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第八节 函数与方程
A级·根底过关|固根基|
1.(2023届河南商丘九校期末联考)函数f(x)＝(x2－1)·的零点个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B 要使函数有意义，那么x2－4≥0，解得x≥2或x≤－2.由f(x)＝0，得x2－4＝0或x2－1＝0(不成立舍去)，即x＝2或x＝－2，所以函数的零点个数为2.应选B.
2．函数f(x)＝ln x－的零点所在的区间为( )
A．(0，1) B．(1，2)
C．(2，3) D．(3，4)
解析：选B 易知f(x)＝ln x－在定义域(0，＋∞)上是增函数，
又f(1)＝－2＜0，f(2)＝ln 2－＞0，
那么f(1)·f(2)＜0，故f(x)的零点在区间(1，2)内．
3．(2023届福建晋江安溪一中等四校联考)设函数y＝log3x与y＝3－x的图象的交点为(x0，y0)，那么x0所在的区间是( )
A．(0，1) B．(1，2)
C．(2，3) D．(3，4)
解析：选C 令m(x)＝log3x＋x－3，那么函数m(x)＝log3x＋x－3的零点所在的区间即为函数y＝log3x与y＝3－x的图象交点的横坐标所在的区间．因为m(x)＝log3x＋x－3单调递增且连续，且满足m(2)·m(3)<0，所以m(x)＝log3x＋x－3的零点在(2，3)内，从而可知方程log3x＋x－3＝0的解所在的区间是(2，3)，即函数y＝log3x与y＝3－x的图象交点的横坐标x0所在的区间是(2，3)．应选C.
4．函数f(x)＝2x＋x＋1，g(x)＝log2x＋x＋1，h(x)＝log2x－1的零点依次为a，b，c，那么( )
A．a＜b＜c B．a＜c＜b
C．b＜c＜a D．b＜a＜c
解析：选A 令函数f(x)＝2x＋x＋1＝0，可知x＜0，即a＜0；
令g(x)＝log2x＋x＋1＝0，那么0＜x＜1，即0＜b＜1；
令h(x)＝log2x－1＝0，可知x＝2，即c＝2.
显然a＜b＜c.
5．a是函数f(x)＝2x－logx的零点，假设0＜x0＜a，那么f(x0)的值满足( )
A．f(x0)＝0 B．f(x0)＞0
C．f(x0)＜0 D．f(x0)的符号不确定
解析：选C f(x)在(0，＋∞)上是增函数，假设0＜x0＜a，那么f(x0)＜f(a)＝0.
6．f(x)是奇函数且是R上的单调函数，假设函数y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)只有一个零点，那么实数λ的值是( )
A. B.
C．－ D．－
解析：选C 令y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)＝0，那么由题意及f(x)是奇函数，得f(2x2＋1)＝－f(λ－x)＝f(x－λ)，
因为f(x)是R上的单调函数，所以2x2＋1＝x－λ只有一个实根，即2x2－x＋1＋λ＝0只有一个实根，
那么Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－.
7．(2023届长沙模拟)函数f(x)＝那么使方程x＋f(x)＝m有解的实数m的取值范围是( )
A．(1，2) B．(－∞，－2]
C．(－∞，1)∪(2，＋∞) D．(－∞，1]∪[2，＋∞)
解析：选D 当x≤0时，x＋f(x)＝m，即x＋1＝m，解得m≤1；当x＞0时，x＋f(x)＝m，即x＋＝m，解得m≥2，即实数m的取值范围是(－∞，1]∪[2，＋∞)．应选D.
8．函数f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)有唯一零点，那么a＝( )
A．－ B.
C. D．1
解析：选C f(x)＝(x－1)2＋a(ex－1＋e1－x)－1，
令t＝x－1，那么g(t)＝t2＋a(et＋e－t)－1.
∵g(－t)＝(－t)2＋a(e－t＋et)－1＝g(t)，
∴函数g(t)为偶函数．
∵f(x)有唯一零点，∴g(t)也有唯一零点．
又g(t)为偶函数，由偶函数的性质知g(0)＝0，
∴2a－1＝0，解得a＝.
9．函数f(x)＝x－的零点个数为________．
解析：令f(x)＝0，得x＝，在平面直角坐标系中分别画出函数y＝x与y＝的图象．
如下图，由图可知两函数图象有1个交点，故f(x)的零点只有1个．
答案：1
10．在平面直角坐标系中，假设直线y＝2a与函数y＝|x－a|－1的图象只有一个交点，那么a的值为________．
解析：
函数y＝|x－a|－1的图象如下图，因为直线y＝2a与函数y＝|x－a|－1的图象只有一个交点，故2a＝－1，解得a＝－.
答案：－
11．函数f(x)＝那么函数y＝2f2(x)－3f(x)的零点个数是________．
解析：由y＝2f2(x)－3f(x)＝0，得f(x)＝0或f(x)＝.
