2）.
存在使得成立，等价于.
又因为，所以，即.
解得，结合，所以实数的取值范围为.
【点睛】
本题考查绝对值不等式的解法，考查不等式恒成立及最值，考查转化思想，是中档题