1、证明不等式的根本方法考点一综合法证明不等式【典例】(2023全国卷)a,b,c为正数,且满足abc=1,证明:(1)+a2+b2+c2.(2)(a+b)3+(b+c)3+(c+a)324.【证明】(1)因为a2+b22ab,b2+c22bc,c2+a22ac,又abc=1,故有a2+b2+c2ab+bc+ca=+.当且仅当a=b=c时,取等号.所以+a2+b2+c2.(2)因为a,b,c为正数且abc=1,故有(a+b)3+(b+c)3+(c+a)33=3(a+b)(b+c)(a+c)3(2)(2)(2)=24.当且仅当a=b=c时,取等号.所以(a+b)3+(b+c)3+(c+a)324.1
2、.综合法证明不等式,要分析清与求证之间,不等式的左右两端之间的差异与联系.合理进行转换,恰中选择不等式,这是证明的关键.2.在用综合法证明不等式时,不等式的性质和根本不等式是最常用的.在运用这些性质时,要注意性质和不等式成立的条件.考点二分析法证明不等式【典例】函数f(x)=|x+1|.(1)求不等式f(x)f(a)-f(-b).【解题导思】联想解题(1)根据绝对值的性质去绝对值,解不等式(2)用综合法证明不等式不好证明时,考虑分析法证明【解析】(1)由题意,得|x+1|2x+1|-1,当x-1时,不等式可化为-x-1-2x-2,解得x-1;当-1x-时,不等式可化为x+1-2x-2,此时不等
3、式无解;当x-时,不等式可化为x+11.综上,M=x|x1.(2)因为f(a)-f(-b)=|a+1|-|-b+1|a+1-(-b+1)|=|a+b|,所以要证f(ab)f(a)-f(-b),只需证|ab+1|a+b|,即证|ab+1|2|a+b|2,即证a2b2+2ab+1a2+2ab+b2,即证a2b2-a2-b2+10,即证(a2-1)(b2-1)0.因为a,bM,所以a21,b21,所以(a2-1)(b2-1)0成立,所以原不等式成立.1.当要证的不等式不知从何入手时,可考虑用分析法去证明,特别是对于条件简单而结论复杂的题目往往更为有效.2.分析法证明不等式的依据也是不等式的根本性质、
4、的重要不等式和逻辑推理的根本理论.3.分析法证明不等式的思维方向是“逆推,即由待证的不等式出发, 逐步寻找使它成立的充分条件(执果索因),最后得到的充分条件是(或已证)的不等式.abc,且a+b+c=0,求证:bc且a+b+c=0,知a0,c0.要证a,只需证b2-ac3a2.因为a+b+c=0,只需证b2+a(a+b)0,只需证(a-b)(2a+b)0,只需证(a-b)(a-c)0.因为abc,所以a-b0,a-c0,所以(a-b)(a-c)0显然成立,故原不等式成立.考点三比拟法证明不等式 命题精解读考什么:(1)考查数、代数式的大小比拟(2)考查学生的数学运算、逻辑推理等核心素养和转化化
5、归、放缩等数学思想方法怎么考:与根本初等函数、数列、三角函数等数学知识交叉考查大小比拟问题新趋势:以不等式为载体,与函数、数列、三角函数等结合考查为主学霸好方法比拟法证明不等式的思路:当题目中出现多项式的大小比拟时,一般采用作差法;当题目中出现正的单项式大小比拟时,一般采用作商法作差法【典例】当p,q都是正数且p+q=1时,试比拟(px+qy)2与px2+qy2的大小.【解析】(px+qy)2-(px2+qy2)=p2x2+q2y2+2pqxy-(px2+qy2)=p(p-1)x2+q(q-1)y2+2pqxy.因为p+q=1,所以p-1=-q,q-1=-p.所以(px+qy)2-(px2+qy2)=-pq(x2+y2-2xy)=-pq(x-y)2.因为p,q为正数,所以-pq(x-y)20,所以(px+qy)2px2+qy2.当且仅当x=y时,不等式中等号成立.作商法【典例】a,bR+,证明:aabbabba.【证明】因为=,当ab时,1,a-b0,故1;当a=b时,=1,a-b=0,故=1;当ab时,1,a-b1.综上,aabbabba.- 4 -
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