作出y＝f(x)的图象(如图)，由图象知，当f(x)＝0时，方程有2个实根，
当f(x)＝时，方程有3个实根．
故y＝2f2(x)－3f(x)共有5个零点．
答案：5
12．(2023年江苏卷)设f(x)，g(x)是定义在R上的两个周期函数，f(x)的周期为4，g(x)的周期为2，且f(x)是奇函数．当x∈(0，2]时，f(x)＝，g(x)＝其中k＞0.假设在区间(0，9]上，关于x的方程f(x)＝g(x)有8个不同的实数根，那么k的取值范围是________．
解析：根据函数f(x)的周期性及奇偶性作图，如下图．
由图知，当x∈(0，2]时，g(x)与f(x)的图象在x轴上方有2个公共点；当x∈(2，4]时，g(x)与f(x)的图象在x轴下方有1个公共点．由f(x)与g(x)的周期性知，当x∈(4，8]时，g(x)与f(x)的图象有3个公共点；当x∈(8，9]时，g(x)与f(x)的图象有2个公共点．
当y＝k(x＋2)与y＝(0＜x≤2)的图象相切时，求得k＝，当直线y＝k(x＋2)过(1，1)时，k＝，∴≤k＜.
从而在(0，9]上，当f(x)＝g(x)有8个不同实数根时，k的取值范围是.
答案：
B级·素养提升|练能力|
13.(2023届武汉市高三质量监测)函数f(x)＝－a.假设f(x)有两个零点，那么实数a的取值范围是( )
A．[0，1) B．(0，1)
C. D.
解析：选C f′(x)＝，所以f′(x)，f(x)的变化如下表，
x
(－∞，1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
f(x)
极大值
假设a＝0，那么当x<0时，f(x)<0，x>0时，f(x)>0，f(x)最多只有一个零点，所以a≠0.
假设f(x)有两个零点，那么－a>0，即a<，结合a＝0时f(x)的符号知0<a<.应选C.
14．(一题多解)(2023年天津卷)函数f(x)＝假设关于x的方程f(x)＝－x＋a(a∈R)恰有两个互异的实数解，那么a的取值范围为( )
A. B.
C.∪{1} D.∪{1}
解析：选D 解法一：
画出函数y＝f(x)的图象，如图．
方程f(x)＝－x＋a的解的个数，即为函数y＝f(x)的图象与直线l：y＝－x＋a的公共点的个数．
当直线l经过点A时，有2＝－×1＋a，a＝；
当直线l经过点B时，有1＝－×1＋a，a＝.
由图可知，a∈时，函数y＝f(x)的图象与l恰有两个交点．
另外，当直线l与曲线y＝，x＞1相切时，恰有两个公共点，此时a＞0.
联立得＝－x＋a，即x2－ax＋1＝0，
由Δ＝a2－4××1＝0，得a＝1(舍去负根)．
综上，a∈∪{1}．应选D.
解法二：令g(x)＝f(x)＋x＝当0≤x≤1时，g(x)＝2＋为增函数，其值域为；当x＞1时，g(x)＝＋，对g(x)求导得g′(x)＝－＋，令g′(x)＝0，得x＝2，当x∈(1，2)时，g′(x)＜0，g(x)单调递减；当x∈(2，＋∞)时，g′(x)＞0，g(x)单调递增，∴当x＝2时，g(x)min＝g(2)＝1，函数g(x)的简图如下图：
方程f(x)＝－x＋a恰有两个互异的实数解，即函数y＝g(x)的图象与直线y＝a有两个不同的交点，由图可知≤a≤或a＝1满足条件，应选D.
15．假设曲线y＝log2(2x－m)(x＞2)上至少存在一点与直线y＝x＋1上的一点关于原点对称，那么m的取值范围为________．
解析：因为直线y＝x＋1关于原点对称的直线为y＝x－1.
依题意，方程log2(2x－m)＝x－1在(2，＋∞)上有解．
那么m＝2x－1在x∈(2，＋∞)上有解，所以m＞2，
又2x－m＞0恒成立，且2x＞4，所以m≤4.
所以实数m的取值范围为(2，4]．
答案：(2，4]
16．定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，当x∈[0，1]时，f(x)＝－2x＋1，设函数g(x)＝(－1＜x＜3)，那么函数f(x)与g(x)的图象所有交点的横坐标之和为________．
解析：
因为f(x＋1)＝－f(x)，所以f(x＋1＋1)＝－f(x＋1)＝f(x)，所以f(x)的周期为2.
由于f(x)为偶函数，所以f(1－x)＝f(x－1)＝f(x＋1)，
故f(x)的图象关于直线x＝1对称．
又函数g(x)＝的图象关于直线x＝1对称，在同一坐标系内作出f(x)与g(x)在(－1，3)上的图象，如图，由图可知四个交点的横坐标关于x＝1对称，其和为1×2×2＝4.
答案：4
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