资源描述
证明不等式的根本方法
考点一 综合法证明不等式
【典例】(2023·全国卷Ⅰ)a,b,c为正数,且满足abc=1,证明:
(1)++≤a2+b2+c2.
(2)(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24.
【证明】(1)因为a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac,
又abc=1,
故有a2+b2+c2≥ab+bc+ca==++.
当且仅当a=b=c时,取等号.
所以++≤a2+b2+c2.
(2)因为a,b,c为正数且abc=1,故有
(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3
≥3
=3(a+b)(b+c)(a+c)
≥3×(2)×(2)×(2)=24.
当且仅当a=b=c时,取等号.
所以(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24.
1.综合法证明不等式,要分析清与求证之间,不等式的左右两端之间的差异与联系.合理进行转换,恰中选择不等式,这是证明的关键.
2.在用综合法证明不等式时,不等式的性质和根本不等式是最常用的.在运用这些性质时,要注意性质和不等式成立的条件.
考点二 分析法证明不等式
【典例】函数f(x)=|x+1|.
(1)求不等式f(x)<|2x+1|-1的解集M.
(2)设a,b∈M,证明:f(ab)>f(a)-f(-b).
【解题导思】
联想解题
(1)根据绝对值的性质去绝对值,解不等式
(2)用综合法证明不等式不好证明时,考虑分析法证明
【解析】(1)由题意,得|x+1|<|2x+1|-1,
①当x≤-1时,不等式可化为-x-1<-2x-2,解得x<-1;
②当-1<x<-时,不等式可化为x+1<-2x-2,此时不等式无解;
③当x≥-时,不等式可化为x+1<2x,解得x>1.
综上,M={x|x<-1或x>1}.
(2)因为f(a)-f(-b)=|a+1|-|-b+1|
≤|a+1-(-b+1)|=|a+b|,
所以要证f(ab)>f(a)-f(-b),
只需证|ab+1|>|a+b|,即证|ab+1|2>|a+b|2,
即证a2b2+2ab+1>a2+2ab+b2,
即证a2b2-a2-b2+1>0,即证(a2-1)(b2-1)>0.
因为a,b∈M,所以a2>1,b2>1,
所以(a2-1)(b2-1)>0成立,所以原不等式成立.
1.当要证的不等式不知从何入手时,可考虑用分析法去证明,特别是对于条件简单而结论复杂的题目往往更为有效.
2.分析法证明不等式的依据也是不等式的根本性质、的重要不等式和逻辑推理的根本理论.
3.分析法证明不等式的思维方向是“逆推〞,即由待证的不等式出发, 逐步寻找使它成立的充分条件(执果索因),最后得到的充分条件是(或已证)的不等式.
a>b>c,且a+b+c=0,求证:<a.
【证明】由a>b>c且a+b+c=0,知a>0,c<0.
要证<a,
只需证b2-ac<3a2.
因为a+b+c=0,只需证b2+a(a+b)<3a2,
只需证2a2-ab-b2>0,
只需证(a-b)(2a+b)>0,
只需证(a-b)(a-c)>0.
因为a>b>c,所以a-b>0,a-c>0,
所以(a-b)(a-c)>0显然成立,
故原不等式成立.
考点三 比拟法证明不等式
命
题
精
解
读
考什么:(1)考查数、代数式的大小比拟
(2)考查学生的数学运算、逻辑推理等核心素养和转化化归、放缩等数学思想方法
怎么考:与根本初等函数、数列、三角函数等数学知识交叉考查大小比拟问题
新趋势:以不等式为载体,与函数、数列、三角函数等结合考查为主
学
霸
好
方
法
比拟法证明不等式的思路:当题目中出现多项式的大小比拟时,一般采用作差法;当题目中出现正的单项式大小比拟时,一般采用作商法
作差法
【典例】当p,q都是正数且p+q=1时,试比拟(px+qy)2与px2+qy2的大小.
【解析】(px+qy)2-(px2+qy2)
=p2x2+q2y2+2pqxy-(px2+qy2)
=p(p-1)x2+q(q-1)y2+2pqxy.
因为p+q=1,所以p-1=-q,q-1=-p.
所以(px+qy)2-(px2+qy2)=-pq(x2+y2-2xy)=-pq(x-y)2.
因为p,q为正数,所以-pq(x-y)2≤0,
所以(px+qy)2≤px2+qy2.
当且仅当x=y时,不等式中等号成立.
作商法
【典例】a,b∈R+,证明:aabb≥abba.
【证明】因为=,
当a>b时,>1,a-b>0,
故>1;
当a=b时,=1,a-b=0,
故=1;
当a<b时,<1,a-b<0,
故>1.综上,aabb≥abba.
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