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第六节 双曲线
A级·根底过关|固根基|
1.假设双曲线C1：－＝1与C2：－＝1(a>0，b>0)的渐近线相同，且双曲线C2的焦距为4，那么b＝( )
A．2 B．4
C．6 D．8
解析：选B 由题意得，＝2⇒b＝2a，双曲线C2的焦距2c＝4⇒c＝＝2⇒b＝4，应选B.
2．双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，假设|PF1|－|PF2|＝4b，且双曲线的焦距为2，那么该双曲线的方程为( )
A.－y2＝1 B.－＝1
C．x2－＝1 D.－＝1
解析：选A 由题意可得
解得那么该双曲线方程为－y2＝1.
3．(2022年全国卷Ⅲ)F是双曲线C：－＝1的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点．假设|OP|＝|OF|，那么△OPF的面积为( )
A. B.
C. D.
解析：选B 因为c2＝a2＋b2＝9，所以|OP|＝|OF|＝3.设点P的坐标为(x，y)，那么x2＋y2＝9，把x2＝9－y2代入双曲线方程得|y|＝，所以S△OPF＝|OF|·|y|＝.应选B.
4．双曲线－＝1(a>0，b>0)，过其左焦点F作x轴的垂线，交双曲线于A，B两点，假设双曲线的右顶点在以AB为直径的圆内，那么双曲线离心率的取值范围是( )
A．(2，＋∞) B．(1，2)
C. D.
解析：选A 由双曲线的性质可得|AF|＝，即以AB为直径的圆的半径为，而右顶点与左焦点的距离为a＋c，由题意可知>a＋c，整理得c2－2a2－ac>0，两边同除以a2，那么e2－e－2>0，解得e>2或e<－1，又双曲线的离心率大于1，所以e>2.
5．(2022届梅州质检)F1，F2分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P是双曲线上一点，假设|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小内角为，那么双曲线的渐近线方程为( )
A．y＝±2x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
解析：选D 不妨设P为双曲线右支上一点，那么|PF1|>|PF2|，由双曲线的定义得|PF1|－|PF2|＝2a，又|PF1|＋|PF2|＝6a，所以|PF1|＝4a，|PF2|＝2a.又因为所以∠PF1F2为最小内角，故∠PF1F2＝.
在△PF1F2中，由余弦定理，可得＝，即(a－c)2＝0，所以c＝a，那么b＝a，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x，应选D.
6．(2022届南昌市高三摸底)圆C：x2＋y2－10y＋21＝0与双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线相切，那么该双曲线的离心率是( )
A. B.
C. D.
解析：选C 圆C的标准方程为x2＋(y－5)2＝4，那么圆C的圆心为C(0，5)，半径r＝2.双曲线－＝1的一条渐近线的方程为y＝x，即bx－ay＝0.由题意得＝＝2，所以该双曲线的离心率e＝＝，应选C.
7．双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线为2x＋y＝0，一个焦点为(，0)，那么a＝________；b＝________.
解析：由2x＋y＝0，得y＝－2x，所以＝2.
又因为c＝，a2＋b2＝c2，解得a＝1，b＝2.
答案：1 2
8．双曲线的焦距为6，其上一点P到两焦点的距离之差为－4，那么双曲线的标准方程为________．
解析：假设双曲线的焦点在x轴上，设其标准方程为－＝1.由题意得即又c2＝a2＋b2，故b2＝5.所以双曲线的标准方程为－＝1.假设双曲线的焦点在y轴上，设其标准方程为－＝1.同理可得所以b＝5.所以双曲线的标准方程为－＝1.综上所述，双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
答案：－＝1或－＝1
9．双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点P(4，－)．
(1)求双曲线的方程；
(2)(一解多解)假设点M(3，m)在双曲线上，求证：·＝0.
解：(1)∵e＝，
∴可设双曲线的方程为x2－y2＝λ(λ≠0)．
∵双曲线过点(4，－)，∴16－10＝λ，即λ＝6.
∴双曲线的方程为x2－y2＝6.
(2)证明：证法一：由(1)可知，a＝b＝，
∴c＝2，∴F1(－2，0)，F2(2，0)，
∴kMF1＝，kMF2＝，
k MF1·k MF2＝＝－.
∵点M(3，m)在双曲线上，∴9－m2＝6，即m2＝3，
故k MF1·k MF2＝－1，∴MF1⊥MF2，∴·＝0.
证法二：由(1)可知，a＝b＝，∴c＝2，
∴F1(－2，0)，F2(2，0)，
＝(－2－3，－m)，＝(2－3，－m)，
∴·＝(3＋2)×(3－2)＋m2＝－3＋m2.
∵点M(3，m)在双曲线上，∴9－m2＝6，即m2－3＝0，
∴·＝0.
