2022届高考数学一轮复习第六章数列课时跟踪训练30数列的概念与简单表示方法文.doc

课时跟踪训练(三十) 数列的概念与简单表示方法
[根底稳固]
一、选择题
1．数列0,1,0，－1,0,1,0，－1，…的一个通项公式是an等于(　　)
A. B．cos
C.π D．cosπ
[解析]　令n＝1,2,3，…，逐一验证四个选项，易得D正确．
[答案]　D
2．(2022·福建福州八中质检)数列{an}满足a1＝1，an＋1＝a－2an＋1(n∈N*)，那么a2022＝(　　)
A．1 B．0
C．2022 D．－2022
[解析]　∵a1＝1，∴a2＝(a1－1)2＝0，a3＝(a2－1)2＝1，a4＝(a3－1)2＝0，…，可知数列{an}是以2为周期的数列，∴a2022＝a1＝1.
[答案]　A
3．设数列{an}的前n项和为Sn, 且Sn＝2(an－1)，那么an＝(　　)
A．2n B．2n－1
C．2n D．2n－1
[解析]　当n＝1时，a1＝S1＝2(a1－1)，可得a1＝2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，∴an＝2an－1，∴数列{an}为等比数列，公比为2，首项为2，所以an＝2n.
[答案]　C
4．设曲线f(x)＝xn＋1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，那么x1·x2·x3·x4·…·x2022＝(　　)
A. B.
C. D.
[解析]　由f(x)＝xn＋1得f′(x)＝(n＋1)xn，切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)，令y＝0得xn＝，故x1·x2·x3·x4·…·x2022＝××…×＝.
[答案]　D
5．数列{an}中，an＝－2n2＋29n＋3，那么此数列最大项的值是(　　)
A．103 B.
C. D．108
[解析]　根据题意并结合二次函数的性质可得
an＝－2n2＋29n＋3＝－22＋3＋，
∴n＝7时，an取得最大值，最大项a7的值为108.应选D.
[答案]　D
6．数列{an}满足a1＝1，an＋1·an＝2n(n∈N*)，那么a10＝(　　)
A．64 B．32
C．16 D．8
[解析]　由an＋1·an＝2n，所以an＋2·an＋1＝2n＋1，故＝2，又a1＝1，可得a2＝2，故a10＝25＝32.
[答案]　B
二、填空题
7．在数列－1,0，，，…，，…中，0.08是它的第________项．
[解析]　令＝0.08，得2n2－25n＋50＝0，即(2n－5)(n－10)＝0.解得n＝10或n＝(舍去)．
[答案]　10
8．数列{an}满足a1＝1，an＝a－1(n>1)，那么a2022＝________，|an＋an＋1|＝________(n>1)．
[解析]　由a1＝1，an＝a－1(n>1)，得a2＝a－1＝12－1＝0，a3＝a－1＝02－1＝－1，a4＝a－1＝(－1)2－1＝0，a5＝a－1＝02－1＝－1，由此可猜测当n>1，n为奇数时an＝－1，n为偶数时an＝0，∴a2022＝－1，|an＋an＋1|＝1.
[答案]　－1　1
9．在一个数列中，如果∀n∈N*，都有anan＋1an＋2＝k(k为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k叫做这个数列的公积．数列{an}是等积数列，且a1＝1，a2＝2，公积为8，那么a1＋a2＋a3＋…＋a12＝________.
[解析]　依题意得数列{an}是周期为3的数列，且a1＝1，a2＝2，a3＝4，因此a1＋a2＋a3＋…＋a12＝4(a1＋a2＋a3)＝4×(1＋2＋4)＝28.
[答案]　28
[能力提升]
10．(2022·华东师范大学等四校联考)数列{an}满足：a1＝，对于任意的n∈N*，an＋1＝an(1－an)，那么a1413－a1314＝(　　)
A．－ B.
C．－ D.
[解析]　根据递推公式计算得a1＝，a2＝××＝，a3＝××＝，a4＝××＝，…，可以归纳通项公式为：当n为大于1的奇数时，an＝；当n为正偶数时，an＝.故a1413－a1314＝.应选D.
[答案]　D
11．(2022·舟山一模)观察以下各图，并阅读图形下面的文字，像这样10条直线相交，交点的个数最多是(　　)
A．40 B．45 C．50 D．55
[解析]　设n条直线的交点个数为an(n≥2)，那么

累加得a10－a2＝2＋3＋…＋9，
∴a10＝1＋2＋3＋…＋9＝45.
[答案]　B
12．(2022·湖北襄阳优质高中联考)假设a1＝1，对任意的n∈N*，都有an>0，且na－(2n－1)an＋1an－2a＝0.设M(x)表示整数x的个位数字，那么M(a2022)＝________.
[解析]　由得(nan＋1＋an)(an＋1－2an)＝0，∵an>0，∴an＋1－2an＝0，那么＝2，∵a1＝1，∴数列{an}是以1为首项，2为公比的等比数列，∴an＝1×2n－1＝2n－1.∴a2＝2，a3＝4，a4＝8，a5＝16，a6＝32，a7＝64，a8＝128，…，∴n≥2时，M(an)依次构成以4为周期的数列．∴M(a2022)＝M(a5)＝6，故答案为6.
[答案]　6
13．(2022·浙江温州四校联考改编)某音乐酒吧的霓虹灯是用，，三个不同音符组成的一个含n＋1(n∈N*)个音符的音符串，要求由音符开始，相邻两个音符不能相同．例如n＝1时，排出的音符串是，；n＝2时，排出的音符串是，，，；…，记这种含n＋1个音符的所有音符串中，排在最后一个的音符仍是的音符串的个数为an.易知a1＝0，a2＝2.那么a4＝________，an＋an＋1＝________.
[解析]　由题意知，a1＝0，a2＝2＝21－a1，a3＝2＝22－a2，a4＝6＝23－a3，a5＝10＝24－a4，所以an＝2n－1－an－1，所以an＋an－1＝2n－1.
[答案]　(1)6　(2)2n－1
14．(2022·河南洛阳第二次统一考试)数列{an}中，a1＝1，其前n项和为Sn，且满足2Sn＝(n＋1)an(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)记bn＝3n－λa，假设数列{bn}为递增数列，求λ的取值范围．
[解]　(1)∵2Sn＝(n＋1)an，∴2Sn＋1＝(n＋2)an＋1，
∴2an＋1＝(n＋2)an＋1－(n＋1)an，
即nan＋1＝(n＋1)an，∴＝，∴＝＝…＝＝1，
∴an＝n(n∈N*)．
(2)bn＝3n－λn2.
bn＋1－bn＝3n＋1－λ(n＋1)2－(3n－λn2)＝2·3n－λ(2n＋1)．
∵数列{bn}为递增数列，∴2·3n－λ(2n＋1)>0，即λ<.
令cn＝，即＝·＝>1.
∴{cn}为递增数列，∴λ<c1＝2，即λ的取值范围为(－∞，2)．