10．设A，B分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为4，焦点到渐近线的距离为 .
(1)求双曲线的方程；
(2)直线y＝x－2与双曲线的右支交于M，N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使＋＝t，求t的值及点D的坐标．
解：(1)由题意知a＝2，
不妨取一条渐近线为y＝x，即bx－ay＝0，
由焦点到渐近线的距离为，得＝.
又∵c2＝a2＋b2，∴b2＝3，
∴双曲线的方程为－＝1.
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)，其中x0≥2.
那么x1＋x2＝tx0，y1＋y2＝ty0.
将直线方程y＝x－2代入双曲线方程－＝1得，x2－16x＋84＝0，
那么x1＋x2＝16，y1＋y2＝(x1＋x2)－4＝12.
∴解得
∴t＝4，点D的坐标为(4，3).
B级·素养提升|练能力|
11.(一题多解)双曲线C：－y2＝1，O为坐标原点，F为双曲线C的右焦点，过F的直线与双曲线C的两条渐近线的交点分别为M，N.假设△OMN为直角三角形，那么|MN|＝( )
A. B．3
C．2 D．4
解析：
选B 解法一：由得，双曲线的两条渐近线方程为y＝± x.
设两渐近线的夹角为2α，
那么有tan α＝＝，所以α＝30°，
所以∠MON＝2α＝60°.
又△OMN为直角三角形，由于双曲线具有对称性，不妨设MN⊥ON，如下图．
在Rt△ONF中，|OF|＝2，那么|ON|＝，
那么在Rt△OMN中，
|MN|＝|ON|tan 2α＝·tan 60°＝3.应选B.
解法二：因为双曲线－y2＝1的渐近线方程为y＝±x，所以∠MON＝60°.不妨设过点F的直线与直线y＝x交于点M，由△OMN为直角三角形，不妨设∠OMN＝90°，那么∠MFO＝60°，又直线MN过点F(2，0)，所以直线MN的方程为y＝－(x－2)，
由得所以M，所以|OM|＝ ＝，所以|MN|＝|OM|＝3，应选B.
12．(2022届唐山模拟)双曲线－＝1，过点M(m，0)作垂直于双曲线实轴的直线与双曲线交于A，B两点．假设△AOB是锐角三角形(O为坐标原点)，那么实数m的取值范围是________．
解析：由题意得A，B，所以＝，＝.因为△AOB是锐角三角形，所以∠AOB是锐角，即与的夹角为锐角，所以·>0，即m2－＋4>0，解得－2<m<2.由过点M(m，0)作垂直于双曲线实轴的直线与双曲线交于A，B两点可知m<－或m>.故实数m的取值范围是(－2，－)∪(，2)．
答案：(－2，－)∪(，2)
13．(2022届郑州模拟)F1，F2分别是双曲线x2－＝1(b>0)的左、右焦点，A是双曲线上在第一象限内的点，假设|AF2|＝2且∠F1AF2＝45°，延长AF2交双曲线的右支于点B，那么△F1AB的面积等于________．
解析：由题意知a＝1，由双曲线定义知|AF1|－|AF2|＝2a＝2，|BF1|－|BF2|＝2a＝2，所以|AF1|＝2＋|AF2|＝4，|BF1|＝2＋|BF2|.又因为|AB|＝|AF2|＋|BF2|＝2＋|BF2|，所以|BA|＝|BF1|，所以△BAF1为等腰三角形．因为∠F1AF2＝45°，所以∠ABF1＝90°，所以△BAF1为等腰直角三角形，所以|BA|＝|BF1|＝|AF1|＝×4＝2，所以S△F1AB＝|BA|·|BF1|＝×2×2＝4.
答案：4
14．椭圆C1的方程为＋y2＝1，双曲线C2的左、右焦点分别是椭圆C1的左、右顶点，而双曲线C2的左、右顶点分别是椭圆C1的左、右焦点．
(1)求双曲线C2的方程；
(2)假设直线l：y＝kx＋与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且·>2(其中O为原点)，求k的取值范围．
解：(1)设双曲线C2的方程为－＝1(a>0，b>0)，
那么a2＝3，c2＝4，再由a2＋b2＝c2，得b2＝1.
故双曲线C2的方程为－y2＝1.
(2)将y＝kx＋代入－y2＝1，
得(1－3k2)x2－6kx－9＝0.
由直线l与双曲线C2交于不同的两点，得
∴k2≠且k2<1.①
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
那么x1＋x2＝，x1x2＝－.
∴x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋)(kx2＋)
＝(k2＋1)x1x2＋k(x1＋x2)＋2＝.
又∵·>2，得x1x2＋y1y2>2，
∴＞2，即＞0，解得＜k2＜3.②
由①②得＜k2＜1，
故k的取值范围为∪.
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